精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试卷

乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高一数学试卷 命题人：华红英 审题人：朱保军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A “，” B. “，” C. “，” D. “，” 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（ ） A. 55石 B. 65石 C. 75石 D. 85石 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若样本，，…，的平均值为8，则，，…，的平均值为15 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共小题，每小题5分，共15分． 12 已知集合，若，则________ 13. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 14. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）. 16. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 17 已知函数. （1）求，的值； （2）在给定的坐标系中，画出的图像（不必列表）； （3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围. 18. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 19. 已知函数，． （1）求方程的解； （2）判断函数奇偶性与单调性； （3）对，，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高一数学试卷 命题人：华红英 审题人：朱保军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可知：“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（ ） A. 55石 B. 65石 C. 75石 D. 85石 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数定义域范围直接代入计算即可； 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故选：B. 5. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理和函数单调性即可判断. 【详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A． 6. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与性质列式即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以且，所以. 故选：D. 7. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出，排除B，得到正确答案. 【详解】由题知，的定义域为，因为， ∴是奇函数，排除A，C， 因为，排除D. 故选：B. 8. 已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，可以证明它是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，由即可得解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，令， 则是定义在R上的偶函数， 且在上单调递增，， 由题意不妨设，则， 所以上单调递增，在上单调递减，，， 解得：，即关于的不等式的解集为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若样本，，…，的平均值为8，则，，…，的平均值为15 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，根据平均数公式求的值并计算方差；B项，按步骤求解第70百分位数即可；C项，利用平均数的性质求新数据的平均数；D项，根据抽样比求解可得. 【详解】A选项，由平均数公式得，，解得， 根据方差公式得， ，故A项错误； B选项，将数据从小到大排序可得， 由不整数， 所以第70百分位数是排序后第6个数，即，故B项正确； C选项，已知样本的平均值为， 即， 则的平均数为： ， 故，所以C项正确； D选项，由题意知，抽样比为， 则从高二年级抽取人数为， 设高三年级学生中抽取的人数为， 则由，解得，故D项正确； 故选：BCD. 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 14. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用复合函数的单调性分别研究当与时在上的单调性，且在恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知，且， 令，则其对称轴为， ①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立， 则，解得， ②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立， 则，解得， 综述：或. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则及根式运算求解. （2）利用对数运算性质及指数式与对数式互化关系求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 【答案】（1），平均数为，中位数为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及平均数、中位数的求法计算即可； （2）利用独立事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 则该校学生初赛成绩的平均数为 ， 又，则中位数位于之间， 中位数不妨设为x，则； 【小问2详解】 设事件甲、乙、丙获奖分别为 至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人均获奖， 则 . 17. 已知函数. （1）求，的值； （2）在给定的坐标系中，画出的图像（不必列表）； （3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）图像见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式直接代入求解； （2）根据函数解析式及函数的性质画出图像； （3）利用数形结合的方法可求解. 【小问1详解】 由解析可得：， 因为，所以. 小问2详解】 函数的图像如下： 【小问3详解】 方程有3个不相等的实数解等价于函数的图像与的图像有三个交点， 结合（2）中的图像可得的取值范围为. 18. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 19. 已知函数，． （1）求方程的解； （2）判断函数的奇偶性与单调性； （3）对，，使得，求实数m取值范围． 【答案】（1） （2）是奇函数，则在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质结合题意可得，解之可得答案； （2）由奇函数定义结合题意可判断奇偶性，然后由复合函数单调性可得答案； （3）设函数，的值域为A，由题可得，然后分类讨论在上的单调性，可得在上的值域，据此可得答案. 【小问1详解】 由题意得，所以函数的定义域为 由，得，解得．所以方程的解为 【小问2详解】 ， 所以函数是奇函数.当时，， 易知在上单调递增，又在上单调递减， 结合复合函数单调性，可得在上单调递减. 又函数是奇函数，则在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）易得， 设函数，的值域为A，由题意得． . 当，即时，函数在上递增，则，解得； 当，即时，， 令，得，无解： 当，即时，函数在上递减，则，解得； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $