专题13 复数的三角表示7题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一下学期数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第二册）

本高中数学讲义聚焦复数的三角表示核心知识点，系统梳理辐角（定义、主值）、三角形式（结构特征）、代数式与三角式互化，以及乘除运算的三角表示和几何意义，构建从概念到运算再到应用的递进学习支架。 资料通过7类题型分类设计，结合实例（如欧拉公式应用、棣莫弗定理计算）培养数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理），课中辅助教师教学，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升知识应用能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题13 复数的三角表示7题型分类 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作. 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，. 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等. 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. （一） 复数的代数式与三角式互化 复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连. 题型1：复数的代数式与三角式互化 1．（2026高一·全国·课后作业）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. （2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. 【详解】（1），所以， 对应的点在第一象限，所以， 所以． （2），所以， 对应的点在第四象限，所以，所以． 2．（2026高一·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【详解】（1），，， 设为复数的辐角主值，为第四象限的角，故. 因为，， 所以. （2）. 3．（2026高一·全国·课后作业）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的三角形式的定义直接求解即可 【详解】（1）复数（）对应的复数为，其辐角为0， 复数的三角形式为； （2）复数（）对应的复数为，对应的点在轴正半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （3）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （4）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 4．（2026高一·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 5．（2026高一·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 6．（2026高一·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 7．（2026高一·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1)－6 (2) 【分析】运用特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 8．（2026高一·全国·随堂练习）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可. 【详解】（1）； （2）. 题型2：欧拉公式 9．（2026高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 10．（2026高一·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 11．（2026高三·海南·月考）欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以的虚部为. 故答案为： 12．（2026·四川成都·模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ． 【答案】/ 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 13．（2026高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题： (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据欧拉公式结合复数模的计算公式计算即可； （2）根据欧拉公式结合共轭复数的概念计算即可. 【详解】（1），， 所以，所以复数的模长为. （2），复数的共轭复数为， 所以的共轭复数为 14．（2026高一·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由复数模的计算公式结合三角函数性质即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 15．（2026高一·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 16．（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 【答案】C 【分析】由，逐一分析四个选项得答案． 【详解】由， 可得，是纯虚数，故A错误； ，对应的点的坐标为，位于第一象限，故B错误； ， ，故C正确； ， ， 的最大值为3，故错误． 故选：C． （二） 复数的辐角主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的. 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 题型3：求复数的辐角主值 17．（2026高一·上海·单元测试）复数的幅角主值为 . 【答案】 【分析】将复数的代数形式转化为对应的三角形式，即可知其幅角主值. 【详解】由知：复数的幅角主值为. 故答案为： 18．（2026高一·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【分析】根据代数形式和三角形式之间的转化公式即可求解. 【详解】，辐角的主值. 故选：C. 19．（2026高一·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 20．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复数的辐角求主值的方法求解即可. 【详解】（1），所以； （2），所以； （3），所以； （4），所以. 21．（2026高一·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 22．（2026高一·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辐角主值的定义求解. 【详解】 . ∵，∴，， ∴. ∵辐角的主值的取值范围为， ∴复数z的辐角的主值为. 故选：C. 23．（2026高一·上海·课后作业）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得到向量对应复数，并求出的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值． 【详解】因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为， ，，则的幅角主值为 即对应复数的幅角主值为 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题． 24．（2026高一·全国·专题练习）若复数的辐角的主值为，的辐角的主值为，则的代数形式为 ． 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. （三） 三角形式下复数的乘、除运算 1.复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2.复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 题型4：三角形式下复数的乘法运算 25．（2026高三·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】结合两角和的余弦公式和正弦公式，根据复数的乘法运算计算求解即可. 【详解】． 26．（2026高一·全国·专题练习）计算，并作出几何解释： 【答案】，几何解释见解析 【分析】 利用复数的三角形式计算即可，然后利用复数的三角形式的几何意义进行解释. 【详解】原式 . 几何解释：设， 作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°， 再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的向量，则即为积所对应的向量. 27．（2026高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 28．（2026高一·河南洛阳·期末）已知复数，则 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 29．（2026高三·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 题型5：三角形式下复数的除法运算 30．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 31．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【详解】（1）． （2）原式． 32．（2026高一·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 33．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 34．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式，并作出几何解释： (1) (2). 【答案】(1)，几何解释见解析 (2)，几何解释见解析 【分析】根据复数乘除法运算法则，即可求值，应用三角形式的几何意义，即可解释运算结果. 【详解】（1）原式 . 几何解释：设，作与对应的向量， 然后把向量绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. （2）原式 . 几何解释：设， 作与对应的向量，然后把向量 绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 35．（2026·湖北）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可. 【详解】. 故选：A 36．（2026高二·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【详解】由， 所以，， 综上，. 故选：A 37．（2026高二·河南新乡·期中）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D 【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为， 所以对应辐角为， 故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴. 所以A、B、C错误，D正确. 故选：D 38．（2026高三·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 39．（2026高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 40．（2026高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 41．（2026高三·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 42．（2026·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. （四） 复数乘、除运算的几何意义 1.复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2.如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型7：复数乘、除运算的几何意义 43．（2026高一·上海·课堂例题）三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】根据三角形式的复数的乘法和除法规定即可计算得到和表示的复数. 【详解】不妨设则， 则复数乘法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转 （如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的s倍，得到向量，表示的复数就是积； 则复数除法运算的几何意义是将复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点O按逆时针方向旋转角）， 再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商． 44．（2026高一·福建泉州·月考）在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为 . 【答案】 【分析】分析可知，设点、对应的复数分别为、，利用复数三角形式乘法的几何意义得出，结合复数的乘法可得结果. 【详解】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 45．（2026高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【答案】 / 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 46．（2026高一·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 47．（2026高一·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 48．（2026高一·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 1．（2026高一·四川雅安·月考）复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 2．（2026高三·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的乘方运算法则进行计算. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C 3．（2026高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的三角形式的乘法运算即可求解. 【详解】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 4．（2026高三·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 5．（2026高一·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 6．（2026高一·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 7．（2026·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 9．（2026高一·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 10．（2026高一·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 11．（2026高二·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A 12．（2026高一·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ． 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 13．（2026高一·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转 得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 14．（2026高一·河北·期末）殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式 ． 【答案】 【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得. 【详解】，，所以． 故答案为：. 15．（2026高三·江西南昌·月考）已知复数满足，则复数的辐角的主值是 . 【答案】 【分析】由复数三角形式的运算即可求解. 【详解】由， 可得： 即， ， ， ， 复数的辐角的主值是. 故答案为： 16．（2026高一·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用辐角的性质求解即可. 【详解】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为： 17．（2026高一·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 18．（2026高三·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【分析】由复数的三角表示以及复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则． 又， 由复数相等条件，知． 19．（2026高一·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 【答案】1 【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模. 【详解】由题意得 ， 所以. 故答案为：1 20．（2026高一·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【详解】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 21．（2026高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 22．（2026高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可； （2）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可. 【详解】（1） ． （2） ． 23．（2026高一·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【详解】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 24．（2026高一·安徽黄山·期末）一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用正弦和余弦的和差公式计算即可； （2）利用三角形式和辐角主值的定义求解； （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，然后分别确定点在复平面上表示的复数为，再将三角形式转化为代数形式并求其模长. 【详解】（1）由于，. 故 ， . 综上，. （2）我们有 ， 且 . 据，知，，，. 所以，，故. （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，并不妨设点在实轴上方，则点在复平面上分别表示复数. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，并利用新定义和新工具解决已有的问题. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题13 复数的三角表示7题型分类 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作. 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，. 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等. 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. （一） 复数的代数式与三角式互化 复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连. 题型1：复数的代数式与三角式互化 1．（2026高一·全国·课后作业）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 2．（2026高一·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示： (1)； (2). 3．（2026高一·全国·课后作业）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2026高一·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 6．（2026高一·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 7．（2026高一·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 8．（2026高一·全国·随堂练习）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 题型2：欧拉公式 9．（2026高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2026高一·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 11．（2026高三·海南·月考）欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为 ． 12．（2026·四川成都·模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ． 13．（2026高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题： (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. 14．（2026高一·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 15．（2026高一·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 16．（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 （二） 复数的辐角主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的. 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 题型3：求复数的辐角主值 17．（2026高一·上海·单元测试）复数的幅角主值为 . 18．（2026高一·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 19．（2026高一·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 20．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 21．（2026高一·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·上海·课后作业）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·全国·专题练习）若复数的辐角的主值为，的辐角的主值为，则的代数形式为 ． （三） 三角形式下复数的乘、除运算 1.复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2.复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 题型4：三角形式下复数的乘法运算 25．（2026高三·全国·专题练习）计算：． 26．（2026高一·全国·专题练习）计算，并作出几何解释： 27．（2026高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·河南洛阳·期末）已知复数，则 . 29．（2026高三·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则 ． 题型5：三角形式下复数的除法运算 30．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 31．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 32．（2026高一·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 33．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 34．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式，并作出几何解释： (1) (2). 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 35．（2026·湖北）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 36．（2026高二·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 37．（2026高二·河南新乡·期中）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 38．（2026高三·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 39．（2026高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 40．（2026高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 41．（2026高三·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 42．（2026·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． （四） 复数乘、除运算的几何意义 1.复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2.如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型7：复数乘、除运算的几何意义 43．（2026高一·上海·课堂例题）三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么？ 44．（2026高一·福建泉州·月考）在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为 . 45．（2026高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 46．（2026高一·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 47．（2026高一·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 48．（2026高一·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 1．（2026高一·四川雅安·月考）复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 4．（2026高三·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 7．（2026·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 11．（2026高二·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ． 13．（2026高一·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转 得到（填最小正角）． 14．（2026高一·河北·期末）殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式 ． 15．（2026高三·江西南昌·月考）已知复数满足，则复数的辐角的主值是 . 16．（2026高一·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 17．（2026高一·甘肃临夏·期末）计算： ． 18．（2026高三·全国·专题练习）求的值． 19．（2026高一·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 20．（2026高一·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 21．（2026高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 22．（2026高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 23．（2026高一·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 24．（2026高一·安徽黄山·期末）一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $