7.2.1 平行线的概念（分层题型专练，4夯基题型+2进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2.1 平行线的概念 （分层题型专练） 题型一 两直线的位置关系 1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 2．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 3．如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可． 【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行， 故选：D． 4．直线与平行可记作： ． 【答案】 【分析】本题考查平行的符号表示，解题的关键是掌握平行的符号表示方法．根据平行线的表示方法求解即可． 【详解】解：直线与平行可记作：． 故答案为：． 5．在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 【答案】 互相平行 相交 重合 【解析】略 题型二 立体图形中棱的平行关系 1．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系，正方体的性质．正方体所有棱长相等，相互平行的棱作为其中一部分，长度也相等． 【详解】解：∵正方体所有棱长相等， ∴相互平行的棱长度都相等． 故选：A． 2．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征． 3．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 【答案】 4 平行 【分析】本题考查长方体棱的位置关系，解题关键是明确长方体棱的分组及垂直、平行的定义． 根据长方体的性质，与地面垂直的棱是竖直棱，数量为4条，且这些棱都互相平行． 【详解】教室的形状为长方体，长方体共有12条棱，分为长、宽、高三组，每组各4条． 地面可看作长方体的一个底面，与地面垂直的棱是连接底面和顶面的4条高，这4条棱垂直于底面所在平面． 因为这4条棱的方向完全相同， 所以它们互相平行． 综上，与地面垂直的棱有4条，这些棱都互相平行． 故答案为：4，平行． 4．如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 题型三 平行线公理及三角板作平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 3．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 4．如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 5．如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 【答案】见解析 题型四 平行线公理 1．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 3．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 4．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 5．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】解：，理由如下： ，， （平行公理）． 题型一 平行线公里推论及应用 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 2．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 3．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，解题的关键是理解并运用平行公理来判断直线与直线的平行关系． 根据平行公理判断叶子与地面是否平行． 【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行． 故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 5．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 题型二 对基本概念的综合判断 1．下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】B 【分析】此题考查了平行公理、垂线定义、相交线的性质，根据平行公理、垂线定义、相交线的性质判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法正确； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误； C．两条直线相交，有且只有一个交点，选项说法正确； D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，选项说法正确． 故选：B． 2．下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质、平行公理、余角的定义，熟练掌握线段的性质、平行公理、余角的定义是解题的关键． 根据线段的性质、平行公理、余角的定义解答即可． 【详解】解：A、∵两点之间线段最短，不是直线，∴A错误； B、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项B未指定“直线外”，∴B错误； C、∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但选项C未指定“同一平面内”，∴C错误； D、∵余角的定义：若，则其余角为，∴D正确． 故选：D． 3．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 4．（1）用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；（2）射线与射线表示同一条射线；（3）若，则为线段的中点；（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义、线段中点的条件和平行公理． 根据平行线、直线的性质等相关知识解答即可． 【详解】解：（1）用两根钉子固定木条体现两点确定一条直线，而非两点之间线段最短， 该说法错误； （2）射线以为起点且经过，射线以为起点且经过，两者方向不同， 不是同一条射线，该说法错误； （3）时，点不一定在线段上（如等腰三角形），或、、不一定共线， 不一定是的中点，该说法错误； （4）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公理），“直线外”不能省略， 该说法错误． 综上所述，正确的有0个， 故选：A． 5．下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线上的点，如果，则点C为的中点．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据平面内，两条直线的位置关系可判断①，根据两点确定一条直线可判断②，根据对顶角的含义可判断③，根据中点的定义可判断④． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；故①符合题意． ②当三点共线时，经过三点能画出1条直线，三点不共线时，同时经过三点不能画直线，故②不符合题意． ③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，描述错误，相等的两个角不一定是对顶角，故③不符合题意． ④点C是直线上的点，当点C不在线段上时，也可以满足，但点C不是的中点．故④不符合题意． 故答案为①． 1．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 2．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 7.2.1 平行线的概念 （分层题型专练） 题型一 两直线的位置关系 1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 2．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 3．如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．直线与平行可记作： ． 5．在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 题型二 立体图形中棱的平行关系 1．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 2．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 3．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 4．如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 题型三 平行线公理及三角板作平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    3．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    4．如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 5．如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 题型四 平行线公理 1．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 4．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 5．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 题型一 平行线公里推论及应用 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 3．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 4．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 5．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 题型二 对基本概念的综合判断 1．下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 2．下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 3．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 4．（1）用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；（2）射线与射线表示同一条射线；（3）若，则为线段的中点；（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线上的点，如果，则点C为的中点．其中正确的有 ．（填序号） 1．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $