寒假专题：长方体和正方体应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

寒假专题：长方体和正方体 1．一个长方体的高增加3厘米，就变成一个正方体，表面积增加96平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 2．一间长方体教室长8米，宽6米，高4.5米，要对教室的顶面和四壁进行粉刷（门窗和黑板26平方米除外），粉刷的面积是多少平方米？ 3．一根铁丝正好可以做一个棱长6分米的正方体框架，如果用同样长的铁丝做一个长12分米，宽5分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 4．小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 5．学校要粉刷新教室的四壁和天花板。教室的长是8米，宽是5米，高是3.2米，门窗的面积是14.5平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 6．如图，有一个长方体钢材，底面是正方形，中间是空心的。它的体积是多少立方厘米？ 7．一个体积是140cm3的长方体，前面和右面的面积分别是35cm2和20cm2，它的底面积是多少平方厘米？ 8．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？ 9．如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 10．一块正方体的豆腐，棱长是7cm。如果每立方厘米豆腐的质量是1.1g，那么这块豆腐的质量是多少克？若每100g豆腐中含蛋白质10g，则这块豆腐可以为人体提供多少克蛋白质？ 11．中秋节是我国的传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。园园给爷爷买了一盒月饼，并用一根丝带捆扎礼盒（如下图）。如果打结处用的丝带长30cm，求这根丝带的长度。 12．灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 13．手工课上，海海用橡皮泥捏成了一个长18cm、宽1dm、高12cm的长方体。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 14．制作一个如下图所示的纸袋，至少需要多少平方厘米的硬纸板？（提手及接头处忽略不计） 15．一个正方体木箱，棱长2.5dm。如果实际用料是表面积的1.2倍，做这个木箱至少要用多少平方分米的木板？ 16．把60升水倒入一个长5分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃水槽中，如果将一块石头完全浸没水中，这时量得水面离槽口2分米。这块石头的体积是多少？ 17．一个长方体的容器，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，容器内装满水后，将铁块完全没入水中，水溢出，然后将铁块取出，这时容器中的水面降低了9厘米。铁块的体积是多少立方分米？ 18．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。孙师傅将宣纸裁成如图的形状，经过艺术创作后，准备加上木条制成长方体灯罩。要做成这样一个灯罩，至少需要多少厘米长的木条？ 19．将下面长方体容器中的水全部倒入正方体容器中，正方体容器中的水面高多少厘米？ 20．一个长方体的高减少3厘米就可以变成一个正方体，它的表面积会减少108平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 21．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 22．一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 23．一个无盖的长方体玻璃水槽，设计图纸如下。 （1）制作这个水槽至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个水槽里倒入20升水，水会溢出来吗？为什么？ 24．钢城区为支持全民健身活动新建了一个游泳馆，馆中的长方体游泳池长50米，宽21米，深2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁距池口0.2米处用防水白漆画一周水位线，水位线全长多少米？ （3）如果每次放水都刚好与水位线相平，一次放水需多少立方米？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《寒假专题：长方体和正方体》参考答案 1． 320立方厘米 【分析】一个长方体的高增加3厘米，就变成一个正方体，那么原来长方体的上、下面是正方形即长方体的长和宽相同。高增加3厘米，增加的表面积是一个小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且增加的4个面每个面的面积相同。先用96除以4计算出增加的每一个面的面积；然后用每一个面的面积除以3就可以计算出原来长方体的长和宽（即后来正方体的棱长）；再用后来正方体棱长减去3即可计算原来长方体的高；最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【详解】96÷4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 8×8×（8－3） ＝8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：原来长方体的体积是320立方厘米。 【点睛】本题关键是确定增加的4个面的面积相同，据此求出后来正方体的棱长，然后通过棱长求原来长方体的高。 2． 148平方米 【分析】先计算教室顶面和四壁的面积，根据“无底长方体的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”代入数值计算；再减去门窗和黑板的面积即可。 【详解】8×6＋（8×4.5＋6×4.5）×2－26 ＝48＋（36＋27）×2－26 ＝48＋63×2－26 ＝48＋126－26 ＝174－26 ＝148（平方米） 答：粉刷的面积是148平方米。 3．10厘米 【分析】先根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，得到铁丝的总长度。这根铁丝的长度不变，正方体的棱长总和就是长方体的棱长总和，再根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝总长÷4，求出长、宽、高的和。最后用长、宽、高的和减去长和宽，得到高，注意单位的转化。据此解答。 【详解】6×12＝72（分米） 72÷4＝18（分米） 18－12－5＝1（分米） 1分米＝10厘米 答：这个长方体框架的高是10厘米。 4． 196立方厘米 【分析】当铁块取出后，水面下降厘米，下降部分的水的体积即为铁块的体积，即相当于求一个长、宽均为厘米、高为厘米的长方体的体积，将长、宽、高的值代入公式“长方体的体积长宽高”计算即可。据此解答。 【详解】 （立方厘米） 答：铁块的体积是立方厘米。 【点睛】在解决此类问题时，要排除无关信息的干扰，抓住“下降部分水的体积等于铁块的体积”这一核心思想，将复杂的实际问题简化为简单的长方体体积的计算问题。 5．1304.4元 【分析】粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，粉刷面积×每平方米需要的涂料费＝花费的总钱数，据此列式解答。 【详解】8×5＋8×3.2×2＋5×3.2×2－14.5 ＝40＋51.2＋32－14.5 ＝108.7（平方米） 108.7×12＝1304.4（元） 答：粉刷这个教室需要花费1304.4元。 6．1500立方厘米 【分析】根据长方体的体积公式：，用大长方体物体的体积减去空心部分的体积即可，据此解答。 【详解】    （立方厘米） 答：它的体积是1500立方厘米。 7．28平方厘米 【分析】根据长方体的体积÷前面的面积＝长方体的宽、长方体的体积÷右面的面积＝长方体的长，求出长方体的长和宽；再用长×宽，求出长方体的底面积，据此解答。 【详解】长方体的宽：（厘米）    长方体的长：（厘米） 长方体的底面积：（平方厘米） 答：长方体的底面积是28平方厘米。 8．25.6厘米 【分析】先用正方体的体积公式，求出正方体的体积；两个正方体彩泥合并成了一个长方体，故正方体的体积×2＝长方体的体积；已知长方体的横截面积，根据长方体的长＝长方体的体积÷长方体的横截面积，求出长方体的长，据此解答。 【详解】正方体的体积：（立方厘米） 长方体的体积：（立方厘米） 长方体的长：（厘米） 答：长方体的长是25.6厘米。 9．396立方厘米 【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【详解】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【点睛】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 10．377.3克；37.73克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出豆腐的体积，再乘以每立方厘米豆腐的质量，算出豆腐的总质量，最后用总质量除以100再乘10，即可算出这块豆腐可以为人体提供蛋白质的质量，据此解答。 【详解】（立方厘米） （克） （克） 答：这块豆腐的质量是377.3克，这块豆腐可以为人体提供37.73克蛋白质。 11．116cm 【分析】观察图形可知，丝带的长度由两部分组成：一部分是长方体不同的棱长的长度之和（包括两条长，两条宽和四条高 ），另一部分是打结处所用丝带的长度，把两部分加在一起即为这根丝带的长度；据此解答。 【详解】 （cm） 答：这根丝带的长度是116cm。 12． 30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 13．2160立方厘米 【分析】已知海海用橡皮泥捏成了一个长18cm、宽1dm、高12cm的长方体，先把1dm换算成㎝作单位，即，再根据长方体的体积＝长×宽×高，算出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个长方体的体积是2160立方厘米。 14．1840平方厘米 【分析】如图所示，已知长方体的长、宽、高，求制作纸袋需要多少硬纸板，即求这个无盖长方体的表面积，根据无盖长方体的表面积公式，据此解答。 【详解】（平方厘米） 答：至少需要1840平方厘米的硬纸板。 15．45平方分米 【分析】已知正方体的棱长，根据正方体的表面积公式，求出正方体的表面积；实际用料是表面积的1.2倍，再用表面积乘1.2，据此解答。 【详解】表面积：（平方分米） 木板：（平方分米） 答：做这个木箱至少要用45平方分米的木板。 16．20立方分米 【分析】石头的体积等于水面上升部分水的体积。根据1升＝1立方分米，得60升＝60立方分米。先根据长方体的高＝体积÷长÷宽，用60÷5÷4计算出未放入石头时水的高度，再用长方体玻璃水槽的总高度6分米减去放入石头后水面离槽口的2分米，得到放入石头后水面高度。再接着减去未放入石头前水面的高度，求出放入石头后水面上升的高度，最后用长方体的长乘宽乘水面上升的高度得到石头的体积。 【详解】60升＝60立方分米 60÷5÷4 ＝12÷4 ＝3（分米） 6－2－3 ＝4－3 ＝1（分米） 5×4×1 ＝20×1 ＝20（立方分米） 答：这块石头的体积是20立方分米。 17．5.4立方分米 【分析】铁块的体积就等于下降部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出铁块的体积是多少立方厘米，再根据1立方分米＝1000立方厘米，把立方厘米化为立方分米。 【详解】30×20×9 ＝600×9 ＝5400（立方厘米） 5400立方厘米＝5.4立方分米 答：铁块的体积是5.4立方分米。 18．312厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36cm、宽18cm、高24cm，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】（18＋36＋24）×4 ＝78×4 ＝312（cm） 答：至少需要312厘米的木条。 19．4.5厘米 【分析】长方体容器的底面是一个长为12厘米，宽为6厘米，水深4厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体容器中水的体积，正方体容器的底面是一个边长为8厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体容器底面积，再用水的体积除以底面积求出水的高度，据此解答即可。 【详解】12×6×4÷（8×8） ＝12×6×4÷64 ＝288÷64 ＝4.5（厘米） 答：正方体容器中的水面高4.5厘米。 20．972立方厘米 【分析】一个长方体的高减少3厘米就可以变成一个正方体，说明这个长方体上下两个面是正方形，减少的表面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝底面边长，即长方体的长和宽，底面边长＋减少的高＝原来的高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】108÷3＝36（厘米） 36÷4＝9（厘米） 9＋3＝12（厘米） 9×9×12＝972（立方厘米） 答：原来长方体的体积是972立方厘米。 21．（1）4.8平方米；（2）1.8立方米 【分析】（1）四周需要的木条面积是长方体四个侧面的总面积。由于底面是正方形，四个侧面为形状相同的长方形，每个侧面的面积为，总面积为。 （2）填泥土的体积等于长方体体积，计算公式为，底面积为，再乘高0.8。 【详解】（1） （平方米） 答：四周大约需要4.8平方米木条。 （2） （立方米） 答：大约需要1.8立方米泥土。 22．8分钟 【分析】要淹没小长方体铁块，需注入的水的体积＝（水池底面积－铁块底面积）×铁块的高度（即淹没所需的水深），再根据时间＝注水体积÷注水流量计算时间。 【详解】计算需注水的体积： （50×30－10×10）×24 ＝（1500－100）×24 ＝1400×24 ＝33600（立方厘米） 33600立方厘米＝33.6立方分米 计算注水时间： 33.6÷4.2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟能将小长方体淹没。 23．（1）40平方分米 （2）水不会溢出，因为长方体的体积大于20升水的体积。 【分析】（1）由图可得，长方体的两条高之和＋3分米＝7分米，所以用7－3的差÷2，即可求出长方体的高，再根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可解答； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据算出体积，和20升水比较大小，即可解答。 【详解】（1）（7－3）÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 4×3＋4×2×2＋3×2×2 ＝12＋8×2＋6×2 ＝12＋16＋12 ＝40（平方分米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃40平方分米。 （2）4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 24立方分米＝24升 20升＜24升，即20升＜24立方分米 答：水不会溢出，因为长方体的体积大于20升水的体积。 24．（1）1050平方米 （2）142米 （3）1890立方米 【分析】（1）占地面积是指长方体底面的面积，公式为“长×宽”。已知游泳池长50米，宽21米，因此占地面积为：50×21＝1050（平方米）。 （2）水位线画在“内壁距池口0.2米处”，其长度等同于游泳池上口的周长，即长方体底面的周长，公式为“2×（长＋宽）”，游泳池长50米，宽21米，所以水位线全长为：2×（50＋21）＝142（米）。 （3）因为水位线距池口0.2米，游泳池深2米，那么放水的高度为2－0.2＝1.8米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，因此放水体积为：50×21×1.8＝1890（立方米）。 【详解】（1）50×21＝1050（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1050平方米。 （2）2×（50＋21） ＝2×71 ＝142（米） 答：水位线全长142米。 （3）2－0.2＝1.8（米） 50×21×1.8＝1890（立方米） 答：一次放水需1890立方米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $