专题 1.9 直角三角形（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.9 直角三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应边相等 2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（        ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 5．（25-26八年级上·北京海淀·期末）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 8．（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中，，， 为边上的高，则 ． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 15．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 16．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知在中，，于，若，则的周长为 ． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为 ． 18．（25-26八年级上·河南商丘·月考）在和中，，，，AM、DN分别为BC、EF边上的高，且，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 20．（本小题满分8分）（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，与相交于点，且，，连接，．求证：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． (1)如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与的位置关系为__________． (2)如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.9 直角三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的真假判断，需写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假即可． 解：A: 逆命题为“相等的角是对顶角”，∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴ 是假命题，不符合题意； B: 逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，∵ 锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴ 是假命题，不符合题意； C: 逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”，∵ 绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴ 是假命题，不符合题意； D: 逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”，∵ 根据全等三角形的判定定理，对应边相等则三角形全等，∴ 是真命题，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形． 解：∵对于A：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 对于B：设，，，则，，，不是直角，不能判断是直角三角形． 对于C：，且，，，能判断是直角三角形． 对于D：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 解： RtRt，， ， ， ， ， 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 5．（25-26八年级上·北京海淀·期末）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知两边相等, 添加条件使两三角形全等, 需判断各选项是否符合全等定理． 本题考查三角形全等的判定条件,掌握判定条件是解题关键． ∵, ,   选项A: 添加, 则三边相等, 符合全等条件.； 选项B: 添加, 则两边及其夹角相等, 符合全等条件； 选项C: 添加, 则两三角形为直角三角形, 且斜边, 直角边, 符合全等条件； 选项D: 添加, 但不是已知两边的夹角, 属于条件, 不能保证三角形全等.  ∴ 添加的条件不能是． 故选：D． 6．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法，根据三线合一，结合勾股定理和逆定理，逐一进行判断即可． 解：A、设底边上的高为，由三线合一和勾股定理，得：， 故三角形的面积为：为有理数；不符合题意； B、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； C、同A法可得，三角形的高为， ∴三角形的面积为：为无理数，符合题意； D、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； 故选C． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 8．（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理以及逆定理，垂线段最短等知识点． 先确定直线经过定点，记为点，过点作，垂足为点，由垂线段最短可得当点重合时，点B到直线的距离最大，可得此时，然后求出直线的函数表达式，即可求解点的坐标． 解：对于直线，当，， ∴， ， 当时，， ∴直线经过定点，记为点， 过点作，垂足为点， ∵， ∴当点重合时，点B到直线的距离最大，如图： 记直线与轴交点，连接， 对于直线，当，， 解得， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴设直线为， 代入，则， 解得， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴此时， 故选：A． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点C作，且使，连接，由勾股定理逆定理可知，以及勾股定理可得，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 解：如图：过点C作，且使，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点F，E，B共线时，为最小，最小值是， ∴的最小值是． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中，，， 为边上的高，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余以及角所对的直角边等于斜边的一半，确定是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余得，由为边上的高得，由角所对的直角边等于斜边的一半即可得． 解：∵，， ∴， ∵为边上的高， ∴，即是直角三角形， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知在中，，于，若，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由等腰直角三角形的判定和性质可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，进而可得出，最后根据三角形的周长公式以及等量代换即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 的周长为：， 故答案为：15． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为 ． 【答案】48 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形． 首先利用勾股定理的逆定理得到，然后过作，垂足为，确定的最短距离，然后利用面积法进行求解即可． 解：过作，垂足为， ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：． 18．（25-26八年级上·河南商丘·月考）在和中，，，，AM、DN分别为BC、EF边上的高，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，分高都在三角形内部和高有一个在三角形外部两种情况讨论，利用定理证明直角三角形全等，从而求出的度数。 解：若都在对应三角形内部，如图1所示， ∵分别为边的高， ∴都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若有一个在对应三角形外部，如图2所示， ∵分别为边的高， ∴都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用证明三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解． （1）先根据判定和为直角三角形，再结合已知和公共边，利用定理证明全等． （2）由全等三角形的性质得，在中求出的度数，再利用三角形外角性质或直角三角形两锐角互余的关系，建立关于的方程求解． （1）解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得； 故答案为：． 20．（本小题满分8分）（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. （1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，与相交于点，且，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 利用“”证明得，继而知，据此即可得证； 证明：在和中， ∴， ∴， ∴ ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理判定即可得到； （2）由（1）中，得到，在中，由得到，从而得到，即可确定与的位置关系； （3）在、中，由勾股定理分别求出，设，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解得到，数形结合计算即可得到答案． （1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，， ， 在中，， 在中，，则， ； （3）解：在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， 设， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余、直角三角形判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． (1)如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与的位置关系为__________． (2)如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 【答案】(1)①见详解；② (2)①；②1.5 【分析】（1）①利用证明即可． ②由全等三角形的性质得出，进而可得出，再结合即可得出． （2）①先证明，得出，进而可得出，利用勾股定理的逆定理得出，由平行线的性质得出，再得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出． ②设，由全等三角形的性质得出，由和的面积和为5.5为等量关系列出关于x的方程并求解得出，最后根据全等三角形的性质以及面积的和差关系即可得出答案． （1）解：①证明∶．D是的中点， ∴， ∵， ∴． ②， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①结论∶， 理由∶∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ②设， ∵， ∴， ∵和的面积和为5.5， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， 的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理等知识． （1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③先排除和的情况，然后根据，分两种情况，利用勾股定理求解即可． （1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角； ②∵， ∴， ∴， ∴或即或； ③∵当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，当点D在点B的左边时，过点作于点E，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 当点D在点B的右边时，过点作于点F，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 综上可知，点的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $