构造法求数列通项公式基础知识讲义-2026届高三数学 一轮复习

构造法求数列的通项公式 一 知识再现 题型一 形如,(其中p，q为常数，且 ) 步骤 ①把转化为 ②求出λ的值 ③转化为等比数列求解 题型二 形如,(其中) 步骤 ①把转化为 ②求出λ，μ的值 ③转化为等比数列{}求解 题型三 形如 ，（其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0） （1）方法一 【】步骤 ①把转化为 ②求出λ的值 ③转化为等比数列求解 【】步骤 ①把转化为 ②求出λ的值 ③转化为等比数列求解 （2）方法二 步骤 ①两边同除以,得到 ②引入辅助数列{}，其中 ③转化为题型一解题 二 题型分类 题型一 形如,(其中p，q为常数，且 ) 1．已知数列中，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 故选：D. 2．已知数列满足，则 . 【详解】∵，由，解得， ∴有， 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，∴. 故答案为：. 变式 分式形式 3．在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 4.已知数列满足，，则（   ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【详解】数列满足，可得，则有， 所以，又， 根据等比数列的定义可知，数列是首项为2公比为3的等比数列，D选项正确； 所以，，则有，，， ， ，不是等差数列，A选项错误； ，，不是等差数列，B选项错误； ，，不是等比数列，C选项错误. 故选：D. 题型二 形如,(其中) 5．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，，设， ∴化简可得对照可得， ， 令，，又， ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以， ，令，． 故选：D 6．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 7．已知数列中，，则数列的通项公式 ． 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 题型三 形如 ，（其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0） 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 9．已知数列的首项为，且满足，则 ． 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 10．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 三 小幅度进阶 1．在数列中，，，则 . 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 2．在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. （2）由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 步履不停，自有花期。1 学科网（北京）股份有限公司 $构造法求数列的通项公式 一知识再现 题型-形如r1=pan十q,(其中p,q为常数，且pg(p-1)≠0) 步骤 ①北a+1=paa+9转化为a*1+入=p(an十刘 ②求出入的值 ③转化为等比数列an+乃求解 题型二形如aH1=pan十qn十r,(其中p≠1，q≠0，r≠0) 步骤 ①把m1=pan+9n+r转化为at1+n+1+4=p(an+n+u ②求出入，u的值 ③转化为等比数列{an十入n十}求解 题型三形如a叶1=pan+q”,(其中p,q为常数，且pq仰-1)≠0) (1)方法一 【P丰q】步骤 ①把m1=pan+q转化为at1+g*1=p(an+入q ②求出入的值 ③转化为等比数列an十入q叫求解 【p=q】步骤 ①把at1=pan+p转化为an#1+入(n+1)p1=pan+入np叫 ②求出入的值 ③转化为等比数列an十p叫求解 (2)方法二 步骤 ①两边时除以g叶1，得到器=号票十 a叶1 ②引入辅助数列bn,其中bn=等 ③转化为题型一解题 1 步履不停，自有花期。 二题型分类 题型-形如am1=Pan+q,(其中p,q为常数，且pg(p-1)≠0) 1.已知数列{an}中，a,=1,an=2an1+1n≥2，n∈N,则数列{an}的通项公式为() A.an=20-1-1B.an=21-1C.a=2 D.a,=2"-1 2.已知数列{an}满足a+1=3a,+4,a1=1,则an=」 变式分式形式 3.在数列中，么=-1-2+3N,则道项公式=() B.2°1 1 C.2 1 D 4.已知数列{an}满足3an+1-an+2an+4n=0,a1=1,则() A. 是等差数列 B. 3 是等差数列 c. +2 是等比数列 是等比数列 a 2 步履不停，自有花期。 题型二形如aH1=pan十qn十r,(其中p≠1，q≠0，r≠0) 5.已知数列{a}满足a1=2an+3n(n∈N),且a,=0,则ao=() A.2048 B.2069 C.3024 D.3039 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,S,=1,且a+1=2an+n-1,则通项公式an为 7.已知数列{an}中，a,=3,a1=2an-2n+3,n∈N,则数列{a,}的通项公式an= 题型三形如aH1=pan+q”,（其中p,q为常数，且pqp-1)≠0) 8.已知数列{an}满足an+1=3an+3(neN,且a=1,则数列{an}的通项公式为一· 9.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1+an=3×2”,则an= 10.已知数列{an}满足an1=2an+2m+2,且a1=2. ①求证：数列 an 是等差数列； (②)求数列{an}的通项公式； 6 步履不停，自有花期。 三小幅度进阶 1.在数列{an}中，a1=0,an+1=2an-3”-n2+2n+1,则an= 2.在数列{an}中，a1=L,nan+1=(n+lan+1. (I)求{an}的通项公式； ②若6=号，求数列b}的前项和S 4 步履不停，自有花期。