精品解析：浙江宁波市余姚市2025-2026学年第一学期期末七年级数学试卷

余姚市2025－2026学年第一学期初中期末试卷七年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. “浙”自开赛以来，以“体育赛事引流、文商旅农融合消费”的方式火爆出圈．据统计，赛事已带动综合消费超过25亿元．其中“25亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数中，比大的无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 一副三角板按如图方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 近似数5.7万精确到十分位 B. 16的平方根是4 C. 单项式的系数是2 D. 同角的补角相等 8. 实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形．已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3．若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道小长方形①的周长； 乙说：只需要知道小长方形①与③周长差； 丙说：只需要知道小长方形②与④周长和； 丁说：只需要知道大长方形的周长； 下列说法正确是（ ） A. 只有甲正确 B. 甲和乙均正确 C. 乙、丙和丁均正确 D. 甲、丙和丁均正确 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若气温零上记为，则气温零下记为_____． 12. 已知单项式与是同类项，则的值为__________． 13. 若整数满足，则的值是__________． 14. 若关于的方程的解为最大的负整数，则的值是__________． 15. 已知为直线上一点，与的长度之比为，是线段的中点，若，则__________． 16. 如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中的数之和都相等，已知，则__________． 三、解答题（第17－21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面内有、、、四点，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． （1）画直线，射线． （2）连结并延长到点，使得． （3）在线段上找一点，使得点到、两点距离之和最小，请在图中画出点． 21. 近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． （2）若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 22. 如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为． （1）若设所表示的数为，则表示的数为__________（用的代数式表示）． （2）若这五个数的和为115，求所表示的数． （3）代数式的值是否为定值？若是，求出它的值：若不是，请说明理由． 23. 某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 （1）若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． （2）若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． （3）小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 24. 以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． （1）如图，求的度数． （2）将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚市2025－2026学年第一学期初中期末试卷七年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026相反数是 故选：B． 2. “浙”自开赛以来，以“体育赛事引流、文商旅农融合消费”的方式火爆出圈．据统计，赛事已带动综合消费超过25亿元．其中“25亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：25亿， 故选：C． 3. 下列实数中，比大的无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较，先依据无理数的定义排除有理数选项，再利用负数比较大小的规则（绝对值大的数反而小），比较剩余无理数与的大小即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：、0为整数，属于有理数，故C、D不符合题意； ∵， ∴，即， ∴， ∴比大的无理数的是， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念及合并同类项的法则，熟练掌握同类项定义和合并同类项法则是解题关键． 根据同类项定义和合并同类项法则“同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变”逐一分析各选项即可得出正确答案． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：和是同类项，，故C正确； D选项：和不是同类项，不能合并，故D错误， 故选：C． 5. 已知，则下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．需依据等式性质逐一分析选项，特别注意等式两边同时除以一个数时，该数不能为0． 【详解】解：A、， 根据等式基本性质1（等式两边同时加同一个数，等式仍成立），可得，故A不符合题意； B、， 移项可得，故B不符合题意； C、 根据等式基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C不符合题意； D、当时，与无意义，等式不成立；当时，根据等式基本性质2，等式成立，所以不一定成立． 故选：D． 6 一副三角板按如图方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差计算以及度分秒的换算，熟练掌握三角板的角度特征和度分秒的运算法则是解题的关键． 利用三角板的角度特征，结合平角或直角的性质，通过角度的和差关系计算出∠2的度数． 【详解】解：∵三角板的直角为，且， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 近似数5.7万精确到十分位 B. 16的平方根是4 C. 单项式的系数是2 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题需根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数的定义、补角的性质，逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、近似数5.7万，数字7在千位，故精确到千位，原说法错误，不符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； D、同角的补角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 8. 实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10. 如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形．已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3．若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道小长方形①的周长； 乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差； 丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和； 丁说：只需要知道大长方形的周长； 下列说法正确的是（ ） A. 只有甲正确 B. 甲和乙均正确 C. 乙、丙和丁均正确 D. 甲、丙和丁均正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． 设②号小长方形的长为、宽为，④号小正方形的边长为，则①号小长方形的长为、宽为；③号小长方形的长为、宽为，大长方形的长为、宽为，则可得大长方形的面积为，再逐个分析即可得． 【详解】解：设②号小长方形的长为、宽为，④号小正方形的边长为， ∴①号小长方形的长为、宽为；③号小长方形的长为、宽为， ∴大长方形的长为、宽为， ∵小长方形①的周长为， ∴知道小长方形①周长，则可知道的值，即可知道大长方形的长与宽，进而可得大长方形的面积，则甲正确； ∵小长方形①与③的周长差为， ∴知道小长方形①与③的周长差，不能知道的值，即不能知道大长方形的长与宽，则不能求出大长方形的面积，乙不正确； ∵小长方形②与④的周长和为， ∴知道小长方形②与④的周长和，则可知道的值，即可知道大长方形的长与宽，进而可得大长方形的面积，则丙正确； ∵大长方形的周长为， ∴知道大长方形的周长，则可知道的值，即可知道大长方形的长与宽，进而可得大长方形的面积，则丁正确； 综上，甲、丙和丁均正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若气温零上记为，则气温零下记为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，熟练掌握用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据题目给定的正负数表示规则，判断零下温度对应的符号，再写出对应的数值． 【详解】解：∵零上记为， ∴零下记为， 故答案为：． 12. 已知单项式与是同类项，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项这一概念是解题的关键． 先根据同类项的定义，确定两个单项式中相同字母的指数相等，从而求出和的值，再代入计算． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若整数满足，则的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．通过估算的取值范围，确定整数的值即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：4． 14. 若关于的方程的解为最大的负整数，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 先确定方程的解为最大的负整数，再将该解代入原方程，通过计算求出的值． 【详解】解：∵方程的解为最大的负整数， ∴， 将代入方程得， 解得， 故答案为：． 15. 已知为直线上一点，与的长度之比为，是线段的中点，若，则__________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】此题考查了线段的和差计算，根据与的长度之比为设未知数是解题的固定思路，注意此方法的积累，在角度计算，应用题中同样可以应用． 设，，由求出，得到，再分点P在线段上或延长线上两种情况，结合线段中点计算． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 解得， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵点C是的中点， ∴， ∴； ②当点P在线段的延长线上时，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， 综上所述，或7， 故答案为1或7． 16. 如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中的数之和都相等，已知，则__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先归纳类推得，，，，其中为正整数，再求出的值，则可得的值，然后根据可得所求的式子等于，代入计算即可得． 【详解】解：∵任意四个相邻“”中的数之和都相等， ∴， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 同理可得：，其中为正整数， ，其中为正整数， ，其中为正整数， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， 故答案为：2022． 三、解答题（第17－21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算除法，然后计算减法即可得； （2）先计算乘方和立方根，再计算有理数乘法的分配律，然后计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的基本解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及等式的基本性质是解题的关键． （1）通过移项将含未知数的项和常数项分别放在等式两侧，合并同类项后将未知数系数化为1，即可求出解． （2）先去分母消除分数形式，再去括号、移项、合并同类项，最后将未知数系数化为1得到方程的解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，17 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项的方法是解题的关键．先对多项式进行去括号、合并同类项的化简操作，再将给定的、的值代入化简后的式子，计算得出最终结果． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，平面内有、、、四点，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． （1）画直线，射线． （2）连结并延长到点，使得． （3）在线段上找一点，使得点到、两点距离之和最小，请在图中画出点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直线、射线的画法，线段的倍长作图，以及最短路径问题的作图，熟练掌握基本几何作图的方法和“两点之间线段最短”的原理是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义，直线向两端无限延伸，射线以为端点向方向无限延伸，用直尺直接画出即可． （2）要使，即把线段延长至，使为的中点．用圆规以为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点即可． （3）根据“两点之间线段最短”，连结，与的交点即为点，此时，距离之和最小． 【小问1详解】 解：如图，直线，射线即为所求． 【小问2详解】 解：如图，线段，线段即为所求． 【小问3详解】 解：如图，点即为所求 21. 近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． （2）若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 【答案】（1）32 （2）王老师这7天开新能源汽车的电费为元 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）将表格中的最大数减去最小数即可得； （2）先求出王老师这7天开新能源汽车行驶的总路程，再求出总耗电量，然后乘以每度电的费用即可得． 【小问1详解】 解：， 所以这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶， 故答案为：32． 【小问2详解】 解： （元）， 答：王老师这7天开新能源汽车的电费为元． 22. 如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为． （1）若设所表示的数为，则表示的数为__________（用的代数式表示）． （2）若这五个数的和为115，求所表示的数． （3）代数式的值是否为定值？若是，求出它的值：若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）15 （3）是定值，它的值为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式加减的应用，正确建立方程和列出代数式是解题关键． （1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得； （2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得； （3）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，代入计算整式的加减即可得． 【小问1详解】 解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8， ∵所表示的数为， ∴表示的数为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∵这五个数的和为115， ∴， 解得， ∴所表示的数为15． 【小问3详解】 解：设所表示数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∴ ， ∴代数式的值是定值，它的值为． 23. 某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 （1）若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． （2）若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． （3）小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【答案】（1） （2）小余家年用气量为立方米 （3）小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米 【解析】 【分析】本题主要考查了分段计费问题的应用、一元一次方程的求解，熟练掌握阶梯单价的分段判断与方程建立是解题的关键． （1）判断用气量立方米属于第一阶梯，直接用单价乘以用气量即可计算费用． （2）先计算出第一阶梯和第二阶梯的总费用，判断2780元对应的用气量属于第三阶梯，再设未知数列方程求解． （3）根据两年用气量总和为立方米，且年用气量多于年，判断年用气量在第一阶梯、年用气量跨第一、二阶梯，设未知数列方程求解． 【小问1详解】 解：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设小余家年用气量立方米， ， 年的用气量属于第三阶梯， ， 解得 答：小余家年用气量为立方米． 【小问3详解】 解：由题意知，年的用气量比年多，且两年的用气量之和为立方米， 年的用气量小于立方米，年的用气量大于立方米， 设小姚家年的用气量立方米，则年的用气量为立方米，由题意得： ， 解得， ， 答：小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米． 24. 以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． （1）如图，求的度数． （2）将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $