专题06 三角函数恒等变换（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06三角函数恒等变换 目录 典例详解 类型一、利用两角的正余弦值求和差公式 类型二、利用两角正余弦乘积求和差公式 类型三、两角和差正余弦公司的逆用 类型四、两角和差正切公式的应用 类型五、两角和差正切公式的逆用 类型六、二倍角公式、降幂公式 类型七、辅助角公式 类型八、半角公式、万能公式 类型九、和差化积公式与积化和差公式 压轴专练 典例详解 类型一、利用两角的正余弦值求和差公式 两角和与差的正余弦与正切 ①sin(au±B)=sinacosB±cosasinB; ②cos(&±B=cosacosB干sinasinB; 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 在己知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性 例1.(25-26高一上山东济宁期末)若角a+元的终边经过点P √525 55 则cosa=() A.-30 B.10 c.10 D.3f0 10 10 10 10 变式1-l.(25-26高一上·陕西咸阳·月考)已知a,B分别为第一、第三象限角，且tang=tan邱=2，则 cos(a+B)=_ 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式12.(25-26高-上欧西粉林期末)已知c是第一象限角，且cosa+子)}，3，则c0sa 变式1-3.(25-26高二上山西开学考试)若α，B为锐角，cos 4 cos a B =() 2 A. B. 3 C. D. 5v5 3 9 9 类型二、利用两角正余弦乘积求和差公式 1、 对sinc士B)=sinacosB±cosasinB而言，可以把sinacosB,cosasinB看着两个整体，通过 直接求这两个值来求si(a士B)。通常条件中出现sin(a+)sin(a-B)器三者关系时。 2、对cos(a士B)=cosacosB千sinasinBi而言，可以把cosacosB,sinasin耶看着两个整体，通过 直接求这两个值来求cos(a士B)。通常条件中出现cos(a+B)、cos(a&-B)、tana·tanB三者关系时。 例2.(25-26高三上·广西南宁.开学考试)已知cosa+B)=m,tana tan B=3,则cosa-β)=() A.-3m B.-2m C.2m D.3m 变式21.(25-26商-上江苏无锡月考)1)已知ca+创-写osQ-)=,则 1 tana tan B= 2)已知6oasa+casB=7sma+snB=写则cosa-)= 变式22.(25-26商二上黑龙江来齐给尔开学考试)ane tanp=2,c0sg+j=写则osa-)- 变式23,25.26高上云商期末)已知csa+B片cosa-B则ana tan=( 24 1 7 A. 25 B.7 C.7 D.25 类型三、两角和差正余弦公司的逆用 ①sinacosB±cosasinB-=sin(ar±) ②cosacosB干sin&sinB=cos(c±)： 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 例3.(25-26高二上·吉林白城月考)化简cos(2π-0)cos20-sin0sin(π+20)所得的结果是() A.cos B.-cos0 C.cos30 D.-c0s30 2/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式3-1.(25-26高一上·广东广州期末)cos8°cos37°+sin188°sin37=() A.-② B.② C.cos 29 D.1 2 变式3-2.(25-26高一上·四川广元期末)c0s75°c0s45°-sin75°sin45°=_ 变式3-3.(25-26高一上湖南长沙月考)cosa+45)cosa-15°）-sina+45)sin15°-a= 类型四、两角和差正切公式的应用 对两角和差正切公式的应用：tan(c:士= tana士tan3 1千tanatan39 1 例4.(25-26高一上重庆期末)已知ana=2,an(a-B)=-写则tamB=（） A.7 B.-7 c D 变式41.(25,26高一上新强克拉玛依期末)已知an任+a=-2,则aa=《） A.-3 C. D.3 3 变式42.(2公26商-上大津期末)期u为第一象限角，血。-引mB+》音则 tana+β)= 3 式43.(25-26高上贵州毕节期末已知o,B都是锐角，且cosa=,cos(a+)3,则1a邮=人 63 A. 16 16 63 B. C. D. 65 65 63 16 类型五、两角和差正切公式的逆用 对于两角和差的正切公司的逆用： tana+tanB+tan(a+B)tanatanB=tan(a+B) 例5.（25-26高-上江苏无锡月考)若a+B=3经，则1-ma]1-am) 变式5-1.(25-26高一上浙江杭州期末)tan24°+tan36°+√5tan24°，tan36= tan(a-p)+tanβ 变式5-2.（25-26高一·上海假期作业) l-tan(a-β)tanβ 3/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式5-3.(25-26高一上·山东青岛期末)(1)在tana,tanp与tan(a+)均有意义时，利用两角和的正弦、 余弦公式，推导出用角a,B的正切表示tana+B)的公式； (2)求1an20°+tan40°+tan120° 的值 tan20°tan40° 类型六、二倍角公式、降幂公式 二倍角公式 ①sin2cu=2 sinacosa: 2cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a' ③tan2ac= 2tand: 1-tan'g 降幂公式 sin2a=±g24；cos2a=+e92 2 2 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 例6.（浙江省绍兴市2025,2026学年高一上学期期未数学试题）已知sin0+x列=}，则c029=（) A.7 C.-22 9 D. 2V2 9 9 变式6-1.（河北省雄安新区2025-2026学年高一上学期2月期末考试数学试题）已知角α为锐角，且 tana+ 4 1 -=3 tana+ ,则cos20一A】 4 变式6-2.(25-26高一上·山西忻州期末)若sinx-cosx= 4’则sin2x= 变式63.(25-26高-上全国单元测试)c0s2-c0s25=（) 8 8 A.2 B. 2 C.3 D.3 2 3 类型七、辅助角公式 辅助角公式 asina+-bcosa-=Va2+bsin(a+中)（其中 sin中=+ cos中=34b，t中=号》 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2、辅助角公式在求最值的问题时常会用到，如遇到y= c+型，通过变形可得 asing+b byd yccosx--asinx=b-yd,利用箱助角公式可得s1n(x+9)=9,然后根据 三角函数取值范围讨论y的范围。 例7.矿东指江市225202%学年势一学期期未调研考试高一数学)已知片n2a+ 3 cos2a 2 (02则tana+”） a∈0， 的值为() 6 B.3 C.2 D.-2 变式7-1.（湖南常德市沅澧共同体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题）设当x=0时，函数 f(x)=sinr+3cosx取得最大值，则cos9=一 变式7-2.(25-26高一上·湖南邵阳·期末)已知函数f(x)=3cos3x+√3sin3x.若存在4，t2∈[-π，2π]，使得 f(4)f(42)=12,则t-t2的最大值为一 变式7-3.(25-26高一上·浙江宁波期末)已知关于x的方程3sinx+2cosx-1=0在[0,2π)上有两个不同的实 数解o,B,则sin(a+B)= 类型八、半角公式、万能公式 1、半角公式 ①sina=2sin号cos号 ②cosa=cos29-sin2号=2cos2号-1=1-2sin2号 ③ tand= 2ta号； 1-an9 ④tan号=中a= sina 1-cosa sina 2、万能公式：利用t=tan号表示sina,cos&tanc的有理形式。 t=tan号 2t sina=:cosa= t ，tana=草 半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方。利用半角公式求值的时候注意角的象限。 万能公式：主要用于将三角问题完全代数化，可以用在求最值与范围的问题中。 例8.(25,26高一上全国课前预习)已知角a是第二象限角，且终边经过点(-3,4利，则am号=（) 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.2 D.-2或2 变式8-1.(25-26高一上·山东青岛期末)已知ae(0,π，sina+cosa= 则sm受的值为() B.5 c.25 4 D. 5 5 5 变式8-2.（2025高二·全国.专题练习)已知a为第一象限角，sin= 5'则tang 4 21 变式8-3.(2025高三·全国·专题练习)高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而 2sincos 被我们称之为万能，例如：sina=sina= 21 2tan 1 sin2a 石子。不+2πK0,很据以上数学 2 2 2 变形转换方法，运用类比的方法解答下题 1-tan2 2tan a (I)试推导cosa= 2 tana = 1+tan2 （a≠元+2km(k≠0)： 1-tan2a 2 2 Q试球面数1小的取饭范目。 (3)试求函数g(x)= 6cosx+simr-5的取值范围， 2cosx-3sinx-5 类型九、和差化积公式与积化和差公式 1、积化和差公式 sina·cosB=sin(t-F)+sin(at+β)] cosa.sing=sin(a+B)-sin(a-B)] cosa.cosB=cos(a-B)+cos(a+B)] sina.sinB=cos(a-B)-cos(a+B)] 将三角函数的乘积化成和差，便于计算。在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号。把积化 成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算。 2、和差化积公式 sina+sinB=2sin cos sina-sinB-2cossin cosa+cosB-2cos cos cosa-cos--2sin sin 应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致。一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并 化简。 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例9.（多选)(25-26高一上全国·课前预习)下列计算正确的是（) A.c0s45°cos15°=1+V5 4 B.sin45°sin15°=1-V5 4 C.sin45°cos15°=1+V3 2 D.cos45°sin15°=V5-1 变式9-1.(2025高三全国.专题练习)函数y=cosxcos π 3-x,xe o.z 2 的值域是」 变式9-2.(25-26高三上·山东菏泽·月考)函数f(x=cos3x-cos2x在-2π，π的零点个数为 变式9-3.(25-26高三上甘肃兰州期中)设1=文 lsinst sinst=< cost A.1 B. C.3 D.3 2 压轴专练 1.(2526高一上江苏无锡月考)已知点P0,V)是角a的终边上一点，则co名a 1 (证明：tan a tan B=3: (2)求sin(a+β) 3.(2026广东·模拟预测)若sina sin985-cosa cos985=-1,则sina+985)= 4.(25-26高一上江苏无锡期末)已知ae(0,7,Be(-元，-，tana+anB=4,tanc tan=1+5, 则cos(a+B)= 5.(25-26高一上贵州期末)+an150 1-tan15o的值为() A.1 B. C.5 D.3 3 6.(25-26高一上广东东莞期未)已知c0sa-B)=22 3 sina sin B=Y2,则cos(2a+2B)=C)》 6 D.5 9 7.(25-26高一上·上海松江·期末)方程sinx-√3cosx=1在[0,2π上的解为 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题)已知sina-cosa= 5,ae(.) 5 ,则cos2a的值为一 9.(2025高三·全国专题练习)求证： 2(cos0-sin0)cos0 sin0 1+sin0+cos0 1+sin0 1+cos0 10.(2025高三上·内蒙古包头·专题练习)已知函数f(x)=cos3x-cos2x,x∈(0，π).若f(x)有两个零点x和 x2(x<x2),cos2x-cos2x2=_ 8/8 专题06 三角函数恒等变换 目录 典例详解 类型一、利用两角的正余弦值求和差公式 类型二、利用两角正余弦乘积求和差公式 类型三、两角和差正余弦公司的逆用 类型四、两角和差正切公式的应用 类型五、两角和差正切公式的逆用 类型六、二倍角公式、降幂公式 类型七、辅助角公式 类型八、半角公式、万能公式 类型九、和差化积公式与积化和差公式 压轴专练 类型一、利用两角的正余弦值求和差公式 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性 例1．（25-26高一上·山东济宁·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出的正余弦值，由及两角差的余弦公式可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 而，所以点在单位圆上， 由三角函数的定义可知，， 则 ， 故选：C. 变式1-1．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，分别为第一、第三象限角，且，则 . 【答案】 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，即可求解. 【详解】因，得， 又，得，即， 因为第一象限角，故，， 同理：，得， 又，得，即， 因为第三象限角，故，， 所以， 故答案为： 变式1-2．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知是第一象限角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】因为是第一象限角，所以，通过直接求解或，根据同角三角函数的基本关系及三角恒等变换，解方程组求解. 【详解】方法一：因为是第一象限角，即， 所以，所以. 因为，所以. 则. 故答案为：. 方法二：因为是第一象限角，所以. 因为，所以， 所以，① 两边同时平方得， 所以， 所以， 所以.② 由①②解得. 故答案为：. 变式1-3．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 类型二、利用两角正余弦乘积求和差公式 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 例2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. 变式2-1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）（1）已知，，则 ； （2）已知，，则 . 【答案】 / 【分析】①将已知两角和与差的余弦联立，求出和，作商可求；②将已知两个关系式平方相加可求. 【详解】对于①：，， 所以，； ，， 所以； 对于②：由， 所以， 故答案为：；. 变式2-2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），则 【答案】/-0.6 【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案. 【详解】因，则（*）， 由，可得（**）， 将（*）代入上式，，即， 代入（**），可得， 故. 故答案为： 变式2-3．（25-26高一上·云南·期末）已知，，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合两角和与差的余弦公式求出、，再切化弦即可求解. 【详解】由题可得， 解得，， 所以. 故选：C 类型三、两角和差正余弦公司的逆用 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 例3．（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果. 【详解】易知. 故选：A. 变式3-1．（25-26高一上·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：B. 变式3-2．（25-26高一上·四川广元·期末） ． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】. 故答案为： 变式3-3．（25-26高一上·湖南长沙·月考） ． 【答案】/ 【分析】由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 类型四、两角和差正切公式的应用 对两角和差正切公式的应用：； 例4．（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差的正切公式化简. 【详解】由题意可知，. 故选：A 变式4-1．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用正切的和角公式，即可求解. 【详解】因为，整理得到， 故选：D. 变式4-2．（25-26高一上·天津·期末）已知为第一象限角，，，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系，得，再由进行求解. 【详解】因为为第一象限角，则， 又，可知为第一象限角， 所以，所以， 又， 所以 . 故答案为： 变式4-3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知都是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平方和求出，再由商数关系和两角差正切公式即可计算求解. 【详解】因为都是锐角，且， 所以， 所以， 所以. 故选：C 类型五、两角和差正切公式的逆用 对于两角和差的正切公司的逆用: 例5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 变式5-1．（25-26高一上·浙江杭州·期末） . 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 变式5-2．（25-26高一·上海·假期作业） . 【答案】 【分析】由正切的和差角公式得到答案. 【详解】； 故答案为： 变式5-3．（25-26高一上·山东青岛·期末）（1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式结合商数关系推导即可； （2）先根据两角和的正切公式得到，再代入求解即可. 【详解】（1）已知， ， 所以， 分子分母同时除以得： ． （2）因为， 所以， 则． 类型六、二倍角公式、降幂公式 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 例6．（浙江省绍兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故选：B. 变式6-1．（河北省雄安新区2025-2026学年高一上学期2月期末考试数学试题）已知角为锐角，且，则 . 【答案】 【分析】先化简条件可得，结合平方关系可求，利用差角公式可得答案. 【详解】 ， 由题可知， 故答案为： 变式6-2．（25-26高一上·山西忻州·期末）若，则 . 【答案】 【分析】根据题设，结合平方关系、二倍角公式求解即可. 【详解】由， 则， 即. 故答案为：. 变式6-3．（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 类型七、辅助角公式 辅助角公式 1、 （其中）． 2、 辅助角公式在求最值的问题时常会用到，如遇到型，通过变形可得,利用辅助角公式可得,然后根据三角函数取值范围讨论y的范围。 例7．（广东湛江市2025-2026学年第一学期期末调研考试高一数学）已知，，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式和倍角公式以及齐次化思想求出，再结合角的范围约束其值. 【详解】由 ， 得，得或， 因为，所以， 因为，所以，则， 故. 故选：B 变式7-1．（湖南常德市沅澧共同体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题）设当时，函数取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式，结合辅助角的函数值即求解. 【详解】由， 其中， 当时，函数取得最大值， 则，即， 则， 故答案为： 变式7-2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数.若存在，，使得，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值时的值或取得最小值时的值，再分情况讨论即可. 【详解】函数, 所以的值域为 若存在，，使得，则或， 当时，则，解得 当时，对应的值为， 此时的最大值为， 当时，则，解得 当时，对应的值为， 此时的最大值为，显然； 综上的最大值为； 故答案为： 变式7-3．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式，方程可变形为，其中锐角满足，，则有，结合倍角公式求解即可. 【详解】， 其中锐角满足，， 方程在上有两个不同的实数解， 即方程在上有两个不同的实数解， 不妨设，由， 得，，， 所以. 故答案为： 类型八、半角公式、万能公式 1、半角公式 ①； ②； ③ ； ④ 2、万能公式：利用表示的有理形式。 ； 半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方。利用半角公式求值的时候注意角的象限。 万能公式：主要用于将三角问题完全代数化,可以用在求最值与范围的问题中。 例8．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【分析】根据已知及三角函数的定义得、，再由半角公式求值. 【详解】由题得，， 所以属于第一象限或第三象限，则， 故. 故选：B 变式8-1．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合平方关系求得，再根据降幂公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 又，则， 解得或（舍去），则， 所以， 又，则. 故选：C 变式8-2．（2025高二·全国·专题练习）已知为第一象限角，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用同角三角函数的平方关系求出，再利用半角公式即可求解. 【详解】为第一象限角，是第一象限角或第三象限角，，， ，， 根据半角公式可得. 故答案为：. 变式8-3．（2025高三·全国·专题练习）高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为“万能”，例如：，根据以上数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题． (1)试推导，； (2)试求函数的取值范围； (3)试求函数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简得证； （2）利用换元法设，求解的值域． （3）利用换元法设，，转化为关于的二次函数，分类讨论计算求得函数值域． 【详解】（1）， ． （2）已知，设， 则，即的取值范围为． （3）设，又，， 代入可得，整理得， ①当时，，， ②当时，由方程有解可得，即， 解得，综上，的取值范围为． 类型九、和差化积公式与积化和差公式 1、积化和差公式 将三角函数的乘积化成和差，便于计算。在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号。把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算。 2、和差化积公式 应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致。一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简。 例9．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 变式9-1．（2025高三·全国·专题练习）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】将化为，因为，所以，从而求出其值域即可. 【详解】 ． 因为，所以， 所以， 故答案为：. 变式9-2．（25-26高三上·山东菏泽·月考）函数在的零点个数为 ． 【答案】7 【分析】由和差化积公式得到，，令，求解的值，即可得到零点个数. 【详解】由和差化积公式得到，， 令，则，即或， 当时，得到，,即 , 因为，所以共7个； 当时，得到，，即，， 因为，所以共1个； 合并两组解，得到：共7个不同的零点； 所以函数在的零点个数为7个. 故答案为：7. 变式9-3．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知点是角的终边上一点，则 . 【答案】 【分析】先利用三角函数的定义求出，然后利用两角差的余弦公式求值即可. 【详解】因为点是角的终边上一点，所以， 则. 故答案为：. 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，. (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由余弦差角公式展开可得，再切化弦代入求即可； （2）先求，再结合角的范围，利用同角三角函数求值即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2）解：由（1）知， ， ，， . 3．（2026·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】0 【分析】利用余弦和差公式可得，再根据同角三角函数的关系求值即可． 【详解】显然， 于是． 故答案为：0． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 5．（25-26高一上·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】 ． 故选：C． 6．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的余弦公式及二倍角公式求值即可. 【详解】由，， 可得， 所以， 所以. 故选：D 7．（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式进行化简，得到，再解三角方程即可． 【详解】， 即， 或， 解得或， ，或， 故答案为：． 8．（山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】对原等式两边同平方并结合二倍角的正弦公式得，再缩小的范围，最后利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】，两边同平方得， 即，即，因为， 则，又因为，则， 则，则， 则. 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式变换取得相等． 【详解】证明：设，由万能公式，则，， 分别代入原式两边，并进行代数式变形： 左边， 右边， ∵左边右边，∴原等式成立． 10．（2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $