专题03 等边三角形的性质与判定（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题03 等边三角形的性质与判定 （七大题型） 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】......................................................................1 【题型2根据等边三角形的性质求角度】..................................................................................2 【题型3 等边三角形的判定】.....................................................................................................4 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】.................................................................................6 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】.............................................................8 【题型6 反证法证明中的假设】...................................................................................................9 【题型 7用反证法证明命题】.......................................................................................................10 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 3．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 4．如图：是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【题型2根据等边三角形的性质求角度】 1．如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，点D是上一点，连接，将沿翻折得，其中交于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【题型3 等边三角形的判定】 1．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 3．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 4．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 5．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 6．如图，在中，平分交于点，延长至点，连接，若，，．求证：是等边三角形． 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】 1．如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 2．如图，为等腰三角形，，，是它的中线，延长至点，使得，其中的两边分别交，于点、，． (1)若，求的长； (2)求证：． 3．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 4．如图，在中，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 5．如图，在中，是上的一点，过点作于点，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 6．已知是等边三角形、 (1)如图①，，分别交，于点，．证明：是等边三角形； (2)如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，求的度数． 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】 1．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．如图，在中，，，是高，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，中，D为中点，E在上，且．若，，，，则的长度是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【题型6 反证法证明中的假设】 1．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 2．用反证法证明命题“若，则关于的方程有且只有一个根”时，应先（   ） A．假设有且只有一个根 B．假设至少有两个根 C．假设没有根或至少有两个根 D．假设没有根 3．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 4．用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 5．用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设（　　） A． B． C． D． 【题型 7用反证法证明命题】 1．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 2．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 3．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交． 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 2．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B．2 C．9 D． 3．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 4．如图，和是两个边长为5的等边三角形，将沿方向平移到的位置得到右图，则图中六个阴影三角形的周长之和为 ． 5．在平面内取一定点O，引一条射线，再取定一个长度单位，并确定角的方向（通常以逆时针的方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系(如图1)．其中，点O叫做极点，叫做极轴．那么平面上任一点M的位置可由的长度m(称为点M的极径)与的度数α(称为点M的极角)确定，有序数对称为M点的极坐标．如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形，且，则点B的极坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等边三角形的性质与判定 （七大题型） 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】......................................................................1 【题型2根据等边三角形的性质求角度】..................................................................................5 【题型3 等边三角形的判定】.....................................................................................................10 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】.................................................................................14 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】.............................................................21 【题型6 反证法证明中的假设】...................................................................................................24 【题型 7用反证法证明命题】.......................................................................................................25 【题型1根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形是解题关键． 利用等边三角形的高平分底边的性质，将问题转化为解直角三角形，再通过勾股定理计算出高的长度． 【详解】解：∵是等边三角形，边长，是边上的高， ∴， 在中，，， 由勾股定理： ∵， ∴， ∴， 解得，即边上的高为． 故选：． 3．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 4．如图：是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中的性质求解是正确解答本题的关键．由已知条件，先证明得，可得，．则易求． 【详解】解：为等边三角形， ，； 又， 在和中， ， ； ，； ； ， ，则； ， 在中，； 又， ． 故选：． 5．如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质．先利用等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型2根据等边三角形的性质求角度】 1．如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得，再由可得答案． 【详解】解：∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，设，根据得，然后根据三角形内角和定理得，根据等边三角形的性质得，则，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 即， 故选：C． 3．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 4．将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义、等边三角形的性质等知识点，掌握三角形外角的定义是解题的关键． 如图：由等边三角形的性质可得，根据三角形外角的定义可知，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵等边， ∴， ∵， ∴，即的度数可能是． 故选D． 5．如图，在等边中，点D是上一点，连接，将沿翻折得，其中交于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形外角定理及翻折（轴对称）性质，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质和翻折（轴对称）性质； 由等边三角形的性质得，然后利用外角定理得，最后由翻折性质即可解答． 【详解】解∶为等边三角形， ∵， ∵是的外角， ∴， ， ∵沿翻折得， ∴， 故选：B． 6．如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握三线合一是解题的关键；根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，， ， ， ， 故选：． 7．如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质证得，结合全等的性质求解即可． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故选：A． 【题型3 等边三角形的判定】 1．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 3．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 4．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及等边三角形的判定是关键．根据等腰三角形的性质，求得，所以，可进一步求得，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形； 5．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 6．如图，在中，平分交于点，延长至点，连接，若，，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等角得出，，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据等角对等边得出，然后根据等边三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形． 【题型4 等边三角形的判定和性质综合】 1．如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．如图，为等腰三角形，，，是它的中线，延长至点，使得，其中的两边分别交，于点、，． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】（1）首先求出，然后由三线合一得到，，求出，证明出是等边三角形，得到； （2）由等边三角形得到，，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴ ∵是它的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴； （2）解：∵是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，三线合一，全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 4．如图，在中，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由等腰三角形的性质得出，垂直得出，用证得，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由三角形内角和定理求出，证明出是等边三角形，进一步证明得出，同理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理可得：， ． 5．如图，在中，是上的一点，过点作于点，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边对等角，对顶角相等得到，结合和垂直的定义得到，由此即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，结合题意得到是等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ． 6．已知是等边三角形、 (1)如图①，，分别交，于点，．证明：是等边三角形； (2)如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，等边三角形的判定和性质，解答即可． （2）证明，结合等边三角形的性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵为等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在的延长线上，， ∴， ∴， ∴． 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的有关运算】 1．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握该性质定理． 根据含角直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴, 故选：C． 2．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直接根据该性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，，是高，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质推出，，得到，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是三角形的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，中，D为中点，E在上，且．若，，，，则的长度是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质． 根据三角形内角和得到，根据含30度直角三角形的性质得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型6 反证法证明中的假设】 1．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 【答案】A 【分析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于60°”的反面是“所有内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不小于”， ∴其反面为“所有内角都小于”， 故选：A． 2．用反证法证明命题“若，则关于的方程有且只有一个根”时，应先（   ） A．假设有且只有一个根 B．假设至少有两个根 C．假设没有根或至少有两个根 D．假设没有根 【答案】C 【分析】本题考查了反证法的步骤，掌握反证法需假设结论的否定是解题的关键． 反证法需先假设原命题结论的否定，找出有且只有一个根的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法需否定结论，“有且只有一个根”的否定是“没有根或至少有两个根”， ∴ 应假设“没有根或至少有两个根”； 故选：C． 3．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 【答案】D 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 4．用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 【答案】D 【分析】本题考查了反证法； 反证法需假设原命题的否定，原命题为“两条直线相交，有且只有一个交点”，其否定应覆盖所有不成立的情况，即没有交点或不止一个交点． 【详解】解：反证法要求假设原命题的否定， 原命题为：两条直线相交，有且只有一个交点， 其否定为：两条直线相交，没有交点或不止一个交点， 故选：D． 5．用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案，了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设． 故选：A． 【题型 7用反证法证明命题】 1．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 2．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 3．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交． 【答案】见解析． 【分析】运用反证法假设与平行，则它们的垂线也平行，与题设矛盾，从而证明． 【详解】证明：若与平行，则它们的垂线也平行， 即与平行，与直线与相交于O矛盾， 所以与不平行即相交． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B．2 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 3．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，和是两个边长为5的等边三角形，将沿方向平移到的位置得到右图，则图中六个阴影三角形的周长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，根据平移的性质可得和的周长不变，进而根据阴影部分面积等于和的周长和，即可求解． 【详解】解：和是两个边长为5的等边三角形， ∴和的周长和为 ∴图中六个阴影三角形的周长之和为， 故答案为：． 5．在平面内取一定点O，引一条射线，再取定一个长度单位，并确定角的方向（通常以逆时针的方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系(如图1)．其中，点O叫做极点，叫做极轴．那么平面上任一点M的位置可由的长度m(称为点M的极径)与的度数α(称为点M的极角)确定，有序数对称为M点的极坐标．如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形，且，则点B的极坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正三角形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，结合极坐标的定义填空． 【详解】解：∵在等边中，， ∴点B的极坐标为． 故答案是：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $