2025-2026学年人教版八年级数学下册精析精练 20.1勾股定理及其应用

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 20.1勾股定理及其应用 知识点1、勾股定理 1．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 3．在数学课上，老师给出了4张全等的直角三角形卡片（如图所示，两直角边长分别为，斜边为，要求同学们用这些卡片拼成含有正方形的图案，拼图时直角三角形卡片不能互相重叠． (1)佳佳用这4张卡片拼成了如图2所示的图形，她发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：大正方形的面积可表示为___________，也可表示为___________，因此可得___________． (2)一组同学也利用4张卡片拼成了如图3所示的三个图案，在图①③中，图___________可证明勾股定理． (3)聪聪用了2张卡片拼成如图4所示的图形，他认真观察后发现，虽然这个图形中没有正方形，但此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 4．如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 知识点2 利用勾股定理进行计算 1．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上的中点，过点D作，交于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．如图，在中，，作的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在直角中，平分交于点于点，已知，，则的周长为 ． 4．如图，在中，，，，以为边向外作正方形，以为直角边向外作等腰，连接，则的长为 ． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 知识点3勾股定理的应用 1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 3．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为 ． 4．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 5．阅读材料，解答问题： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷． (1)验证定理：如图，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，设的三边分别为，将裁剪拼接至的位置，如图，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含的式子表示）： 验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ________，________ 又 ________________________________， 整理得勾股定理____________________________________________________． (2)定理应用：如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 6．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 7．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 8．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 9．海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 知识点4利用勾股定理作图 1．（1）如图1，在方格纸中，均为格点． ①过点画线段的垂线，垂足为； ②在线段上找一点，使得的值最小． （2）如图2，，，在的上方作射线，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2．在的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段的两个端点都在格点上． (1)在图1中，线段的长为___________． (2)在图2中，画一个面积为10的正方形，且正方形的顶点都在格点上． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点P到A、B两点的距离相等； ②点P到的两边距离相等； (2)若点M在y轴上，且是直角三角形，则所有符合条件的点M的坐标为 ． 4．如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 5．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 6．实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来：      (1)如图，A点表示的数是 ． (2)请你借助刻度尺、三角板、圆规等作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论）． 1．如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 2．如图，在和中，，，，，．求证：． 3．如图，已知及边上一点C． (1)在射线上求作点A，使得；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点A作交于点G，若，，求的长 4．如图，点E是正方形边上的一点，将沿折叠，得到，延长交于点G． (1)连接，证明：； (2)若，，求的长度． 5．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 6．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 7．一根竖直的木杆在离地面的点处折断，木杆顶端点落在离木杆底端点16dm的点处，求木杆折断之前的高度． 8．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 2．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 3．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1， 连接， 当点在线段上时， 求 (2)在（1）的条件下，求点 P 的坐标． (3)如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (4)是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 20.1勾股定理及其应用（解析版） 知识点1、勾股定理 1．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 2．如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析． （3）见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，完全平方公式，图形面积的性质证明即可． （2）根据题意，拼图解答即可． （3）根据题意，利用面积法证明即可． 本题考查了勾股定理的证明，面积的性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个直角三角形的面积为， 根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，拼图如下： （3）解：设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． 3．在数学课上，老师给出了4张全等的直角三角形卡片（如图所示，两直角边长分别为，斜边为，要求同学们用这些卡片拼成含有正方形的图案，拼图时直角三角形卡片不能互相重叠． (1)佳佳用这4张卡片拼成了如图2所示的图形，她发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：大正方形的面积可表示为___________，也可表示为___________，因此可得___________． (2)一组同学也利用4张卡片拼成了如图3所示的三个图案，在图①③中，图___________可证明勾股定理． (3)聪聪用了2张卡片拼成如图4所示的图形，他认真观察后发现，虽然这个图形中没有正方形，但此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题； （2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为， 也可表示为：， 因此可得 ； 故答案为：，，； （2）解：图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①③中，图①可证明勾股定理； 故答案为：①． （3）证明：图4中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， ． 4．如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键： （1）证明，得到，，再根据线段的和差关系即可得证； （2）根据和两种方法，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ． 在中，． ， ． 在和中， ． ，． ， ． （2）解：， ，，． ， ， ， 即． 知识点2 利用勾股定理进行计算 1．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上的中点，过点D作，交于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰三角形性质的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等腰直角三角形性质得出，，，证≌，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等腰直角三角形中，，D为边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：C ． 2．如图，在中，，作的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的基本性质，含的直角三角形，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过垂直平分线的基本性质得到，进而可得到，然后利用含的直角三角形的基本性质求出，再利用勾股定理求出，进而可求出． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 3．如图，在直角中，平分交于点于点，已知，，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的性质得出，进而将的周长进行转化计算．根据勾股定理求出，证明，得出，，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵在直角中，，， ∴， 平分， ，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：4． 4．如图，在中，，，，以为边向外作正方形，以为直角边向外作等腰，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作交的延长线于点，与交于点，由勾股定理可得，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，，再证明，得到，，最后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，与交于点， ， 在中，，，， ， 等腰， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， 正方形， ，， ，， 又， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和BC的长度，再分两种等腰情况（和）进行计算． 先在中，由、得，；再分和两种情况：当时，，可得；当时，由等腰三角形三线合一得，可得． 【详解】解：在中， ∵ ，，， ∴ ，． ∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴ ． 分两种情况： 情况一：当时：，解得． 情况二： 当时， ∵ ， ∴ ，． 解得． 故答案为：或． 知识点3勾股定理的应用 1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 2．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 3．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 4．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 5．阅读材料，解答问题： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷． (1)验证定理：如图，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，设的三边分别为，将裁剪拼接至的位置，如图，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含的式子表示）： 验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ________，________ 又 ________________________________， 整理得勾股定理____________________________________________________． (2)定理应用：如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】（）根据图形的面积关系完成填空即可； （）由题意可得，即得，设绳索的长为，则，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ，， 又 ∴， 整理得勾股定理， 故答案为：，，，，，； （2）解：由题意可得，， ∴， 设绳索的长为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， 答：绳索的长为． 6．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 7．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 8．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 9．海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，，， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得，， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 知识点4利用勾股定理作图 1．（1）如图1，在方格纸中，均为格点． ①过点画线段的垂线，垂足为； ②在线段上找一点，使得的值最小． （2）如图2，，，在的上方作射线，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作图，以及作与已知角相等的角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤． （1）①先由勾股定理求解的长度，即可证明为等腰三角形，再由垂直平分线的作图方法作图即可； ②连接，，交点即为所求． （2）先求解出，再由作与已知角相等的角的作图方法作图即可． 【详解】解：（1）①设方格纸中网格为单位长度， ∵，，即， ∴为等腰三角形， 以点A为圆心，长度大于为半径画弧，再以点B为圆心，相同长度为半径画弧， 两弧相交于点M与点N，连接，过点C且与相交于点E， 如图①，直线即为所求． ②如图②，连接，，交点为点，点即为所求． （2）∵，， ∴， 以点C为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q， 再以点B为圆心，相同长度为半径画弧，交于点G， 将圆规针尖放在点P，调整到点Q，截取长度保持不变， 再以点G为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点K， 连接，如图2①，即为所求． 2．在的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段的两个端点都在格点上． (1)在图1中，线段的长为___________． (2)在图2中，画一个面积为10的正方形，且正方形的顶点都在格点上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，格点作图，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）作边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）解：正方形即为所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： ①点P到A、B两点的距离相等； ②点P到的两边距离相等； (2)若点M在y轴上，且是直角三角形，则所有符合条件的点M的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）作的中垂线，作的角平分线，交于点； （2）先求出点P坐标，分类讨论，设，根据两点间距离公式表示三边，再利用勾股定理建立方程． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求：作的中垂线，作的角平分线，交于点，如图； （2）解：点，点，点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为3， 由作图得：， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 则①当，即轴，此时； ②当时， 则，而，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图题，以及涉及的知识点：线段的垂直平分线、角平分线、两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． (1)尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心作交 于点M ，连接，再根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）连接，由折叠可得，，在 中根据勾股定理求出，设，在 中再结合勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：如图： 作图步骤： ①以点为圆心，为半径画弧交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧交于点，交于点； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点； ④连接并延长交于点； （2）解：连接，由折叠可得，， 在 中，， ∴， 设，则， 在 中，， 即 ， 解得， ∴． 5．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解：，， 又， ， ． 6．实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来：      (1)如图，A点表示的数是 ． (2)请你借助刻度尺、三角板、圆规等作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】(1)根据勾股定理，计算即可． (2)根据勾股定理，利用尺规作图画图即可． 【详解】（1）根据题意，得， 故点A表示的数是． 故答案为：． （2）根据勾股定理，作图如下：    则点E表示的数就是所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，尺规作图，熟练掌握勾股定理和尺规作图是解题的关键． 1．如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的内容是解题的关键； （1）过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段相等得到角平分线； （2）利用第一问的结论得到角度，得出三角形的形状为等腰直角三角形推导出边相等，利用勾股定理得到点到的距离． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又，， 平分． （2）解：由（1）可知，平分， ， 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ， ， ∴点到的距离为． 2．如图，在和中，，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 3．如图，已知及边上一点C． (1)在射线上求作点A，使得；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点A作交于点G，若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点A，则，可得，由三角形外角的性质可得； （2）设的垂直平分线交于点H，则，利用勾股定理求出，由等面积法得到，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，设的垂直平分线交于点H， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 4．如图，点E是正方形边上的一点，将沿折叠，得到，延长交于点G． (1)连接，证明：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，折叠的性质； （1）连接，由折叠性质得，根据直角三角形全等的判定条件即可解答； （2）设 ，由折叠性质得，，由三角形全等的性质得，根据勾股定理列方程求解即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴由折叠性质可得， 是公共边，且， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由折叠性质得，． 设， 由（1）得， 则． 在中：，． ，即， 化简得 ， 解得， ∴ ． 5．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 6．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 7．一根竖直的木杆在离地面的点处折断，木杆顶端点落在离木杆底端点16dm的点处，求木杆折断之前的高度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴木杆折断之前的高度为 故答案为：． 8．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 2．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 3．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1， 连接， 当点在线段上时， 求 (2)在（1）的条件下，求点 P 的坐标． (3)如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (4)是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)点P的坐标为； (3) (4)点P的坐标为或或． 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，线段的和差关系求出的长即可； （2）设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （3）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （4）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，分两种情况讨论：点在的上方，此种情况又分为和两种情况；点在的下方；分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴； 故答案为：4； （2）解：由（1）知：，，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （4）解：如图所示，过点作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ①当点在的上方时， 若， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 若， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时，如图，过点作交于点E，交于点F， 则， 若，则， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或或． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $