2026年中考数学第一轮复习专题讲练第16讲 直角三角形和勾股定理基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第16讲 直角三角形和勾股定理》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 2．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 【答案】D 【难度】0.94 【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可． 【详解】延长交直线n于点D，如图所示．    ∵， ∴． 在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键． 3．（2023·浙江金华·二模）如图，于A，，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由垂直的定义得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于A， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在正六边形中，点是的中点，连接，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的内角和以及边长的关系是解决本题的关键 ． 先根据正六边形的性质可知，正六边形的每条边长都相等，每个内角为，再通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理求解即可 ． 【详解】解：连接，过点F作交于点H， 在正六边形中，，， 所以为等腰三角形，， 设正六边形的边长为x，即， 又因为在中，，， 所以，， 所以， 又因为，， 所以， 因为点是的中点， 所以， 则在中，，，， 由勾股定理可得：， 即，解得，即， 所以的长为2 ． 故选：C ． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行结合三角形的外角得到，求出的度数，再由直角三角形锐角互余求出． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 11．（2025·广东深圳·模拟预测）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，垂足为，由平行线的性质可得，，在中，，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，取的中点，连接，根据等边对等角得到，由直角三角形的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可推出，得到，则可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴； ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 13．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，三角形的三边关系．取的中点E，连接，根据勾股定理可得，从而得到的长，再由直角三角形斜边的性质可得的长，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的斜边， ∴， 在中，， 即的最大值为． 故选：C 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 15．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在中，D、E分别为的中点，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质及三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， ， 即的周长为14． 故选：C． 16．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 17．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（　　） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据旋转的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，由此可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转至， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 故选：C． 19．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可． 【详解】解：如图， 设正方体的棱长为，则，， 中，由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， 即正方体的棱长在2与3之间， 故选：B． 20．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，再根据三角形的中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 二、填空题 21．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/53度 【难度】0.94 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点． 先利用两直线平行内错角相等，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余，求解的度数． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（2025·河北沧州·一模）如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【难度】0.94 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ． 故答案为： ． 23．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 24．（2025·江西吉安·模拟预测）如图 ，在△ ABC 中，∠C＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D．若 BD＝10cm，BC＝8cm，则点 D 到直线 AB 的距离= ．    【答案】6cm 【难度】0.94 【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD即可求解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，    ∵∠C=90°，BD=10cm，BC=8cm， ∴CD=cm， ∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE=CD=6cm， 即点D到直线AB的距离是6cm． 故答案为：6cm． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、点到直线的距离等知识，在解题时要能灵活应用各个知识点是本题的关键． 25．（2025·江苏常州·模拟预测）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】作轴于，则，． 则根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 26．（2025·四川乐山·二模）如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是 ． 【答案】12 【难度】0.85 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 点到直线的距离是， 故答案为：． 27．（2025·北京昌平·模拟预测）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 28．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 【答案】 【难度】0.85 【分析】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 29．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 根据翻折的性质及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴， 所以， ∴三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点作， 则有， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 31．（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 【答案】/度 【难度】0.65 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， 解：在中，，， 则， ， ， 故答案为：． 32．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】15或12.5或18 【难度】0.65 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想． 分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 如图，作于点H， 则 ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的值为15或12.5或18． 故答案为：15或12.5或18． 33．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 【答案】 等腰三角形 【难度】0.65 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质与等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由平行线的性质可得，则可得，由等角对等边即可得的形状是等腰三角形； （2）由折叠的性质得，，设，则可表示，在中，由勾股定理建立方程求得x，利用面积关系即可求得点到边的距离． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 设点到边的距离为d， ∵， ∴， 即点到边的距离为， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 【答案】7 【难度】0.65 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质，，，再根据平行线的性质与角平分线的定义得出，从而得出，根据勾股定理得出，继而得出． 【详解】解：矩形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了图形类规律，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， 按照此规律继续下去，则， 故答案为：． 36．（2025·山东德州·模拟预测）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 37．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 【答案】4 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据条件可以得出，利用可以得出，再根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， 38．（2025·海南·模拟预测）如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证出，再证明，即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质得出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 39．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点为斜边的中点，于点，连接，将沿翻折至处，且点恰好落在直线上． (1)求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【分析】（）由直角三角形的性质和折叠的性质可得，再根据即可求解； （）连接，证明四边形是菱形即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ，点为斜边的中点， ， ∴， ， ， 又翻折得到， ，， ∴， ， ∴， ； （2）证明：如图，连接， 由（）得，，， ，， 由折叠得，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 垂直平分． 40．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）证明即可得出； （2）过点C作交于点H，证明得出，再求出，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴．即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作交于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 41．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2）解：， ， ． ， ， 42．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【难度】0.65 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第16讲 直角三角形和勾股定理》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 3．（2023·浙江金华·二模）如图，于A，，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 4．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在正六边形中，点是的中点，连接，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2025·广东深圳·模拟预测）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 13．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在中，D、E分别为的中点，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 16．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 17．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（　　） A．4 B． C．5 D．6 19．（2025·广东肇庆·一模）如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 20．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 二、填空题 21．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，，，，则的度数为 ． 22．（2025·河北沧州·一模）如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 23．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 24．（2025·江西吉安·模拟预测）如图 ，在△ ABC 中，∠C＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D．若 BD＝10cm，BC＝8cm，则点 D 到直线 AB 的距离= ．    25．（2025·江苏常州·模拟预测）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 26．（2025·四川乐山·二模）如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是 ． 27．（2025·北京昌平·模拟预测）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 28．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 29．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 30．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 ． 31．（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 32．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 33．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 34．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 35．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 36．（2025·山东德州·模拟预测）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 三、解答题 37．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 38．（2025·海南·模拟预测）如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长度． 39．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点为斜边的中点，于点，连接，将沿翻折至处，且点恰好落在直线上． (1)求的度数； (2)求证：垂直平分． 40．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 41．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $