专题 1.3 直角三角形（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.3 直角三角形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】直角三角形性质与判定一 1 ★【题型 1】利用“直角三角形的两个锐角互余”求值证明 2 ★【题型 2】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值证明 5 【知识点二】直角三角形的性质与判定二 8 ★【题型 3】利用勾股定理求值证明 8 ★★【题型 4】利用勾股定理逆定理求值证明 12 【知识点三】逆命题与逆定理 15 ★【题型 5】命题与逆命题 15 ★★【题型 6】定理、证明与逆定理 17 【知识点四】直角三角形全等的判定（HL） 19 ★【题型 7】利用“HL”求值证明 19 ★★【题型 8】利用“HL”求值证明 21 二.中考真题 26 （一）单选题（6题） 26 （二）多选题（1题） 29 （三）填空题（3题） 30 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】直角三角形性质与判定一 性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 ★【题型 1】利用“直角三角形的两个锐角互余”求值证明 【例题1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，点是边的中点，，点在的延长线上，连接并延长交于点，且．求证： (1)是等边三角形． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，从而推出，由中点得到，即可得解． （1）证明：点是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，等边的边长为是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，轴对称的性质，解题的关键是正确将问题进行转化求解． 根据题意可得平分，，作点关于的对称点，则点在上，连接，过点作于点，连接，则，因此，当点在一条直线上时，取得最小值，此时点为与的交点，再由直角三角形的性质即可求解． 解：∵等边，是边上的中线， ∴平分，， 作点关于的对称点，则点在上，连接，过点作于点，连接 ∴， ∴，当点三点在一条直线上时，取得最小值， 此时点为与的交点， ∵ ∴， ∴此时 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题考查同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，三角形全等的判定和性质． 由已知可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得，证明，可得，即可得路灯的高度． 解：∵竿子与路灯垂直于地面， ∴， ∴与互余， 又∵与互余， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴路灯的高度为． ★【题型 2】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值证明 【例题2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． （1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 【知识点二】直角三角形的性质与判定二 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ★【题型 3】利用勾股定理求值证明 【例题3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，，点E在上，． (1)若，求证：． (2)若，，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．， （1）根据证明，得，，从而可求出； （2）分别求出，，再由勾股定理得，代入计算即可得解． （1）证明：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， 又， ∴， 即； （2）解：根据题意知：，，，，， 在中，； 在中，； 在中，， ∴， 整理得， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，四边形是长方形，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，掌握此知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再由长方形的面积公式进行计算即可． 解：在中，，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在和中，，，，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质． 根据勾股定理得到，延长、交于点E，可知，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 解：∵，，， ∴， 延长、交于点E，可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 在中，由勾股定理得到，，据此得到方程，求出，即可求解． 解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． ★★【题型 4】利用勾股定理逆定理求值证明 【例题4】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意； D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，，平分，E为边上一点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)为直角三角形,理由见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键在于熟练掌握逆定理的公式以及如何利用勾股定理将线段长转化为方程的形式. （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据三角形全等的性质，设，利用直角三角形性质和勾股定理即可列出关于的方程，求出即可求出的长. （1）解：为直角三角形，理由如下： ，，， ，，， . 为直角三角形. （2）解：∵平分 ∴ ∵，． ∴ ， 为直角三角形， ， 设，则，， 在中，， ， ， , 在中，， . 【知识点三】逆命题与逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 ★【题型 5】命题与逆命题 【例题5】（25-26八年级上·山西朔州·期末）请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】 两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与逆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．逆命题，把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．根据逆命题的定义回答即可． 解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的各角都等于 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，平行线的判定，等边三角形的判定，全等三角形的判定，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题，再根据实数的性质，等边三角形的判定，平行线的判定和全等三角形的判定定理逐一判断即可． 解：A、逆命题为若，则，取，则，但，即不成立，故逆命题不成立，符合题意； B、逆命题为各角都等于的三角形是等边三角形，逆命题成立，不符合题意； C、逆命题为同位角相等，则两条直线平行，此为平行线的判定定理，逆命题成立，不符合题意； D、逆命题为对应边相等的三角形全等，此为三角形全等的判定，逆命题成立，不符合题意． 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，逆命题为“如果，那么”，举反例时，但． 解：原命题的逆命题是“如果，那么”．当时，，但，所以逆命题是假命题． 故答案为：． ★★【题型 6】定理、证明与逆定理 【例题6】（25-26八年级上·广东汕头·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理与逆定理，分别根据全等三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质进行判断即可． 解：A选项的逆命题对应边相等的三角形全等是全等判定，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ B选项的逆命题两锐角互余的三角形是直角三角形由三角形内角和，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ C选项的逆命题两个角相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形的判定定理，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ D选项的逆命题对应角相等的三角形全等不一定成立，如两个等边三角形可能相似但不全等，则没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【答案】如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【知识点四】直角三角形全等的判定（HL） 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 ★【题型 7】利用“HL”求值证明 【例题7】（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． （1）证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据得到，即可得到，即． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 8】利用“HL”求值证明 【例题8】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （）先证明，所以，即，然后证明，再由全等三角形性质即可求证； （）由勾股定理求得，则，又，所以，则，设，则，则，即有，解得，再由即可求解． （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作的垂线，垂足为，则下列结论不正确的是（   ） A．为等腰三角形 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积；根据的坐标，分别求得的长，即可判断A，B选项，根据等面积法求得，进而判断是否成立，即可判断C，D选项，即可求解． 解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，故B正确 ∴，则为等腰三角形，故A正确 ∵ ∴，故D不正确， 在中 ∴，故C正确 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 解：过点A作交的延长线于点F， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ∵，， ， ， 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明； （2）由（1）知，结合已知求出，再根据，得到，进而求出． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 3．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 【答案】D 【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可． 延长交直线n于点D，如图所示．    ∵， ∴． 在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出． 解：延长，与交于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 6．（2023·江西·中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． （二）多选题（1题） 7．（2025·山东潍坊·中考真题）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】AD 【分析】本题考查判断逆命题的真假，分别写出各命题的逆命题，根据等式的性质，不等式的性质，三角形的中位线定义，等腰三角形的判定，判断真假即可． 解：A、逆命题为若，则，为真命题，符合题意． B、逆命题为若，则，为假命题，例如，，，但是，不符合题意； C、逆命题为“平行于三角形第三边的线段是中位线”，为假命题，不符合题意； D、逆命题为“若三角形有两个角相等，则为等腰三角形”．由等角对等边可知成立，为真命题，符合题意； 故选：AD． （三）填空题（3题） 8．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 10．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        【答案】//． 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 直角三角形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】直角三角形性质与判定一 1 ★【题型 1】利用“直角三角形的两个锐角互余”求值证明 2 ★【题型 2】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值证明 3 【知识点二】直角三角形的性质与判定二 3 ★【题型 3】利用勾股定理求值证明 4 ★★【题型 4】利用勾股定理逆定理求值证明 5 【知识点三】逆命题与逆定理 5 ★【题型 5】命题与逆命题 6 ★★【题型 6】定理、证明与逆定理 6 【知识点四】直角三角形全等的判定（HL） 6 ★【题型 7】利用“HL”求值证明 6 ★★【题型 8】利用“HL”求值证明 7 二.中考真题 9 （一）单选题（6题） 9 （二）多选题（1题） 10 （三）填空题（3题） 10 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】直角三角形性质与判定一 性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 ★【题型 1】利用“直角三角形的两个锐角互余”求值证明 【例题1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，点是边的中点，，点在的延长线上，连接并延长交于点，且．求证： (1)是等边三角形． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，等边的边长为是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，当取得最小值时，的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度． ★【题型 2】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值证明 【例题2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【知识点二】直角三角形的性质与判定二 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ★【题型 3】利用勾股定理求值证明 【例题3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，，点E在上，． (1)若，求证：． (2)若，，，，，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，四边形是长方形，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在和中，，，，若平分，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为，，，，求的长． ★★【题型 4】利用勾股定理逆定理求值证明 【例题4】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，，平分，E为边上一点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【知识点三】逆命题与逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 ★【题型 5】命题与逆命题 【例题5】（25-26八年级上·山西朔州·期末）请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的各角都等于 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为 ． ★★【题型 6】定理、证明与逆定理 【例题6】（25-26八年级上·广东汕头·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．全等三角形的对应角相等 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 【知识点四】直角三角形全等的判定（HL） 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 ★【题型 7】利用“HL”求值证明 【例题7】（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． ★★【题型 8】利用“HL”求值证明 【例题8】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)求的长． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作的垂线，垂足为，则下列结论不正确的是（   ） A．为等腰三角形 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为 ． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 4．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·江西·中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． （二）多选题（1题） 7．（2025·山东潍坊·中考真题）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 （三）填空题（3题） 8．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 10．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $