2026年中考数学第一轮复习专题讲练第19讲圆的概念及其有关性质基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第19讲 圆的概念及其有关性质》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2025·山东德州·模拟预测）下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·浙江台州·模拟预测）下列图形为圆的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·模拟预测）如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃武威·一模）如图，为的直径，，为上的点，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南南阳·三模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 9．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧上．若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 14．（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 16．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 17．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 18．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·云南昭通·月考）如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．（2025·北京平谷·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于 cm． 22．（2025·四川绵阳·一模）如图，在中，，则 ． 23．（2025·四川南充·三模）如图，某摩天轮的半径为，轮子的中心距离地面．小伟乘坐的座舱从最低点处上升至点处，若，则点处距离地面 ． 24．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 25．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 26．（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为 ． 27．（2025·北京平谷·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为 ． 28．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为 （度）． 29．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，点、、、在上，，若，则 度． 30．（2025·浙江·三模）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 32．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ． 33．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 34．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 三、解答题 35．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 36．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 37．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 38．（2025·广东广州·二模）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 39．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 40．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 41．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． (1)______（度）； (2)点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条）______． 42．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第19讲 圆的概念及其有关性质》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．（2025·山东德州·模拟预测）下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.94 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等． （2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中； （3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系． 3．（2025·浙江台州·模拟预测）下列图形为圆的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.94 【分析】根据圆的定义即可判定． 【详解】解：A．图形没有定点，故不是圆，故该选项不符合题意； B．图形规定了定点和定长，故是圆，故该选项符合题意； C．图形不是圆，故该选项不符合题意； D．图形不是圆，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的定义，熟练掌握和运用圆的定义是解决本题的关键． 4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用弧与圆心角的关系求出的度数，再通过弧上中点求出的度数，最后利用圆周角定理即可求出的大小． 【详解】解：， 的度数为， ∵是劣弧的中点， ∴的度数为， ∴， 故选：B． 6．（2025·云南·模拟预测）如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 7．（2025·甘肃武威·一模）如图，为的直径，，为上的点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查圆中求角度，涉及弦与弧关系、圆周角定理等知识，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 先由得到，再由圆周角定理得到相关角度的关系求解即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 则， 故选：C． 8．（2025·河南南阳·三模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：是的直径， ， 的平分线交于点E， ， ， ， 在中，，， 则， 故选：C 9．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为， 由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示： 由垂径定理可知，且， 设的半径为， 在中，，，，，由勾股定理可得， 解得， 故选：B． 13．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故选：D． 14．（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 15．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 16．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 17．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 18．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 19．（24-25九年级上·云南昭通·月考）如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 20．（2025·北京平谷·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上两个定理． 利用直径定理得出，利用直角三角形的性质求出，最后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴, 故选：B． 二、填空题 21．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于 cm． 【答案】6 【难度】0.94 【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长． 【详解】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=8， 在Rt△OAC中，OC==6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 22．（2025·四川绵阳·一模）如图，在中，，则 ． 【答案】/度 【难度】0.94 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为： 23．（2025·四川南充·三模）如图，某摩天轮的半径为，轮子的中心距离地面．小伟乘坐的座舱从最低点处上升至点处，若，则点处距离地面 ． 【答案】11 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆的半径，锐角三角函数．过点B作交于C，根据圆的半径可知，根据三角函数求出，即可求出点到地面的距离． 【详解】解：如图，过点B作交于C， ∵摩天轮的半径为， ∴ ∵， ∴， ∵轮子的中心距离地面， ∴点处距离地面， 故答案为：． 24．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 【答案】10 【难度】0.85 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，直径弦，垂足为， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：10． 25．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故答案为：． 26．（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，连接，由圆周角定理得到，则由平角的定义可得的度数，根据是劣弧的中点，可得，则由圆周角定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·北京平谷·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到的度数，从而求出的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（2025·天津·模拟预测）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为 （度）． 【答案】30 【难度】0.85 【详解】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．本题主要考查了三角形的外角性质和圆周角，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【解答】解：∵是的外角， ∴； ∵，， ∴； ∴． 故答案为：30． 29．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，点、、、在上，，若，则 度． 【答案】 【难度】0.85 【分析】此题考查了垂径定理和圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据垂径定理可得点是中点，由圆周角定理可得，继而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为：28． 30．（2025·浙江·三模）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出及是解题的关键． 由，得，则，由切线的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 34．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 三、解答题 35．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 36．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明： ， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 37．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【难度】0.85 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 38．（2025·广东广州·二模）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 39．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 40．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 41．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与竖直网格线相交于点和，点为圆上的点． (1)______（度）； (2)点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使平分，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条）______． 【答案】(1)90 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，格点作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． （1）由直径所对圆周角等于即可得出结论； （2）通过构造平行线和等腰三角形得到相等的角即可解答． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴； （2）解：如图，取点，是与竖直网格线的交点，连接，O，Q分别是AB，AM与竖直网格线的交点，作射线，交圆于，连接，即平分， 证明：由网格的特点，根据平行线分线段成比例可知：，， ∴， ∴， 又∵点是的中点，为直径，即点是圆心， ∴， ∴， ∴，即平分． 42．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【难度】0.85 【分析】（1）以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心； （2）方法同（1）； （3）连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心即可得到结论． 本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用． 【详解】（1）解：如图圆心即为所求： （2）解：如图： 即为所求作的圆心； （3）解：拓展探究： 如图： 即为所求作的圆心， 理由：连接，，， ，的垂直平分线交于， ，， ， 点是点，，三点所在的圆心． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $