专题02一元二次方程及其应用寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其应用寒假预习讲义 · 认方程：牢记定义与一般形式 ax2+bx+c=0(a0)，会判断、会找系数 · 会解法：掌握4 种解法（开平 / 配方 / 公式 / 因式分解），能选最优方法快速解题 · 判根况：会用判别式 Δ=b2−4ac 判断根的个数，会求参数范围 · 用定理：理解韦达定理，会算两根和、积 · 解应用题：搞定面积、增长率、利润3 类高频应用题，会列会验 预习必备 知识点梳理 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的解法 3.根的判别式 4.根与系数的关系 5.一元二次方程的应用 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.由一元二次方程的定义求参数 4.一元二次方程的解的判定 5.由一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 7.一元二次方程的解法 8.由判别式判定方程根的情况 9.由一元二次方程根的情况求参数 10.一元二次方程的根与系数的关系 11.一元二次方程的应用 强化题型 (解答题7题) 【知识点01.一元二次方程的概念与形式】 1.定义：只含一个未知数、未知数最高次数为 2 的整式方程，且二次项系数不为 0。 2.一般形式：ax2+bx+c=0（a0），其中ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 3.注意：a0是方程为一元二次方程的前提，b、c可零。 【知识点02.一元二次方程的解法】 解法 适用形式 核心步骤 关键注意 直接开平方法 (x+m)2=n（n≥0） 直接开平方得x+m=±​，求解x n＜0无实数根 配方法 所有一元二次方程 1.化二次项系数为1； 2.移常数项到右边； 3.配方（加一次项系数一半的平方）； 4.开平方求解 配方时两边同加，保持等式成立 公式法 所有一元二次方程 1.化为一般形式； 2.确定a、b、c，计算Δ=b2−4ac； 3.Δ≥0时，代入求根公式 ​​ 先判Δ，非负才代入公式 因式分解法 左边能分解为两因式积，右边为 0 1.移项使右边为 0； 2.左边因式分解； 3.令各因式为 0，解一次方程 避免两边同除含未知数的因式致失根 【知识点03.根的判别式（Δ=b2−4ac）】 1.Δ＞0：方程有两个不相等的实数根。 2.Δ=0：方程有两个相等的实数根。 3.Δ＜0：方程无实数根。 4.应用：判断根的情况、求参数取值范围、证明方程根的性质等。 【知识点04.根与系数的关系】 1.若ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1、x2​，则x1+x2=−​，x1x2=（前提Δ≥0）。 2.应用：求根的对称式值、已知一根求另一根、构造方程等。 【知识点05.一元二次方程的应用】 1.解题步骤：审（题意）→找（等量关系）→列（方程）→解（方程）→验（根的合理性）→答（规范作答）。 2.常见类型 增长率 / 下降率问题：a(1±x)2=b（a为初始量，x为率，b为终量）。 面积问题：用割补法列面积等式，注意边长为正。 利润问题：总利润 = 单利 × 销量，销量常与价格线性相关。 数字问题：设个位 / 十位数字，用十进制表示数，列方程求解。 循环问题：单循环，双循环n(n−1)（n为对象数）。 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ． 【答案】1，4，0 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的定义确定二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：将方程 展开，得 ， 此即一元二次方程的一般形式，. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 4，常数项为 0． 故答案为：1，4，0． 【跟踪专练1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 【答案】D 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 【跟踪专练2】若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 【题型2.化成一元二次方程的一般形式】 【典例】一元二次方程：，当二次系数为时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是把一元二次方程先化为一般形式． 将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴一次项系数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 【跟踪专练2】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型3.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 【题型4.一元二次方程的解的判定】 【典例】对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 【跟踪专练1】若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故答案为：． 【题型5.由一元二次方程的解求参数】 【典例】若是关于的方程的一个根，则的值是（） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，将代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴代入得：， 即 ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】若是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 【题型6.一元二次方程的解的估算】 【典例】在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 【跟踪专练1】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【跟踪专练2】观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 【题型7.一元二次方程的解法】 【典例】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项，得 ， 两边开平方，得， 即，， 故答案为：，． 【跟踪专练1】用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 【跟踪专练2】对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 【题型8.由判别式判定方程根的情况】 【典例】在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 【跟踪专练1】一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【跟踪专练2】已知为实数，且满足，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查解一元二次方程，把看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 当时，即，，此方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，即，，符合题意； 故答案为：1． 【题型9.由一元二次方程根的情况求参数】 【典例】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 其中，，， 由，得， 由， 得，即， 故且， 故答案为：且． 【跟踪专练2】关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 【题型10.一元二次方程的根与系数的关系】 【典例】已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 【题型11.一元二次方程的应用】 【典例】中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键．设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，列出方程即可． 【详解】解：设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，依据题意得： ． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．    【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 【跟踪专练2】某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由小路的宽度，可得出栽种区域长为米，宽为米，结合在此区域栽种面积为486平方米的鲜花，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【跟踪专练3】横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮食中的“绿色珍珠”．某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天可售出100袋．为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，每袋横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋．现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 【答案】每袋横山绿豆的售价应降低12元 【分析】、 本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，寻找等量关系并列方程是解题关键． 设每袋横山绿豆的售价降低元，根据题意，每天的销量会增加袋，即每天销售袋，根据每天盈利3960元，列方程并求解即可． 【详解】解：设每袋横山绿豆的售价降低元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能扩大销售量， ∴， 答：每袋横山绿豆的售价应降低12元． 1．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 3．解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用十字相乘法对所给一元二次方程进行因式分解，然后求解即可； （3）利用平方差公式对所给一元二次方程进行因式分解，然后求解即可； （4）利用提公因式法对所给一元二次方程进行因式分解，然后求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 解得，． （2）解：移项，得， 分解因式，得， 解得，． （3）解：移项，得， ， 或， 解得，． （4）解：移项，得， ， 或， 解得，． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 5．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 6．某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 7．新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义方程的应用，掌握利用韦达定理结合新定义条件，分情况讨论求解，注意根不为0的限制是解题的关键． （1）设方程的两根为和，利用韦达定理的两根和与积，代入方程系数求的值 （2）设方程的两根，根据既是倍根又是方根的条件分两种情况讨论，利用韦达定理求和的值，注意根不为0的条件． 【详解】（1）解：设方程的两个根分别为，． ∵该方程是“倍根方程”， ∴可设． ，， ，， ， ． （2）解：设方程的两个根为，． ∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴分以下两种情况讨论： ①当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，； ②当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，． 综上，，或，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02一元二次方程及其应用寒假预习讲义 预习目标 。认方程：牢记定义与一般形式ax+bx+c0(a≠0)，会判断、会找系数 ·会解法：掌握4种解法（开平/配方/公式/因式分解），能选最优方法 快速解题 ·判根况：会用判别式△=b2-4ac判断根的个数，会求参数范围 ·用定理：理解韦达定理，会算两根和、积 ·解应用题：搞定面积、增长率、利润3类高频应用题，会列会验 预习内容概览 预习必备 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的解法 3.根的判别式 4.根与系数的关系 知识点梳理 5.一元二次方程的应用 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.由一元二次方程的定义求参数 4.一元二次方程的解的判定 常考题型 5.由一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 精讲精炼 7.一元二次方程的解法 8由判别式判定方程根的情况 9由一元二次方程根的情况求参数 10.一元二次方程的根与系数的关系 11.一元二次方程的应用 强化题型 (解答题7题) 知识点梳理 【知识点01.一元二次方程的概念与形式】 1定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，且二次项系数不 为0。 2.一般形式：ax+bx+c=0(a0),其中ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一 次项，b为一次项系数；c为常数项。 3.注意：a≠0是方程为一元二次方程的前提，b、c可零。 【知识点02.一元二次方程的解法】 试卷第1页，共3页 解法适用形式 核心步骤 关键注意 直接开平 直接开平方得x+m=士√n,求 (x+m)2=n(n≥0) h<0无实数根 方法 解x 1.化二次项系数为1： 2.移常数项到右边： 配方时两边同加，保持等 配方法所有一元二次方程 3.配方（加一次项系数一半 式成立 的平方)： 1.开平方求解 1.化为一般形式： 2.确定a、b、c,计算 △=b2-4ac: 先判△，非负才代入公 公式法 所有一元二次方程 3.△≥0时，代入求根公式 式 x=-b±62-4ac 2a 1.移项使右边为0： 因式分解 左边能分解为两因式积， 2.左边因式分解： 避免两边同除含未知数的 法 右边为0 令各因式为0，解一次方 因式致失根 程 【知识点03.根的判别式（△=b2-4ac)】 1△>0：方程有两个不相等的实数根。 2.△=0：方程有两个相等的实数根。 3.△<0：方程无实数根。 4.应用：判断根的情况、求参数取值范围、证明方程根的性质等。 【知识点04.根与系数的关系】 1.若ax2+bx+c-0(a≠0)的两根为x1、X2,则x1+x2= 名XX后（前提△0）。 2.应用：求根的对称式值、已知一根求另一根、构造方程等。 【知识点05.一元二次方程的应用】 1解题步骤：审（题意）→找（等量关系）→列（方程）→解（方程）→验 (根的合理性)→答（规范作答)。 试卷第2页，共3页 增长率/下降率问题：a(1±x)2-b(a为初始量，x为率，b为终量)。 面积问题：用割补法列面积等式，注意边长为正。 利润问题：总利润=单利×销量，销量常与价格线性相关。 数字问题：设个位/十位数字，用十进制表示数，列方程求解。 循环问题：单循环 n(n-1 2,双循环n(n-1)(n为对象数)。 2 常考题型精讲精练 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】将方程x+4)=0 化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和 常数项分别是 【跟踪专练1】已知x=0是一元二次方程m-3引r+4x+m-9= 的一个根，则”的值为 () A.任意实数 B.3或-3 C.3 D.-3 【跟踪专练2】若m是方程2x2+3x-1015=0的一个根，则代数式1-4m2-6m的值为 【题型2.化成一元二次方程的一般形式】 【典例】一元二次方程：3x2=x+2,当二次系数为3时，一次项系数是 【跟踪专练1】一元二次方程+3x= 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.1,3,1 B.1,3,-1 C.0,-3,1 D.0,-3,-1 【跟踪专练2】一元二次方程2x2-8=5化成一般形式后，二次项系数为一，一次项系数 为一，常数项为一 【题型3.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于x的方程k-2列产+3x-1=0 一元二次方程，则k的取值范围是() A.k≠0 B.k≠2 C.k>2 D.k>0 试卷第3页，共3页 【跟踪专练1】若关于x的方程m+2列x+3+1=0是一元二次方程，则m= 【跟踪专练2】若关于”的方程r+b+0=0a≠0)满足0-b+c=0,称此方程为“贺 a 岁”方程.已知方程a2x2-2024ax+1=0(a≠0是“贺岁”方程，则a+2025a- 2024a+1 的值为() A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 【题型4.一元二次方程的解的判定】 【典例对于一元二次方程r+r+c=00≠0，若a-3b+c=0,则该方程的一个根是 【跟踪专练1】若一元二次方程r+6r+c=0中的a,,c满足a-b+c=0, 则方程必有 根() A.x=0 B.x=1 C.x=-1 D.x=±1 【跟踪专练2】已知m是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则2024-m2+3m的值为一 【题型5.由一元二次方程的解求参数】 【典例】若x=3是关于x的方程x2-2x-m=0的一个根，则m的值是() A.-1 B.-3 C.3 D.1 【跟踪专练1】若m是方程x2-4x-1=0的根，则2m2-8m的值为一 【跟踪专练2】若关于'的一元二次方程r+r-8=0a≠ 有一个根为x=2025,则-元 二次方程a(x+3)+6r+36=8a≠0)有一个根为（) A.x=2022 B.x=2023 C.x=2025 D.x=2028 【题型6.一元二次方程的解的估算】 【典例】在估算一元二次方程+12x-15=0。 的解时，小明列表如下： 试卷第4页，共3页 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15=0 -0.59 0.84 2.29 3.76 请判断其中一个解x的大致范围是( A.0<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 【跟踪专练1】如果“是方程 2+x-3=0 的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 <a< 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x-3 -0.36 -0.01 0.36 0.75 【跟踪专练2】观察下列表格， 一元二次方程x2-3x-4.6=0的一个近似解为() -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07 x2-3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A -1.088 B -1.073 -1.124 D.-1.118 【题型7.一元二次方程的解法】 【典例】方程x2-9=0的解是 【跟踪专练1】用配方法解一元二次方程+6x+3=0时，将方程化为x+m°=”的形 式，则n的值为() A.12 B.9 C.6 D.3 【跟踪专练2】对于实数a,b,定义：a*b=a+b,a#b=ab.若>0，且满足 （1*刘判1#刘=1，则x= 【题型8.由判别式判定方程根的情况】 【典例】在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于 x的一元二次方程x2+kx-1=0的根的情况，小明的回答是：原方程有_实数根. 【跟踪专练1】一元二次方程？-3x+1=0 的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 试卷第5页，共3页 【跟踪专练2】已知x为实数，且满足+3+2+3刘-3=0，则2+3x的值为 【题型9.由一元二次方程根的情况求参数】 【典例】若关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，则b的值是（) A.3 B.4 C.5 D.6 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程k-2列x+2x-1=0 两个不相等的实数根，则k 的取值范围是一· 【跟踪专练2】关于x的方程2-2m+m2=4的两个根5满足=2死+3，且>， 则m的值为() A.-3 B.1 C.3 D.9 【题型10.一元二次方程的根与系数的关系】 【典例】已知方程-4红+k=0 的一个根为5，则方程的另一个根为一· 【跟踪专练1】已知一元二次方程x-3x-5=0的两根为，，则+5-的值为 () A.2 B.-2 C.8 D.-8 【跟踪专练2】若m、n是两个不相等的实数，且满足m-2m=1,n-2m= ,则代数式 m2+n2的值为一 【题型11.一元二次方程的应用】 【典例】中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地 区居民年人均收入平均增长率为x,可列方程为() 200(1+2x)=1000 A. B.200+2x=1000 C.2001+x2)=1000 D 200(1+x2=1000 试卷第6页，共3页 DeepSeek DeepSeek 【跟踪专练1】如图，根据小丽与 的对话， 在深度思考后，给出的答案 是 新对话 有没有这样一个数，先计算这个数 的平方，再减去这个数，最后加上 1,其运算结果和这个数相同？ ）深度思考中… C开启新对话 给DeepSeek发送消息 忍深度思考R1) ⊕联网搜索 ⊙ 【跟踪专练2】某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽 种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分） 供游客观光.如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是() A.(20-2x30-3刘=20×30-468 B.(20-2x(30-3x=468 C.(20-2x(30-3x)=486 D 2(20-2x(30-3x)=486 【跟踪专练3】横山大明绿豆是陕西省横山县的特产，也是国家地理标志产品，被誉为粮 食中的“绿色珍珠”.某网店销售成本为30元/袋的横山绿豆，当售价为60元/袋时，每天 可售出100袋.为了迎接元旦，该网店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，每袋 横山绿豆的售价每降低1元，每天可多售出10袋.现要使销售该种横山绿豆平均每天盈利 3960元，并尽可能扩大销售量，求每袋横山绿豆的售价应降低多少元？ 试卷第7页，共3页 05 强化巩固 1定义：方程=0是一元三次方程心+r+6=0 的倒方程，其中a,b,c为常 数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (0一元二次方程4r+3x+1=0 的“倒方程”是_： (2若x=- 是一元二次方程r-2x+c= 的“倒方程”的解，求出‘的值： 3)若”是一元二次方程6r++1= 的“倒方程”的一个实数根，则m+m-6m+2025 的 值为_· 2.小贝在做“一块矩形铁片，面积为1，长比宽多3，求铁片的长”时是这样做的：设铁 片的长为，列出的方程为(x-3引=1，整理，得2-3x-1=0小贝列出方程后，想知道 铁片的长到底是多少.下面是它的探索过程： 第一步： x 2 3 4 -3 -3 x2-3x-1 所以<x< 第二步： x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.69 -0.36 所以<x<一· ()请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分。 (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少？十分位为多少？ 大 1 2 4 x2-3x-1 -3 -3 -1 3 3.1 3.2 3.3 3.4 试卷第8页，共3页 x2-3x-1 -0.69 -0.36 -0.01 0.36 3.解下列方程： (1)x2-4x+1=0. 23x2+1=4r 8x-22=9r (43r-7)=2x 4.已知关于x的一元二次方程mr-(3m-3列x+2m-3=0(m≠0) (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值. 5.在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以lcms 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2Cm/s的速度移动.如果 P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒 B BO= PB= (1)填空： 用t的代数式表示)： PO (2)当t为何值时， 的长度等于5cm? APOCD 26cm2 (3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 若存在，请求出此时t的值； 若不存在，请说明理由 6.某零食商店以22元/千克的价格购进一种饼干，计划以34元/千克的价格销售，为促 销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量'（千克）与每千克降价x(元)(0<x<10 )之间满足的函数关系图象如下： 试卷第9页，共3页 y(千克) 105---- 75 012 45元) (1)若这种饼干定价为8元/千克时，则商店获利元： (2)若商店要想获利600元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少 元？ 7.新定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外 一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于x的一元二次方程有两个实数根 (都不为0)，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”. x2-6x+a=0 ()若一元二次方程 是“倍根方程”，求“的值。 2若一元二次方程+br+c=0 既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，C的值. 试卷第10页，共3页