7.2.2 复数的乘、除运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 学习目标 1.掌握复数的乘法和除法运算法则． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 知识点一　复数乘法的运算法则与运算律 类比多项式的乘法，如何定义两复数的乘法呢？ 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (1)虚数单位i乘方的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(i∈N＋). (2)(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i. (4)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). [例1] (1)(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(z＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 (2)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． (1)A　(2)7－i　解析：(1)由z＝5＋i，得z＝5－i，z＋z＝10，则i(z＋z)＝10i.故选A. (2)(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i. 两个复数乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． [练1] (1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)·(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (3)(2024·南宁高一期中)(1－i)4＋i57＝(　　) A．4＋i B．－4＋i C．4－i D．－4－i (1)C　(2)A　(3)B　解析：(1)因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2， 所以，解得a＝1.故选C. (2)因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A. (3)(1－i)4＋i57＝[(1－i)2]2＋i1＋14×4＝(－2i)2＋i＝－4＋i. 知识点二　复数除法的运算法则 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 复数的除法法则 　(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0). 对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． [例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (2)(2024·北京卷)若复数z满足＝－i－1，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (1)C　(2)A　解析：(1)因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. (2)由题意得z＝i(－i－1)＝1－i.故选A. 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式． (2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数． (3)最后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．与除法有关的常用结论 ＝－i；＝i；＝－i. [练2] 若z＝4＋3i，则＝(　　) A．1 B．－1 C．＋i D．－i D　解析：因为z＝4＋3i，所以＝4－3i，|z|＝5，故＝－i. [练3] 计算：＝________． 答案：－2＋i　解析：＝ ＝＝－2＋i. 综合应用：在复数范围内解方程 [例3] 在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. 解：方法一　因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2. 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 方法二　因为x2＋4x＋6＝0， 所以Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以x＝＝－2±i. 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． [练4] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴解得∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根． 1．知识清单 (1)复数的乘法运算及运算律． (2)复数的除法运算． (3)在复数范围内解方程． 2．方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法． 3．常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误. ◎随堂演练 1．复数i(2－i)＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i A　解析：根据复数乘法运算计算，得i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A. 2．若复数z＝，则z＝(　　) A．1＋i B．－1＋i C．－2＋i D．2－i A　解析：由题意得z＝＝＝1＋i. 3．复数(i为虚数单位)的实部等于________． 答案：－3　解析：由题可得＝－3－i，－3－i的实部为－3. 4．(1＋i)2－＝________． 答案：－＋i　解析：∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i. [课时梯级训练(19)见P187] 学科网（北京）股份有限公司 $$