二倍角公式 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　二倍角公式 一、必备知识基础 1.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于(　　) A. B. C. D.1+ 2.若α∈(0,),且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于(　　) A. B. C. D. 3.若,则cos(-2α)的值为(　　) A. B.- C.- D. 4.已知tan α=,tan β=,且α,β均为锐角,则α+2β的值为(　　) A. B. C. D. 5.化简:=　　　　.  6.已知cos(α-)=,则sin(α+)=　　　　,sin 2α=　　　　.  二、关键能力提升 7.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　) A. B. C. D.或-7 8.(2025山东潍坊高一期中)已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=(　　) A.- B. C.- D. 9.(2π<α<3π)的化简结果为　　　　　.  10.已知sin α+3cos α=0,则sin 2α+cos2α=　　　　　　.  11.(2025江苏南通高一月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC是　　　　　　.  12.求函数f(x)=sin(2x+)-3cos x的最小值. 13.已知tan α=,cos β=且0<α<<β<2π. (1)求tan 2α的值; (2)求α+β的值. 三、学科素养创新 14.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°; cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°); cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°). (1)求出这个常数; (2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 参考答案 1.C　原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+. 2.D　∵sin2α+cos 2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=cos2α=,∴cos α=±.又α∈(0,),∴cos α=,sin α=.∴tan α=. 3.A　因为,所以,所以cos α-sin α=,平方得1-2cos αsin α=,所以sin 2α=,所以cos(-2α)=sin 2α=. 4.C　tan 2β=,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈(0,),所以α+2β∈(0,),所以α+2β=. 5.-1　原式==-=-=-1. 6.　-　sin(α+)=sin[(α-)+]=cos(α-)=.sin 2α=sin[2(α-)+]=cos 2(α-)=2cos2(α-)-1=2×()2-1=-. 7.C　cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7. 又α∈,所以tan α=.故选C. 8.D　由题得tan 2θ==-2,整理得tan2θ-tan θ-=0,解得tan θ=或tan θ=-. 又角θ的终边在第三象限,故tan θ=, 故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ=.故选D. 9.2sin　因为2π<α<3π,所以π<,所以=2sin. 10.-　因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α==-3,所以sin 2α+cos2α==-. 11.等腰三角形或直角三角形　由题得,sin C+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=sin Bcos A+cos Bsin A+sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Bcos A=sin 2A,即2sin Bcos A=2sin Acos A,所以(sin B-sin A)cos A=0,即sin B=sin A或cos A=0,因为A,B∈(0,π),且A+B<π,所以A=B或A=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 12.解∵f(x)=sin(2x+)-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令t=cos x,g(t)=-2t2-3t+1,则t∈[-1,1]. 又函数g(t)图象的对称轴方程为t=-∈[-1,1],且开口向下,∴当t=1时,g(t)有最小值-4. ∴f(x)的最小值为-4. 13.解(1)因为tan α=, 所以tan 2α=. (2)因为cos β=<β<2π, 所以sin β=-=-=-, 所以tan β==-2, 所以tan(α+β)==-1, 因为0<α<<β<2π,所以<α+β<, 所以α+β=. 14.解(1)cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°=2cos215°-sin215°=1+cos 30°-(1-cos 30°)=1+×(1-)=.故这个常数为. (2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=. 证明:cos2α+cos2β-sin αsin β=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)=×(-)×[cos 30°-cos(2α-30°)]=1+[cos 2α+cos(60°-2α)]+-cos(2α-30°)]=1+·2cos 30°cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=1+cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=. 学科网（北京）股份有限公司 $