精品解析：安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末数学试题（A卷）

安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末 数学试题（A卷） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡指定位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，确认无误后将条形码粘贴在答题卡相应位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】，，又函数在区间上的图象是连续不断的曲线，则函数在区间(2,3)存在零点， 故选：C. 3. 已知是周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性可得，再根据函数的奇偶性可得，代入条件中的关系式即可求解. 【详解】因为是周期为的函数，所以. 又是奇函数，所以，即. 又当时，，所以. 故选：C. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数可排除C和D，由单调性可排除B，进而可得结果. 【详解】既是偶函数，又在区间上是减函数； 是偶函数，但在区间上不是减函数； 与不是偶函数， 故选：A. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式，根据两角和正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D 6. “”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“，”必要不充分条件 故选：B. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得到，利用对数函数的单调性得到，，再作商得到，即可求解. 【详解】，， ， 又因为 则，从而， 故选B. 8. 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这两种物质的初始质量都为，求出天后甲、乙两种物质的质量，结合题意与指数运算可得出、所满足的关系式. 【详解】不妨设这两种物质的初始质量都为， 则天后甲、乙两种物质的质量分别为、， 由题意知，即，即， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B、D，利用乘“1”法及基本不等式判断C. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，即，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C： ， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 对于D：由， 可得，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为4，故D正确. 故选：ABD 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移规律求出的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】，则函数的最小正周期为，故A正确； 因为，则是函数的图象的对称中心，故B错误； 因为在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故C正确； 由，得，则，从而， 即在区间的值域为，故D正确. 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. ， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，推导出函数的对称轴与对称中心，进而得出周期，再结合已知条件求解系数，最后逐一验证选项即可. 【详解】对于选项A ，为偶函数，则，即，从而的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B，为奇函数，则，即，从而的图象关于点中心对称，且，故B错误； 对于选项C，由两个对称可得，，从而，所以，即函数的周期为4， 则 ，即，又，解得，，故C正确； 对于选项D，由选项C可得函数的周期为4，又当时，，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义得出，然后由二倍角公式和同角关系式变形求解． 【详解】角终边在直线上，则， 所以 故答案为：． 13. 若函数是偶函数，则实数_____. 【答案】8 【解析】 【分析】确定函数的定义域为，再利用偶函数定义计算即可得解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 又，则. 故答案为：8. 14. 已知函数（其中）部分图象如图所示，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期，对称中心求出解析式，再代入求值即可. 【详解】由图可知，即，所以，则， 又是函数位于减区间中的对称中心，则，， 从而，， 所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，，，求的值. 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）由利用正切的和差公式得到，再利用同角三角函数求解即可； （2）先求出和的正余弦值，再根据求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以. （2）因为，所以，又， 所以，所以. 由得， 又，所以，所以. 所以 . 16. 设函数，其中，已知. （1）求值； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由结合的取值范围可得出的值； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间. 【小问1详解】 因为 . 由题设知，所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以. 由，解得， 所以的单调递增区间为. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）若实数，满足，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可知其定义域为，再由奇函数定义判断可知是奇函数； （2）利用函数奇偶性可得，将化简并利用换元法转化为二次函数求最值问题即可得出结果. 【小问1详解】 函数为奇函数； 证明如下：由，解得， 所以函数的定义域为, 任取，， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 由题意， 由于在区间上是减函数，由于在区间上是增函数， 所以在区间上是减函数，所以， 于是 令，由，得， 因此， 所以的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若，当时，求使成立的的取值集合； （2）若函数的最小值为，求实数的值； （3）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，先求出，再根据余弦函数的图像与性质得到的集合； （2）利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，通过换元法令，结合二次函数的性质，分情况讨论a的取值范围，进而求出a的值； （3）先求出在 的值域，再根据条件得到在上的最小值大于等于的最小值，进而求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，由，得， ，得，解得. 所以的的取值集合为； 【小问2详解】 . 令，.设，. ①当时，，所以无解； ②当时，， 即，所以，或（舍去）. ③当时，，所以（舍去）； 综上所述，. 【小问3详解】 因为，， 得， 由已知，即任意，恒成立， ，即恒成立. 令，，代入得：， 令， 当且仅当，即时等号成立. 所以，，即， 所以的取值范围是. 19. 我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”. （1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的“4阶搭配函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）否，理由见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知定义结合三角函数值域判断即可； （2）根据新定义结合单调性得出值域间关系，列式计算求解结合不等式性质求解； （3）根据新定义结合单调性得出值域间关系，列式计算求解参数范围. 【小问1详解】 令，则，化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”. 【小问2详解】 成立，即， 当，单调递减，值域为， ，单调递减，值域为， 由已知，则 由于，则，，解得，，或， 又，所以，所以，当且仅当，时等号成立， 即的最大值为2. 【小问3详解】 成立，即， 对任意，单调递增，值域为. 在区间单调递减，在区间单调递增， 且在区间上图像关于直线对称； 由题意，存在唯一的使，所以， 此时的值域为， 由题意，对任意，关于的方程在区间上有唯一解， 由函数在上的性质可知，当且仅当其函数值时，方程在上有唯一解， 因此，函数在上的值域必须是集合的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末 数学试题（A卷） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡指定位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，确认无误后将条形码粘贴在答题卡相应位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 3. 已知是周期为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. “”是“，”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上的值域为 11. 设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. ， D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则_____. 13. 若函数是偶函数，则实数_____. 14. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则_____. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，，，求的值. 16. 设函数，其中，已知. （1）求值； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）若实数，满足，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，当时，求使成立的的取值集合； （2）若函数的最小值为，求实数的值； （3）对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”. （1）判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的“4阶搭配函数”，求的最大值； （3）若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $