二次方程的应用：增长率问题、利润问题、面积问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次方程的应用：增长率问题、利润问题、面积问题复习讲义 二次方程的应用：增长率问题、利润问题、面积问题复习讲义 考点目录 增长率问题 利润问题 面积问题 真题速递 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 3．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴，∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 考点一 增长率问题 【知识点解析】 1. 增长率问题核心公式： 其中为起始量，为平均增长率，为增长次数，为增长次后的量 2. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）找原来的量 ； （2）设平均增长率为 ； （3）套公式：； （4）解方程，舍去负根（增长率不能负）. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·海南海口·期中）假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【答案】(1) (2)亿元 【详解】（1）解：设这两年贸易额的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这两年贸易额的年平均增长率为； （2）解：∵到贸易额的年增长率保持不变， ∴亿元， 答：到年月日我省的贸易额将达到亿元； 例2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【答案】(1)活跃用户数每个月的平均增长率为 (2)预测2026年2月的活跃用户数为万 【详解】（1）解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； （2）解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广东河源·期末）为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． (1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； (2)按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 【答案】(1)该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为 (2)预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册 【详解】（1）解：设该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为，     根据题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为； （2）解：（册）， 所以，预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册． 变式2．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】(1) (2)能达到17万人 【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； （2）解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 考点二 利润问题 【知识点解析】 1. 销售问题核心公式 （1）总价=单价×数量 （2）单个利润=单个售价-单个成本 （3）总利润=总收入-总成本=单个利润×数量 2. 变量关联（核心条件） 销售问题中，售价变化会直接影响销量，这是建立函数的关键，常见表述如已知当售价为元时，销量为件，每涨价1元，销量上升件. （1）若设涨价元，则售价为元，销量为件； （2）若设售价元，则销量为件. 3. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）设定变量 （2）表示调整后的售价、单件利润、销量 （3）建立总利润的二次函数模型 （4）确定自变量的取值范围 （5）求二次函数的最值或取值范围 （6）结合取值范围验证并作答 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 【答案】任务1：600；任务2：70或80元；任务3：售价为75元，有最大值，最大值为12500元；任务4：10 【详解】任务1：当元时，该种商品的销售量为件， 故答案为：600； 任务2：设这种商品每件售价是元， 根据题意，得， 解方程得：或， 即当每件的销售价为70或80元时，销售该商品每天能获得利润12000元； 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元， 由题意得： ∵，， ∴该函数图象为开口向下的抛物线，在对称轴处取得最大值， ∴每件销售价为75元时，获得最大利润；最大利润为12500元． 任务4：根据题意可得此时 ， ∵当销售价为70元时，利润最大， ∴， 解得：， 故答案为：10． 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)不能达到1500元，理由见解析 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件， 由题意可得：， 解得，， ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴越大，每天可以售出数量越大， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：假设能达到，设盈利为1500元，则： ， 整理得： ， ∴， ∴方程无实数根，故不能达到1500元. 例3．（25-26九年级上·山东济南·期末）某超市销售一款大葱礼盒，平均每天可售出盒，每盒盈利元．为了提升销量、增加盈利，超市决定适当降价，经测算发现，每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒． (1)若每盒礼盒降价元时，平均每天可售出多少盒礼盒？此时每天销售获利多少元？ (2)在每盒盈利不少于元的前提下，要使该礼盒每天销售获利元，问每盒礼盒应降价多少元？ 【答案】(1) 平均每天可售出盒礼盒，此时每天销售获利元； (2) 每盒礼盒应降价元． 【详解】（1）解：每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒， 每盒礼盒降价元时，平均每天可多售出盒， 每天获利元， 故每盒礼盒降价元时，平均每天可售出盒礼盒，此时每天销售获利元； （2）解：设每盒礼盒应降价元，则平均每天可多售出盒， 由题意得， 整理得， 解得， 当每盒礼盒降价元时，每盒盈利元，，符合题意， 故每盒礼盒应降价元． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)元 (2) (3)40元 【详解】（1）解：每个头盔的利润为（元）； （2）解：； （3）解：根据题意，得， ， ， ， ， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴取， 实际售价为（元）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为40元/个． 变式2．（25-26九年级上·天津河北·月考）某市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？ (3)根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应安排多少名工人生产甲产品？ 【答案】(1)； (2)2650元 (3)该企业应安排10人生产甲产品 【详解】（1）解：设每天安排x人生产乙产品，则每天安排人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为元，每天可生产件甲产品． 故答案为：；； （2）解：依题意，得：， 整理，得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（元）． 答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元． （3）解：设该企业安排m人生产甲产品，则安排人生产丙产品，安排人生产乙产品， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该企业应安排10人生产甲产品． 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 【答案】(1) (2)该糖果的定价应为12元 【详解】（1）解：设，由图象可知， ， 解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； （2）解：超市每天销售所获得的利润是： ， 解得：， ∵让顾客少花钱， ∴该糖果的定价应为12元． 考点三 面积问题 【知识点解析】 二次函数在图形问题里的核心应用，是利用函数表达式刻画图形的边长、面积、周长等量的关系，进而求解图形的最值（如最大面积）、动点坐标或线段长度等问题，本质是将几何量转化为代数函数，再借助二次函数的性质求解. 1. 常见几何公式（基础工具） （1）三角形的面积：； （2）平行四边形的面积：； （3）矩形的面积：； （4）直角三角形勾股定理：直角边的平方和等于斜边平方； （5）图形周长：各边长度之和（周长固定时，常用来建立边长的等量关系）. 2. 变量设定技巧 （1）若为动点问题：设动点的横坐标为，根据函数解析式表示出纵坐标，再计算线段长度； （2）若为周长固定的图形面积问题：设其中一条边长为 x，利用周长公式表示出另一条边长. 3. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）设定自变量 （2）用自变量表示相关几何量 （3）建立二次函数模型 （4）确定自变量的取值范围 （5）利用二次函数性质求解 （6）验证并作答 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 例2．（25-26九年级上·云南保山·期末）保山市某学校积极落实“五育并举”育人方针，扎实推进劳动教育课程建设．学校计划在一块长为15米，宽为12米的长方形空地上修建两条互相垂直且宽度相等的小路（如图所示，小路分别与长方形的长和宽垂直），把此空地分成四块大小相同的劳动实践菜地，给同学们开展种植活动．设小路宽度为x米． (1)小路面积为______平方米（用含x的代数式表示）； (2)若四块菜地的总面积为154平方米时，求这时小路宽度x的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：由题意知，两条小路中，一条与长方形的长平行，它的长是15米，宽是x米， ∴这条小路面积为平方米， 另一条与长方形的宽平行，它的长是12米，宽是x米， ∴这条小路面积为平方米， 而两条小路交叉的地方是一个边长为x米的正方形，这个正方形的面积被重复计算了一次， ∴重复区域的面积为平方米， ∴小路的总面积为：平方米， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即这时小路宽度为1米． 例3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【答案】(1)当时，菜园的面积为 (2)当时，菜园的面积最大，最大面积为 【详解】（1）解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ， 解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． （2）解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为； (2)收纳盒的高为厘米． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 （2）解：根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：收纳盒的高为厘米， 变式2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）要把一块长为30米，宽为20米的矩形空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路（如图），且小路的总面积为96平方米，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x米． (1)用含x的代数式表示小路的总面积：_______． (2)求小路的宽． 【答案】(1)平方米 (2)小路的宽为2米 【详解】（1）解：水平方向小路面积为平方米，竖直方向小路面积为平方米， 故所有路的总面积为：． 故答案为：平方米； （2）解：由题意：， 化简得：， 解得：， 经检验：不符合题意，舍去． 即， 答：小路的宽为2米． 变式3．（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)若的长不能超过，． ①当的长度为时，的长为______； ②若设长为，长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则的长度是多少？ (2)若墙足够长，如何设计和的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 【答案】(1)①；②；③或； (2)， 【详解】（1）解：①由题意知，， 当时，； 故答案为：； ②， 且， ∴， 解得， ∴； ③， ∴， 整理得， ， ∴或， 即或； （2）解：由（1）知，， 其中， ∴， 当时，有最大值， 此时， ∴当，时，菜园的面积最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次方程的应用：增长率问题、利润问题、面积问题复习讲义 二次方程的应用：增长率问题、利润问题、面积问题复习讲义 考点目录 增长率问题 利润问题 面积问题 真题速递 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 3．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 考点一 增长率问题 【知识点解析】 1. 增长率问题核心公式： 其中为起始量，为平均增长率，为增长次数，为增长次后的量 2. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）找原来的量 ； （2）设平均增长率为 ； （3）套公式：； （4）解方程，舍去负根（增长率不能负）. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·海南海口·期中）假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 例2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广东河源·期末）为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． (1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； (2)按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 变式2．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 考点二 利润问题 【知识点解析】 1. 销售问题核心公式 （1）总价=单价×数量 （2）单个利润=单个售价-单个成本 （3）总利润=总收入-总成本=单个利润×数量 2. 变量关联（核心条件） 销售问题中，售价变化会直接影响销量，这是建立函数的关键，常见表述如已知当售价为元时，销量为件，每涨价1元，销量上升件. （1）若设涨价元，则售价为元，销量为件； （2）若设售价元，则销量为件. 3. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）设定变量 （2）表示调整后的售价、单件利润、销量 （3）建立总利润的二次函数模型 （4）确定自变量的取值范围 （5）求二次函数的最值或取值范围 （6）结合取值范围验证并作答 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 例3．（25-26九年级上·山东济南·期末）某超市销售一款大葱礼盒，平均每天可售出盒，每盒盈利元．为了提升销量、增加盈利，超市决定适当降价，经测算发现，每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒． (1)若每盒礼盒降价元时，平均每天可售出多少盒礼盒？此时每天销售获利多少元？ (2)在每盒盈利不少于元的前提下，要使该礼盒每天销售获利元，问每盒礼盒应降价多少元？ 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 变式2．（25-26九年级上·天津河北·月考）某市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？ (3)根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应安排多少名工人生产甲产品？ 变式3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 考点三 面积问题 【知识点解析】 二次函数在图形问题里的核心应用，是利用函数表达式刻画图形的边长、面积、周长等量的关系，进而求解图形的最值（如最大面积）、动点坐标或线段长度等问题，本质是将几何量转化为代数函数，再借助二次函数的性质求解. 1. 常见几何公式（基础工具） （1）三角形的面积：； （2）平行四边形的面积：； （3）矩形的面积：； （4）直角三角形勾股定理：直角边的平方和等于斜边平方； （5）图形周长：各边长度之和（周长固定时，常用来建立边长的等量关系）. 2. 变量设定技巧 （1）若为动点问题：设动点的横坐标为，根据函数解析式表示出纵坐标，再计算线段长度； （2）若为周长固定的图形面积问题：设其中一条边长为 x，利用周长公式表示出另一条边长. 3. 通用解题步骤（结构化方法论） （1）设定自变量 （2）用自变量表示相关几何量 （3）建立二次函数模型 （4）确定自变量的取值范围 （5）利用二次函数性质求解 （6）验证并作答 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 例2．（25-26九年级上·云南保山·期末）保山市某学校积极落实“五育并举”育人方针，扎实推进劳动教育课程建设．学校计划在一块长为15米，宽为12米的长方形空地上修建两条互相垂直且宽度相等的小路（如图所示，小路分别与长方形的长和宽垂直），把此空地分成四块大小相同的劳动实践菜地，给同学们开展种植活动．设小路宽度为x米． (1)小路面积为______平方米（用含x的代数式表示）； (2)若四块菜地的总面积为154平方米时，求这时小路宽度x的值． 例3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 变式2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）要把一块长为30米，宽为20米的矩形空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路（如图），且小路的总面积为96平方米，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x米． (1)用含x的代数式表示小路的总面积：_______． (2)求小路的宽． 变式3．（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)若的长不能超过，． ①当的长度为时，的长为______； ②若设长为，长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则的长度是多少？ (2)若墙足够长，如何设计和的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 2 学科网（北京）股份有限公司 $