精品解析：福建福州第一中学2025-2026学年第一学期第二学段模块考试高二数学试题

福州一中2025-2026学年第一学期第二学段模块考试 高二数学选择性必修二模块试卷 满分：150分完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的离心率为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 5. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ） A. 324 B. 243 C. 256 D. 168 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 10. 已知抛物线的焦点，直线过焦点交抛物线于两点（点在第一象限），为的准线，为与轴交点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若，则 C. D. 若，则直线的斜率为 11. 在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（ ） A. 是椭圆 B. 点集不可能为空集 C. 中任意一点都满足 D. 中存在点使得为直角 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线方程为，则___________． 13. 已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，若，，则的渐近线方程为___________． 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算___________，数列的前项和___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． （1）求的值； （2）已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 17. 已知数列的前项和为，且 （1）若数列不是等比数列，求； （2）若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）为椭圆上一动点，求的最大值； （2）若点在以为直径的圆上，求直线的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2），点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点． 记，解答下面问题． （i）证明：数列是等比数列； （ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025-2026学年第一学期第二学段模块考试 高二数学选择性必修二模块试卷 满分：150分完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2. 若双曲线的离心率为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，解得：，即; 故选：B 3. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解． 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差中项求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以 解得 ， 所以， 故选：C 5. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质和定义得出与的表达式，构造函数并求导，利用导数求出极值点，进而求出取得最小值时的参数值，最后利用斜率公式求解即可． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，根据抛物线的定义得， 由两点间距离公式得， 则，令， 而函数平方后单调性不变，设， 求导得， 令，则， 解得（斜率不存在，舍去）或， 令，， 令，， 则在上单调递减， 在上单调递增， 得到， 故当时，最小，即最小， 当时，点， 由斜率公式得直线斜率为，故D正确． 故选：D． 7. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ） A. 324 B. 243 C. 256 D. 168 【答案】B 【解析】 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 解得. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出是矩形，结合椭圆的定义和勾股定理求出，利用解不等式即可. 【详解】由点与点关于原点对称，结合椭圆的对称性可知，是平行四边形， 因为，所以是矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为点是椭圆在第一象限上的一个点， 所以， 则，，， 因为，，所以， 则，即， 得，得， 得或（舍），即， 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确； 对于D，根据导数的定义可得：，故D错误； 故选：AC 10. 已知抛物线的焦点，直线过焦点交抛物线于两点（点在第一象限），为的准线，为与轴交点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若，则 C. D. 若，则直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得； 对于B，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得； 对于C，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理化简即可求解； 对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 因为抛物线的焦点，则，抛物线， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，故A正确； 对于B，因为,,,, 所以，代入抛物线方程可得： 根据抛物线的定义：，故B错误； 对于C，设，，显然直线的斜率不为， 设直线的方程为：， 联立，可得：。 ，，， 则，， 所以， 因为， 故，所以，故C正确； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D不正确. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（ ） A. 是椭圆 B. 点集不可能为空集 C. 中任意一点都满足 D. 中存在点使得为直角 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由椭圆的定义即可判断；对于B，取，由即可判断；对于C，根据，代入，可得，解绝对值不等式即可判断；对于D,假设存在点使得为直角，可得，将代入计算即可求解. 【详解】对于A,,则， 根据椭圆的定义可得：是以为焦点，长轴长为的椭圆，故A正确； 对于B，取，则，则， 这与矛盾，则此时点集为空集，故B不正确； 对于C,，则，所以， 由于，则， 即，即，解得，故C正确； 对于D,,则，所以， 假设存在点使得为直角，则， 即，解得或， 当时，，此时重合，不能构成三角形， 当时，，此时，满足条件， 综上，中存在点使得为直角，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 13. 已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，若，，则的渐近线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故答案为： 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算___________，数列的前项和___________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用欧拉函数的互素性质求出；利用欧拉函数的积性性质求出，进而求出的通项公式，再利用等比数列的前项和公式结合错位相减法求解． 【详解】由欧拉函数的定义可知表示不超过且与互素的正整数，有共4个， ； 利用欧拉函数的积性性质，， 对于，集合中被整除的数可表示为，且满足， ，故的取值为，共个， 集合中共有个元素，其中不互质的有， ， ， ， ， ①，②， 由①减去②得，， ， ， ． 故答案为：4；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算等差数列的首项与公差，利用等差数列的通项公式可得答案； （2）利用裂项相消可得答案. 【小问1详解】 设等差数列  的首项为 ，公差为 ， 由 ，得， 整理得， 由 ，得， 即， 解得， 所以数列  的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知 ，则 ， 所以， 利用裂项求和， 有， ， ， 所以数列  的前  项和 . 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． （1）求的值； （2）已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【小问1详解】 分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值． 17. 已知数列的前项和为，且 （1）若数列不是等比数列，求； （2）若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据式子特点，利用的关系式得出，再根据不是等比数列得出； （2）通过分析特征，确定最后3项为，再结合分组求和法即可求解. 【小问1详解】 由， 得，则， 所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，由及可知，对任意成立， 故. 【小问2详解】 由（1）中推导可知，若，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，， 可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，… 故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即， 当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12， ， . 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）为椭圆上一动点，求的最大值； （2）若点在以为直径的圆上，求直线的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，代入两点间距离公式结合二次函数的性质即可求解； （2）设直线，，，联立直线与椭圆方程：，由韦达定理：，，根据化简即可求解. （3）结合直线斜率公式、一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设为椭圆上一点，则，且 ， 则： ， 所以当时，. 【小问2详解】 椭圆右焦点，设直线，，， 联立直线与椭圆方程：，可得， 由韦达定理：，， 点在以为直径的圆上，等价于， ， 代入韦达定理：， 化简得：， 即， 即，即，解得或. 因此，直线的方程为或， 【小问3详解】 由（2）可知，，，，，，， 直线的方程为：，把代入方程中，得， 所以，于是，，， 因为，，成等差数列， 所以， 化简，得， 把代入化简，得， 把代入， 得，因为，所以有，即. 19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2），点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点． 记，解答下面问题． （i）证明：数列是等比数列； （ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦距得出，利用双曲线的性质得出的关系，结合已知点构造方程求出，进而求出，得出双曲线方程； （2）根据已知条件，设点列出直线方程，联立双曲线方程结合韦达定理求出坐标，进而得出递推关系，证明结论；求出的通项公式，进而求出，利用放缩法证明结论． 【小问1详解】 双曲线的焦距为，得， ， 又点在双曲线上， ，即，解得，则， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）双曲线的右顶点为，故，， 过点作斜率为的直线，方程为， 联立直线与双曲线方程得，整理得， 设， 由韦达定理得，解得，， 点为点关于轴的对称点，故，， ， ， ， 是首项为2，公比为3的等比数列； （ii）， ， ， 当时，， 当时，，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $