精品解析：湖南省娄底市2025-2026学年高三上学期期末数学试题

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 运动员小李在连续10场比赛的得分数据为：9，12，17，10，17，20，17，12，18，14，则比赛得分的第85百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 17 D. 18 4. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（ ） A 8个 B. 54个 C. 10个 D. 60个 6. 在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且，函数在上单调递增，则满足的实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项等比数列的前n项和为，，.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知函数，函数与的图象关于直线对称，直线与函数和的图象分别交于点，，则（ ） A. 的图象过点 B. 当时，的值域为 C. D 10. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 11. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点M关于x轴的对称点为N，分别过作C的切线，两条切线相交于点G，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段交于点T，记的面积为，则（ ） A. B. 面积为2 C. D. 的面积的最大值为8 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 数列中，，，则_____. 13. 已知双曲线右焦点为，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若四边形的周长为4，则_____. 14. 如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中；内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，且，求. 16. 某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 （1）若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； （2）某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 17. 已知椭圆的两个焦点为，，离心率，点A在椭圆C上，且的周长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知是椭圆C上不同三点，直线，分别交y轴于，两点，若两点关于轴对称，证明为定值. 18. 已知函数. （1）若是曲线上一动点，点是直线上一动点，求两点间的最小距离； （2）求函数的极大值； （3）在（1）的距离最小时，设是曲线上异于的动点，直线斜率为，求证：. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法解出集合，再根据交集含义即可得解. 【详解】， 又，所以. 故选：C. 2. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将根代入方程中计算即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以，即，解得， 故选：D. 3. 运动员小李在连续10场比赛的得分数据为：9，12，17，10，17，20，17，12，18，14，则比赛得分的第85百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义分析即可. 【详解】将运动员小李在连续10场比赛的得分数据从小到大排列为：， 又，所以比赛得分的第85百分位数为. 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边过点，所以. 故选：A 5. 从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（ ） A. 8个 B. 54个 C. 10个 D. 60个 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可. 【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻， 则在中选数，共有符合，共个， 而从这五个数中任选三个数组成三位数，共有个， 可得符合题意的三位数共有个，故B正确. 故选：B 6. 在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，利用坐标法表示出，结合的范围，即可得解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A 7. 已知是定义在上的偶函数，且，函数在上单调递增，则满足的实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断也是偶函数，再得到，将目标不等式化为，最后结合单调性与奇偶性得到，求解参数范围即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 而，可得， 则是定义在上的偶函数，由题意得在上单调递增， 因为，所以， 而可化为， 化简得，即， 得到，解得，故A正确. 故选：A 8. 已知正项等比数列的前n项和为，，.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，结合等比数列的性质可求得的通项公式，利用裂项求和法求出，可将所求不等式变形为，然后对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法求出的取值范围即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ， 解得，，因此，， 而 ， 则 故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 而为递减数列，且，解得； 当为偶数时，恒成立，而为递减数列， 可得，解得， 因此实数的取值范围是，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知函数，函数与的图象关于直线对称，直线与函数和的图象分别交于点，，则（ ） A. 的图象过点 B. 当时，的值域为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断AB，根据反函数的概念判断C，将代入直线，分析可得和是方程的解，由单调递增可知方程至多有一个解进而判断D. 【详解】对于A，因为函数，所以，即的图象过点，A说法正确； 对于B，当时，， 结合单调递增可知：的值域为，所以B说法错误； 对于C，因为函数与图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以，C说法错误； 对于D，因为直线与函数和的图象分别交于点，， 所以，，又由可得， 令，所以和是方程解， 易知单调递增，所以至多有一个解， 所以，D说法正确. 故选：AD 10. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式并结合函数的平移规则判断A，直接求解函数值判断B，利用整体代入法判断C，将面积合理转化为矩形面积，利用矩形面积公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得的最小正周期为，则，解得， 则，将的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为，所以，故A错误， 对于B，由题意得，故B正确， 对于C，令， 解得，当时，， 则函数在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，故C正确， 对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内， 则曲线与直线，，所围成封闭图形的面积转化如下， 变为一个长为，宽为2的矩形的面积，由矩形面积公式得，故D错误. 故选：BC 11. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点M关于x轴的对称点为N，分别过作C的切线，两条切线相交于点G，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段交于点T，记的面积为，则（ ） A. B. 的面积为2 C. D. 的面积的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦半径公式建立方程求得判断A；分别求出和，再利用三角形面积公式判断B；利用判别式法求出直线GM的方程为，直线，且，设直线，与抛物线方程联立韦达定理求得，即可得直线，与直线联立求得，从而利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离为，进而求得，最后利用二次函数性质求得最值判断D；利用倾斜角的定义结合二倍角的正切公式判断C即可. 【详解】对于A，设，根据抛物线的定义，得，解得， 即C的方程为，故A正确； 对于B，将代入抛物线方程，得到，解得或， 设在第一象限，则， 而点M关于x轴的对称点为N，即，由题意得， 则，故B正确； 对于D，如图，作出符合题意的图形，连接， 设直线的方程为， 由，可得， 则，解得， 所以直线的方程为. 同理可得，直线，所以有， 设，因为，所以，即， 由得，. 设直线， 由，可得， 由，可得或， 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故， 所以直线，即， 与直线联立，求得， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为， 因为，所以当时，面积取到最大值为8，故D正确， 对于C，由题意得的方程为，由倾斜角的定义得， 而，由二倍角公式得，故C错误. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 数列中，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定数列的递推规则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若四边形的周长为4，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】结合题意确定双曲线的基本量，作出符合题意的图形，再结合点到直线的距离公式与勾股定理证明四边形是正方形，最后结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得双曲线方程为， 化为标准方程可得，得到， 故，则双曲线的渐近线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，且两条渐近线相互垂直， 可得四边形是矩形， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得，则， 得到四边形是正方形，故其周长为， 因为四边形的周长为4，所以，解得. 故答案为：1 14. 如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设中点为，中点为，由题意得，， 因为和的弧长为，所以与弧长为， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，取， 则到平面距离为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中；内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，所以进而得出角； （2）由面积公式，求得，得到，又由余弦定理求得边长即可. 【小问1详解】 在中，因为，所以，则， 所以， 即，得， ． 【小问2详解】 ，则，又因为，所以， 又由余弦定理得，得， 16. 某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 （1）若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； （2）某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【小问1详解】 设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. 【小问2详解】 由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 17. 已知椭圆的两个焦点为，，离心率，点A在椭圆C上，且的周长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知是椭圆C上不同三点，直线，分别交y轴于，两点，若两点关于轴对称，证明为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程组，求解基本量，最后得到椭圆方程即可. （2）作出符合题意的图形，分别求出直线方程，再寻找与轴的交点，最后结合题意得到，进而求出定值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以， 而的周长为， 因为的周长为，所以， 联立方程组，解得，得到， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 设，则，， 而的方程为， 令，可得 ， 由题意得的方程为， 令，得到 ， 可得 ， 因为是椭圆C上不同三点，所以，， 得到. 18. 已知函数. （1）若是曲线上一动点，点是直线上一动点，求两点间最小距离； （2）求函数的极大值； （3）在（1）的距离最小时，设是曲线上异于的动点，直线斜率为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的距离最短，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可； （2）先求的导数，讨论导数的符号进而判断函数的单调性，结合极大值的概念求解即可； （3）根据斜率公式将原不等式转化为当时，，当时，，令，利用导数求单调性进而证明不等式即可. 【小问1详解】 将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的距离最短， 设函数在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，即切点坐标为， 切点到直线的距离， 即两点间的最小距离为. 【小问2详解】 由题意可得， 所以， 令，则， 由和在单调递增，可知在单调递增， 因为，，所以存在使得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以至多有2个零点， 易知，，结合单调性可知存在使得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数的极大值为. 【小问3详解】 由（1）可知，设， 则， 要证，即， 当时，只需证，整理得， 当时，只需证，整理得， 令， 则恒成立，所以单调递减， 又因为，所以当时，，即， 当时，，即， 原不等式得证. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $