专题04 直角三角形（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题04 直角三角形 （五大题型） 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】.........................................................................................1 【题型2 直角三角形的判定】........................................................................................................4 【题型3 写出命题的逆命题】.........................................................................................................8 【题型4 互逆定理】.......................................................................................................................10 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】.................................................................................11 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为， 故选：． 2．如图，在中，，点是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形的性质得到，进而得到，则可求出，据此可得结论． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 5．将一副三角板按如图方式叠放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出和，再利用三角形外角的性质求得． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：A． 6．如图，在三角形中，是上一点，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形内角和；利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．由于，，所以，又因为中，，所以，因为，所以，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ； 故选C． 【题型2 直角三角形的判定】 1．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 3．在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 4．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 5．根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 6．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【题型3 写出命题的逆命题】 1．命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为 ． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 2．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】 两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与逆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．逆命题，把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．根据逆命题的定义回答即可． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 4．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 【答案】各边相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”． 【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”， 故答案为：各边相等的多边形是正多边形． 5．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【题型4 互逆定理】 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 3．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 4．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】 1．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 2．如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 3．如图，于点，为上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ． （2）解：， ， ， ． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明全等即可； （）由，则，又，所以，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，常用的判定方法有，，，等，解题的关键是准确寻找全等三角形的条件． 首先由得到，然后证明． 【详解】证明：， ，即． ，， ． 在与中， ． 6．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证： (2)判断和的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和的位置关系是垂直，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直． 1．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，，，垂足分别为．下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可． 【详解】解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，， 点到线段的距离为线段的长度， 故①说法正确； ②， ， ， ， ， ，， 故②说法错误； ③， ， ， ， ， ， 故③说法正确； 综上可知，说法正确的是①③，共2个， 故选：C． 3．如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，综合性强，难度较大．根据角平分线定义得到，，根据，得到，即可求出，故①正确；证明，进而证明，故②正确；先证明，再证明，故③正确；延长交于点M，证明，得到，进而证明，即可得到，从而证明，故④正确． 【详解】解：∵的角平分线与角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图，延长交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形 （五大题型） 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】.........................................................................................1 【题型2 直角三角形的判定】........................................................................................................2 【题型3 写出命题的逆命题】.........................................................................................................3 【题型4 互逆定理】.......................................................................................................................3 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】.................................................................................4 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 5．将一副三角板按如图方式叠放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形中，是上一点，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 直角三角形的判定】 1．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B．C． D． 3．在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【题型3 写出命题的逆命题】 1．命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为 ． 2．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 4．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 5．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【题型4 互逆定理】 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 3．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 4．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【题型5 利用（HL)判定直角三角形全等】 1．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 3．如图，于点，为上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 6．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证： (2)判断和的位置关系并证明． 1．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足分别为．下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $