精品解析：河南洛阳市2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

河南洛阳市2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，若成等差数列，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为等差数列的前项和，若，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是中最小的值 C. D. 若，则 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，在第一象限，在第四象限，则（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则的周长为20 C. 若，则到轴的最小距离为 D. 点到两条渐近线的距离之积为2 11. 左图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 为线段上的动点，则的最小值为 B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C. 当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D. 当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 13. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 14. 已知是椭圆上第一象限内的一点，分别是椭圆的左、右焦点，，点在的平分线上，为原点，，且，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点，圆的方程为. （1）若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； （2）若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 16. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面是SD的中点. （1）证明：平面PAC； （2）证明：； （3）求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的上顶点，求的面积. 18. 已知数列满足，且对任意均成立，数列满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）求数列的通项公式. 19. 已知点与关于直线对称，且点在抛物线:上，设为抛物线的焦点． （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是抛物线上一动点，求的最小值； （3）过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别为，，作，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点的坐标及的值，若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南洛阳市2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性规则逐一求出的坐标. 【详解】由题意得，则. 故选：D 3. 已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出点的横坐标，再利用抛物线的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】抛物线的准线方程为，设点，则， 因为点到轴的距离为，则， 由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，解得. 故选：B. 4. 已知数列为等比数列，若成等差数列，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列和等差数列的定义求出公比即可. 【详解】设数列的公比为， 因为成等差数列，所以，则， 即，得或（舍），则. 故选：C 5. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 6. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 7. 已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用降标作差求出，再利用裂项相消求出，再分类讨论，结合数列的增减性可求. 【详解】由， 得， 两式作差得，得， 令，则，符合上式，故， 则， 则， 若为偶数，则可化为 又数列为递增数列，所以； 若为奇数，则可化为， 又数列为递增数列，所以， 则实数的取值范围为. 故选：C 8. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用双曲线定义表示出，再由等差数列条件建立边长关系，最后在中用余弦定理列方程，求出与的比例，得到离心率. 【详解】设，则，即. 因为成等差数列，所以 代入得：，解得，则. 所以， 在中， 即 化简可得：. 所以，，，，. 因为，所以， 所以. 所以 求得：， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为等差数列的前项和，若，公差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是中最小的值 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质、通项符号、求和公式，结合，的条件，依次判断公差、的最值、的符号、对应的值，逐一验证选项. 【详解】因为， 所以，， 选项A：由，得，A正确. 选项B：等差数列前项和是关于的二次函数，且开口向上（）， 数列满足：，即前8项为负，第9项起为正， 因此前项和在时取得最小值，即是中的最小值，B正确. 选项C：因为 ，，无法确定的符号，不能判定，C错误. 选项D：因为，所以仅时，，满足条件，D正确. 故选：. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，在第一象限，在第四象限，则（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则的周长为20 C. 若，则到轴的最小距离为 D. 点到两条渐近线的距离之积为2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程求得，即可得渐近线方程，即可判断A；对于B：根据双曲线的定义运算求解即可；对于C：分析可知点在以为直径的圆外，联立方程运算求解即可；对于D：根据点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由双曲线方程可知：，所以， 且焦点在x轴上，则. 对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B：因为，， 则的周长为，故B错误； 对于选项C：若，可知点在以为直径的圆上或圆外， 当点在以为直径的圆上时到轴的距离最小， 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程，解得， 因为在第一象限，在第四象限，所以到轴的最小距离为，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确. 故选：CD. 11. 左图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 为线段上的动点，则的最小值为 B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C. 当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D. 当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据翻折前后图形的变换，即可分析选项A中的点，进而利用余弦定理求出的最小值，判断选项A，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角余弦值，即可判断选项B，利用线面夹角定义，分析出，通过空间直角坐标系求出球心坐标，即可判断选项C，当四面体的体积最大时，即可得到坐标，分析在内部，且，得到点的轨迹，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题知，最小时，即翻折前的长， 翻折前，因为，所以， 所以，又， 所以在中， ， 所以，A正确； 对于B，如图建立空间直角坐标系， 则，设， 则，又， 所以，解得，所以， 又， 令与的夹角为， 所以，B正确； 对于C，设到平面的距离为， 且直线与平面所成角分别为， 则， 若，则可得， 如图建立空间直角坐标系，取中点为，设， 则，， 所以， 且， 又，即， 由选项B可知，所以解得， 则，设外接球的球心， 所以， 即， 解得，即， 所以外接球半径为， 所以外接球表面积为，C正确； 对于D，当四面体的体积最大时，到平面距离最大， 此时， 因为在内部，且， 所以的轨迹为以为圆心，在内部， 且其半径为， 如图，明显小于半圆对应的弧长，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 13. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆C的方程化成标准方程，求出圆心到直线l的距离d，由题意可得，即可解得t的取值范围. 【详解】圆， 化为标准形式为：， 因为圆上有四个不同的点到直线的距离为2， 所以与直线平行且距离为2的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 设圆心到直线的距离为，圆的半径为3，则必须满足，即， 所以圆心到直线l的距离， 解得. 故答案为： 14. 已知是椭圆上第一象限内的一点，分别是椭圆的左、右焦点，，点在的平分线上，为原点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点A，可得A为的中点，根据角平分线及，得，结合椭圆定义及余弦定理列式计算可求解离心率. 【详解】设，延长OQ交于点A，延长交于， 因为点在的平分线上，，所以， 所以，又因为，O为的中点， 所以为的中点，所以， 所以，又，所以为的中点， 所以是的垂直平分线，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以，即， 又，所以，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点，圆的方程为. （1）若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； （2）若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【答案】（1） （2）圆与圆是相交关系 【解析】 【分析】（1）分别计算出A，B与圆心之间的距离，结合一内一外列不等式即可求解； （2） 先求AB中点坐标，代入圆方程得半径，再计算两圆圆心距，与半径和、半径差比较，判断两圆位置关系. 【小问1详解】 圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内， ，即的取值范围为； 【小问2详解】 ∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系. 16. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面是SD的中点. （1）证明：平面PAC； （2）证明：； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）构造中位线证明线线平行，进而证线面平行； （2）先证平面SAC，即可证得线线垂直； （3） 分别求平面与平面的法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦值. 【小问1详解】 连接BD，设AC与BD交于点，连接PO． ∵底面ABCD是正方形， 为BD的中点，又为SD的中点，， 平面平面平面PAC． 【小问2详解】 底面， 又，，且两直线在平面内， 平面SAC， 又平面． 【小问3详解】 以为原点，以AB为轴，AD为轴，AS为轴，建立空间直角坐标系， 设，则． ， 设是平面PAC的一个法向量， 则由，得，令， ． 又是平面PAD的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， . 即二面角的余弦值为． 17. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的上顶点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的关系式，求解可得椭圆的方程； （2）设，求得直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线的方程为，即． 设， 联立。化简得，所以. ． 又点到直线的距离， 所以的面积为，即的面积为． 18. 已知数列满足，且对任意均成立，数列满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系式，构造出，可证明结论； （2）由 （1）得的​通项公式，进而得到的通项公式，用错位相减法求其前项和； （3）利用累加法，由对递推式累加，求出通项公式. 【小问1详解】 证明：因为， 所以． 又． 所以是首项为1，公比为3的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即． 则． 【小问3详解】 ． ， ， ．．．．．． ， ， 将以上个式子左、右分别相加， 得． 所以． 又也满足上式， 所以数列的通项公式为． 19. 已知点与关于直线对称，且点在抛物线:上，设为抛物线的焦点． （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是抛物线上一动点，求的最小值； （3）过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别为，，作，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点的坐标及的值，若不存在说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在，， 【解析】 【分析】(1) 先利用关于直线对称的点坐标互换求出点，再代入抛物线方程求，即可得到的标准方程； (2) 利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线距离，再结合两点之间线段最短，即可求得最小值； (3) 设直线的方程，联立抛物线得，坐标，根据垂直条件化简，写出方程，找出定点使得为定值． 【小问1详解】 由点与关于直线对称，则有， 又点在抛物线:上，即，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 如下图，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 则， 所以， 即，，三点共线时，有最小值，且最小值为3． 【小问3详解】 设直线的方程为，设，． 联立，整理可得， 则， 又由韦达定理有， 又，且，则，， 所以 ， 由， 则， 所以，即，即， 所以直线MN的方程为：，即直线MN过定点， 又，则点为中点时，为定值， 所以， 且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $