第05讲 勾股定理的逆定理及其应用（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 勾股定理的逆定理及其应用（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)找：找出三角形三边中的最长边； (2)算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则 不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别 为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且 a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 续表 勾股定理 勾股定理的逆定理 关系 【知识点02】勾股数 1. 勾股数 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 意义 某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形 常见勾股数 常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 勾股数有无数组 注意 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数. 2.勾股数的倍数：每组勾股数的相同正整数倍也是勾股 数，即一组勾股数同时扩大为原来的k(k为正整数)倍 后，依然是勾股数. 但注意，每组勾股数缩小为原来的时，虽然三边仍然满足勾股定理，但不一定还是勾股数. 如：3，4，5是一组勾股数，6，8，10是一组勾股 数，但0.3，0.4，0.5不是一组勾股数.不是正整数 思路导引： 【题型一】判断三边能否构成直角三角形 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）判定含字母的式子能否构成勾股数若，，是一组勾股数，则下列四组数中，一定是一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路，相交于点，从点沿直线再修建一条公路到点．若，，．求证：． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明与小红同时从同一地点出发，小明向正北方向走，速度是，小红的速度是，后他们相距．由此判断小红行走的方向是（    ） A．正南 B．正东 C．正西 D．正东或正西 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 变式3．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【题型二】图形上与已知两点构成直角三角形的点 例3．（24-25八年级·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 变式1．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【题型三】在网格中判断直角三角形 例4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·广东汕头·月考）已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有 个． 例6．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式2．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，每个小正方形边长都为1， ， ， 变式3．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成中，点坐标为，点坐为，点坐标为． (1)求的长； (2)求证：． 【题型四】利用勾股定理的逆定理求解 例7．（23-24八年级下·吉林延边·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 例8．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 例9．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，求证：． 变式1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 变式3．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【题型五】勾股定理逆定理的实际应用 例10．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为 ． 例12．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 变式1．（24-25八年级下·吉林·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 变式2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 变式3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【题型六】勾股定理逆定理的拓展问题 例13．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 例14．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 变式1．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 变式2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 变式3．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【题型七】勾股树（数）问题 例15．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 例16．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 例17．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 变式1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 变式2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 变式3．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 一、单选题 1．下列各组数是勾股数的为（　　　） A． B． C． D． 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，2， D．4，5，6 3．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 4．关于的三边，给出一个条件，使其为直角三角形，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：三条边满足关系；淇淇：三条边的比为 A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都正确 D．嘉嘉和淇淇的都不正确 5．在中，，，的对应边分别是a、b、c，满足下列条件的中，直角三角形的个数为（    ） ①；②，，；③，；④，，；⑤，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 7．满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：．解：因为．所以，根据 ，这个三角形不是直角三角形． 12．如图，为的边上一点，已知 ，，，，则的长为 ．    13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4，则∠OAB+∠OBA的度数为 ． 14．已知在中，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则的最小值是 ． 15．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ． 16．如图，中，，，，为边的中点，则 ． 17．如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 三、解答题 18．如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 19．在中，，判断的形状，并说明理由． 20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)画出边上的高，求的长； (3)以为边向右侧作，使是等腰三角形，则的长为________． 21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长． 22．如图，中，，D是边上的一点， (1)试判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求的面积 23．如图，四边形ABCD是平行四边形． (1)尺规作图：作菱形AECF，点E，F分别在AD，BC上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若AB＝2，AC＝2，BC＝4，连接EF，判断AB和EF的位置关系，并说明理由． 24．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 25．在求解一类代数问题时，我们常常将二次三项式化成的形式，并利用的非负性解决问题．请阅读下列材料，并解决相关问题： 【例1】求代数式的最小值． 解：． ，，即代数式的最小值为3． 【例2】若，求、的值． 解：，， 即，，，，即． (1)求代数式的最小值； (2)在中，，，． ①若是等腰三角形，且满足，直接写出的周长； ②若，且，试判断是不是直角三角形，并说明理由． 26．如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上． (1)四边形的周长为 ，面积为 ． (2)直接写出的边上的高的长度为 ． (3)若是以为斜边的直角三角形，且构成的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点共有 个，请在图中画出满足条件的一个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 勾股定理的逆定理及其应用（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)找：找出三角形三边中的最长边； (2)算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则 不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别 为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且 a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 续表 勾股定理 勾股定理的逆定理 关系 【知识点02】勾股数 1. 勾股数 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 意义 某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形 常见勾股数 常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 勾股数有无数组 注意 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数. 2.勾股数的倍数：每组勾股数的相同正整数倍也是勾股 数，即一组勾股数同时扩大为原来的k(k为正整数)倍 后，依然是勾股数. 但注意，每组勾股数缩小为原来的时，虽然三边仍然满足勾股定理，但不一定还是勾股数. 如：3，4，5是一组勾股数，6，8，10是一组勾股 数，但0.3，0.4，0.5不是一组勾股数.不是正整数 思路导引： 【题型一】判断三边能否构成直角三角形 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）判定含字母的式子能否构成勾股数若，，是一组勾股数，则下列四组数中，一定是一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】要判断一组数是否为勾股数，需要同时满足 “是正整数” 和 “满足勾股定理” 两个条件。我们可以通过举反例或代数推导来逐一验证选项． 【详解】解：A、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意； B、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意； C、已知，对，，进行验证：且，，均为正整数，满足勾股数的定义，符合题意； D、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的定义与性质，解题关键是紧扣勾股数的两个核心条件（正整数、满足勾股定理），通过举反例或代数推导来验证选项． 例2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路，相交于点，从点沿直线再修建一条公路到点．若，，．求证：． 【答案】证明过程见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确利用公式求解是解题的关键． 根据已知数据利用进行判断即可 【详解】，，， ，， ， ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明与小红同时从同一地点出发，小明向正北方向走，速度是，小红的速度是，后他们相距．由此判断小红行走的方向是（    ） A．正南 B．正东 C．正西 D．正东或正西 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，掌握若三条线段满足，则对应的路线互相垂直是解题的关键． 通过计算路程后应用勾股定理逆定理，判断方向关系． 【详解】解：∵小明小时向正北走，小红1小时走，他们相距， 且， ∴小明和小红的行走方向互相垂直， ∵小明向正北， ∴小红向正东或正西． 故选：D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 变式3．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】沿北偏西（或西北）方向航行 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 【题型二】图形上与已知两点构成直角三角形的点 例3．（24-25八年级·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 变式1．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【知识点】勾股定理与网格问题、图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型三】在网格中判断直角三角形 例4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 例5．（24-25八年级下·广东汕头·月考）已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有 个． 【答案】6 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形．本题根据直角三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图： 观察图可知，满足条件的格点有个． 故答案为：． 例6．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，每个小正方形边长都为1， ， ， 【答案】 /45度 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，首先借助网格分别求出、、的长度，可得：，根据勾股定理的逆定理可以判断是等腰直角三角形，是斜边，从而可得． 【详解】解：连接，如图所示： 由图可知：， ， ， ∴， ，，， 又， ， 是直角三角形，是斜边， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：；；． 变式3．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成中，点坐标为，点坐为，点坐标为． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用. （1）根据平面直角坐标系和勾股定理，即可得解； （2）首先根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可得证. 【详解】（1）根据勾股定理，得 （2）根据勾股定理得到，， ∴ ∴是直角三角形， ∴. 【题型四】利用勾股定理的逆定理求解 例7．（23-24八年级下·吉林延边·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 例8．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 【答案】/度 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 例9．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明即可． 【详解】证明：在中，，，， ， ， 是直角三角形，且， ． 又， ， ， 是直角三角形，即． 变式1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 【答案】150 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 变式3．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 【题型五】勾股定理逆定理的实际应用 例10．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为 ． 【答案】48 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形． 首先利用勾股定理的逆定理得到，然后过作，垂足为，确定的最短距离，然后利用面积法进行求解即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：． 例12．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴. 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 变式1．（24-25八年级下·吉林·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 变式3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 【题型六】勾股定理逆定理的拓展问题 例13．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 例14．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 变式1．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 变式2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 变式3．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【知识点】数字类规律探索、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 【题型七】勾股树（数）问题 例15．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：不是整数，不是勾股数； 选项B：都不是整数，不是勾股数； 选项C：都不是整数，不是勾股数； 选项D：5，12，13都是正整数，且，是勾股数； 故选：D． 例16．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 例17．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【详解】（1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 变式1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 变式3．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 一、单选题 1．下列各组数是勾股数的为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股数必须是三个正整数，且满足勾股定理．直接计算各选项即可判断．本题考查勾股数的定义，解题中用到的方法是“定义验证法”，即对照勾股数的两个核心条件（正整数、满足勾股定理）逐一排查选项．解题关键是明确勾股数的双重要求（正整数+勾股定理），避免忽略“正整数”这一限制条件．易错点是误将非正整数的数（如选项B的无理数）当作勾股数，或仅验证勾股定理而忽略正整数的要求． 【详解】对于A：，故是勾股数． 对于B：不是正整数，∴不是勾股数． 对于C：，∴不是勾股数． 对于D：，∴不是勾股数． ∴故选A． 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，2， D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，可以构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 4．关于的三边，给出一个条件，使其为直角三角形，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：三条边满足关系；淇淇：三条边的比为 A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都正确 D．嘉嘉和淇淇的都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故嘉嘉的说法正确； 设三条边的长分别为， ∵， ∴三条边的比为时，不是直角三角形，故淇淇的说法错误， 故选：A． 5．在中，，，的对应边分别是a、b、c，满足下列条件的中，直角三角形的个数为（    ） ①；②，，；③，；④，，；⑤，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，通过直角三角形的特征和勾股定理逆定理进行判定即可得到答案． 【详解】解：①∵中，， ∴设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ②∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ③∵中，，，且， ∴， ∴是直角三角形，故本小题正确； ④∵中，，，， ∴， ∴为直角三角形，故本小题正确； ⑤∵中，，，， ∴， ∴不是直角三角形，故本小题错误． ∴是直角三角形的有①②③④． 故选：C． 6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 7．满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据勾股定理逆定理、有一个角是的三角形是直角三角形进行判断即可得解． 【详解】解：A．∵，， ∴即 ∴是直角三角形，不符合题意； B．∵ ∴设， ∴，是直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意； D．∵ ∴，， ∴不是直角三角形，符合题意． 故选：D 8．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数 ．　 【详解】解：如图，连结AC， 由题意可得： ∴AC=BC，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 故选：A ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键． 10．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 二、填空题 11．判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：．解：因为．所以，根据 ，这个三角形不是直角三角形． 【答案】勾股定理的逆定理 【分析】根据题干中判断是否为直角三角形的方法即可得出结果． 【详解】已知三边判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理． 故答案为：勾股定理的逆定理． 【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理的应用，理解题意，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 12．如图，为的边上一点，已知 ，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形，即，在中利用勾股定理可得出的长度． 【详解】，，， ， 是直角三角形，， 是直角三角形， 在中，． 故答案为： 13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4，则∠OAB+∠OBA的度数为 ． 【答案】90° 【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断出△AOB是一个直角三角形，从而可以得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝，AC＝2，BD＝4 ∴， 在△AOB中，， ∴ ∴△AOB是一个直角三角形，∠AOB=90° ∴∠OAB+∠OBA=90° 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理． 14．已知在中，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理可得，再作点关于的对称点，连接，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，且， 如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 又， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键． 15．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．依照题意画出图形，根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． ，，， ， ， 为直角三角形，且， ， 乙客轮的航行方向为南偏东； 故答案为：南偏东． 16．如图，中，，，，为边的中点，则 ． 【答案】 【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到使，连接，如图所示： 在和中， ， ≌， ，， ， 在中，， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】连接，根据，，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握等边三角形的知识和勾股定理的逆定理是解题的关键． 三、解答题 18．如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．先根据网格利用勾股定理分别求出三角形三条边的平方，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：根据题意得：，，， ， 是直角三角形． 19．在中，，判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)画出边上的高，求的长； (3)以为边向右侧作，使是等腰三角形，则的长为________． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)画图见解析，2 (3)画图见解析， 【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可； （2）取格点E，连接交于D，点D即为所求，利用三角形面积法求出即可； （3）如图所示，取格点D即为所求，利用三线合一定理求出即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，点D即为所求； 取格点E，连接交于D，可证得到，进一步证明，则即为中边上的高； ∵， ∴ （3）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长． 【答案】（1）见解析；（2）△AEC的周长为14． 【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合BE2-EA2=AC2可求得EC2=EA2+AC2，可证得结论； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB=EC， ∵BE2-EA2=AC2， ∴EC2-EA2=AC2， ∴EC2=EA2+AC2， ∴∠A=90°； （2）∵D是BC的中点，BD=5， ∴BC=2BD=10， ∵∠A=90°，AC=6， ∴AB==8， ∵EB=EC， ∴△AEC的周长=AE+EC+AC=AE+EB+AC=AB+AC=6+8=14． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理和其逆定理解答． 22．如图，中，，D是边上的一点， (1)试判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1)是，理由见解析 (2)10 【分析】（1）由， 可得是直角三角形，可得，可得是直角三角形． （2）设腰长，由，建立方程，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）设腰长， 在中， ∴， ∴， 解得， 即的面积 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解本题的关键． 23．如图，四边形ABCD是平行四边形． (1)尺规作图：作菱形AECF，点E，F分别在AD，BC上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若AB＝2，AC＝2，BC＝4，连接EF，判断AB和EF的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)AB与EF平行，理由见详解 【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交AD、BC与点E、F，则四边形AECF即为所求； （2）连接EF，交AC于点O，先证明△ABC是直角三角形，可得∠CAB=90°，即AB⊥AC，根据四边形AECF是菱形，有AC⊥EF，，则问题得解． 【详解】（1）作图如下： 四边形AECF即为所求； 证明：∵EF为AC的垂直平分线， ∴AF=FC，AE=EC，AC⊥EF， ∴∠CAD=∠ECA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠CAD=∠ACB， ∴∠ACB=∠ACE， 同理∠CAF=∠CAE， 又∵AC=AC， ∴△ACF≌△ACE， ∴AF=AE， ∴AE=EC=CF=AF， 即四边形AECF是菱形； （2），理由如下， 连接EF，交AC于点O，如图， ∵AB=2，BC=4，， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∴AB⊥AC， ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF， ∴， 得证． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 24．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由中垂线的性质，得到，结合，得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，且； （2）在中，利用勾股定理得到，再利用中垂线性质即可得到． 【详解】（1）解：（1）连接，如图所示： ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵， ∴在中，， ∵垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查中垂线的性质求角度及线段长，涉及中垂线性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理、中垂线的性质是解决问题的关键． 25．在求解一类代数问题时，我们常常将二次三项式化成的形式，并利用的非负性解决问题．请阅读下列材料，并解决相关问题： 【例1】求代数式的最小值． 解：． ，，即代数式的最小值为3． 【例2】若，求、的值． 解：，， 即，，，，即． (1)求代数式的最小值； (2)在中，，，． ①若是等腰三角形，且满足，直接写出的周长； ②若，且，试判断是不是直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)① 15或18；②是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据例题1的方法，进行求解即可； （2）①根据例题2的方法，得出，，进而根据等腰三角形的定义分类讨论即可求解；②先根据完全平方公式因式分解，得，，，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形． 【详解】（1）解：． ， ，即代数式的最小值为1． （2）解：①， ， 即， ，， ， ，， 当是腰时，为底边， ∵，能构成等腰三角形， 的周长为：； 当是腰时，为底边， ∵，能构成等腰三角形， 的周长为：； 的周长为15或18； ②是直角三角形，理由如下： ，且， ， 即， ， ， ，， ，， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理，综合运用以上知识是解题的关键． 26．如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上． (1)四边形的周长为 ，面积为 ． (2)直接写出的边上的高的长度为 ． (3)若是以为斜边的直角三角形，且构成的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点共有 个，请在图中画出满足条件的一个． 【答案】(1)；18 (2) (3)4，图见解析 【分析】此题考查了无理数的概念、勾股定理以及逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用方法． （1）先分别求出、、、的长，即可求出四边形的周长，用面积分割法即可求出四边形的面积； （2）设边上的高为h，先用等面积法表示出的面积，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据勾股定理找到满足条件的格点E即可，并判断各边是无理数． 【详解】（1）解：由图可得：，，，， ∴ 四边形的周长； ∴ 四边形的面积； 故答案为：；18； （2）解：设边上的高为， ∴的面积， ∴， ∴的面积， 解得， ∴的边上的高为， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由（1）得： ， ∴，， ∴， ∴为三边都为无理数的直角三角形，同理可证：、、为直角三角形； ∴ 满足条件的格点有4个，如图即为所求． 故答案为：4，如图即为所求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $