6 专题6 二次函数的综合-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖二次函数综合题核心考点，包括线段及最值、图形面积（铅垂法）、角度关系（特殊角、二倍角）、特殊三角形与四边形、全等相似及定值定点问题。对接中考说明分析近五年考点权重，如二次函数与几何综合占比30%，按“解题策略+中考真题+针对训练”归纳7大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”，精选2023-2025年泸州、遂宁等地中考真题，如2025遂宁题通过对称点转化求线段和最小值，示范“数学思维”中的推理能力，铅垂法面积计算培养“几何直观”。提供“题型分类+易错点分析”，如特殊三角形分类讨论步骤，帮助学生掌握答题技巧，教师可直接用于专题复习，提升冲刺阶段效率。

专题6　二次函数的综合 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 类型一 二次函数与线段及最值问题 此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关点的横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间，线段最短”解决，有时还会用到“垂线段最短”. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 2 例1 (2025·遂宁节选)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1，连接AC，BC. (1)求二次函数的表达式； 解：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且与x轴交于A(－1，0)，B两点，∴B(3，0). ∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)在x轴上方的二次函数图象上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BM，求BM＋MN的最小值. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：如图，在OC上取点D，使AD＝CD，则∠ADO＝2∠ACO. ∵∠BAQ＝2∠ACO，∴∠BAQ＝∠ADO. 易得C(0，－3)，∴OC＝3. 设OD＝m， 则CD＝AD＝3－m. 在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2， ∴1＋m2＝(3－m)2. 解得m＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴OD＝，AD＝. 作点B关于直线AQ的对称点E，连接BE交AQ于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，则BM＝EM，BF＝EF.∴BM＋MN＝EM＋MN≥EG.当E，M，N三点共线时，BM＋MN的最小值为EG的长. ∵∠BAQ＝∠ADO， ∴sin∠BAQ＝sin∠ADO，即. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴BF＝AB＝.∴BE＝2BF＝. ∵∠AGE＝∠AFE＝90°， ∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO.∴cos∠BEG＝cos∠ADO， 即.∴EG＝BE＝. ∴BM＋MN的最小值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 1.(2024·纳溪区适应) 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点P是抛物线上的一个动点. 针对训练 (1)求抛物线的解析式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D.如图，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值. 解：过点P作PQ∥x轴，交AC于点Q. 设直线AC的解析式为y＝mx＋n. 将A(－3，0)，C(0，3)代入y＝mx＋n，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设P(t，－t2－2t＋3)， 则Q(－t2－2t，－t2－2t＋3)，－3＜t＜0. ∵点P在直线AC上方的抛物线上， ∴PQ＝－t2－2t－t＝－t2－3t. ∵PQ∥x轴，∴△PQD∽△BAD. ∴，即＝－(t2＋3t)＝－. ∴当t＝－时，有最大值， 此时点P的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B，与y轴交于点C(0，－3)，且OB＝OC. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵OB＝OC，C(0，－3)，∴B(3，0). 设该抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)， 将C(0，－3)代入解析式，得 －3a＝－3.∴a＝1. ∴该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图2，若点D，E是该抛物线对称轴上的两个动点，点D在点E的上方，且DE＝2，求AD＋CE的最小值； 解：y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1. 图2中，取点C关于直线x＝1的对称点C1(2，－3)，把点A向下平移2个单位长度至点A1(－1，－2)，连接A1C1交直线x＝1于点E，点D在点E的正上方，且DE＝2，则AD＋CE＝A1E＋C1E＝A1C1，此时AD＋CE最小，最小值为A1C1＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图3，点P为该抛物线上一点，若S△PBC＝S四边形ACBP，求点P的坐标. 解：图3中，设直线CP交x轴于点M. ∵S△PBC＝S四边形ACBP，∴S△PBC∶S△PAC＝3∶5， 则MB(yP－yC)∶AM(yP－yC)＝3∶5.∴MB∶AM＝3∶5. 又AB＝4，∴MB＝.∴M. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设直线CP的解析式为y＝kx－3(k≠0)，将M代入解析式，解得k＝2. 故直线CP的解析式为y＝2x－3. 令2x－3＝x2－2x－3， 解得x＝4或x＝0(舍去). 故点P的坐标为(4，5). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 3.(2024·江阳区适应) 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C(0，－4). (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，－4)， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x－4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，点D是线段OC上的动点，连接AD，BD，若点A关于BD的对称点恰好在该抛物线的对称轴上，求点D的坐标； 解：∵抛物线y＝x2－3x－4的对称轴为直线x＝，令y＝0，则x2－3x－4＝0. 解得x1＝－1，x2＝4.∴B(4，0). 图1中，设对称轴与x轴交于点M，点A关于BD的对称点为A'.由轴对称的性质可得BD垂直平分线段AA'.∴BA'＝AB＝2BM，DA＝DA'. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 又∵DB＝DB，∴△ABD≌△A'BD(SSS). ∴∠ABD＝∠A'BD. 在Rt△BA'M中，sin∠MA'B＝， ∴∠MA'B＝30°. ∴∠ABD＝∠ABA'＝(90°－∠MA'B)＝30°. 在Rt△BDO中， OD＝OB·tan 30°＝4×. ∴点D的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，动点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PE⊥BC于点E，交线段AC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，求FG＋FP的最大值. 解：设直线AC的解析式为y1＝k1x＋b1(k1≠0)， 则解得 ∴直线AC的解析式为y1＝－4x－4. 设直线PE交x轴于点H. ∵B(4，0)，C(0，－4)，∴OB＝OC. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴∠BCO＝45°，即直线PE与x的夹角为45°. ∵直线PE经过二、三、四象限， ∴设PE的解析式为y2＝－x＋b2， 设P(m，m2－3m－4). ∴－m＋b2＝m2－3m－4.∴b2＝m2－2m－4. ∴PE的解析式为y2＝－x＋m2－2m－4. 令y1＝y2，则－4x－4＝－x＋m2－2m－4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解得x＝. ∴yF＝－4. ∴FG＝＋4. 图2中，分别过点F，P作x轴、y轴的平行线， 交于点N， 则在Rt△PFN中，∠PFN＝∠PHB＝45°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴FP＝×FN＝2(xP－xF)＝2(m2＋m). ∴FG＋FP＝＋4＋(m2＋m) ＝－. ∵动点P在直线BC下方的抛物线上， ∴0＜m＜4. 又∵当直线PE过点A时，1＋m2－2m－4＝0. 解得m1＝3，m2＝－1 (不合题意，舍去)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 当直线PE过点C时，m2－2m－4＝－4. 解得m1＝2，m2＝0 (不合题意，舍去). ∴2≤m≤3. ∴当m＝时，FG＋FP的最大值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型二 二次函数与图形面积问题 铅垂法：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂 直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水 平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫 △ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即S△＝×水平宽×铅垂高，也就是三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.在平面直角坐标系中，水平宽为B，C两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为A，D两点纵坐标之差的绝对值.有时还可通过等底(同底)等高(同高)等方法进行转化. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 24 例2 (2025·广元) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－4(a＞0)与x轴交于点A和点B(－4，0)，与y轴交于点C. (1)求b与a的关系； 解：将B(－4，0)代入y＝ax2＋bx－4，得 16a－4b－4＝0.∴b＝4a－1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，当a＝时，点P在抛物线上，＝4，求点P的坐标； 解：∵a＝，∴y＝x2＋x－4.∴C(0，－4). 设直线BC的函数表达式为y＝kx－4， ∴－4k－4＝0.解得k＝－1. ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 如答图1，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G. 设P，则G(t，－t－4). ∴S△PBC＝×4×＝4. 解得t＝－2或t＝2－2或t＝－2－2. ∴点P的坐标为(－2，－4)或(2－2，－2) 或(－2－2，2). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值. 解：∵b＝4a－1，∴y＝ax2＋(4a－1)x－4. 当y＝0时，ax2＋(4a－1)x－4＝0. 解得x＝－4或x＝.∴A. ∵△OAC是直角三角形， ∴△AOC的外心M为AC的中点. ∴M. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 如答图2，过点M作MN∥x轴交直线BC于点N，过点N作NQ⊥MN，且NQ＝MN，连接QM.∴△MNQ是等腰直角三角形. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°.∴∠MNC＝45°. ∵点M与点Q关于直线BC对称， ∴N(－2，－2).∴Q. ∵点Q在抛物线上， ∴－4－＝4a－2(4a－1)－4. ∴a＝或a＝(舍去). ∴a的值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 4.(2023·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与坐标轴分别相交于A，B，C(0，6)三点，其对称轴为直线x＝2. (1)求该抛物线的解析式； 针对训练 解：由题意，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E. ①当CD＝CE时，求CD的长； ②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＋S3＝2S2，求点F的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：令y＝－x2＋2x＋6＝0， 则x＝6或－2.∴A(－2，0)，B(6，0). ①设F，0＜m＜6. 由点A，F的坐标，得 直线AF的解析式为y＝－(m－6)(x＋2). 当x＝0时，y＝－(m－6)(x＋2)＝6－m， 即D(0，6－m).则CD＝6－6＋m＝m. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 由点B，C的坐标，得 直线BC的解析式为y＝－x＋6. 令－(m－6)(x＋2)＝－x＋6， 解得x＝.则E. 由点C，E的坐标，得CE＝. ∵CD＝CE，∴m＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解得m＝0(舍去)或m＝8－2. ∴CD＝m＝8－2. ②分别过点E，F作x轴的垂线，垂足分别为M，N. ∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积之比为AD∶DE∶EF， ∴＝2. ∵OD∥EM∥FN， ∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴＝2， 即＝2. 整理，得3xE－xF＝2. 由①知，xE＝，xF＝m. ∴3×－m＝2. 解得m＝4(负值已舍去). 经检验，m＝4是上述方程的根. ∴点F的坐标为(4，6). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 5.(2018·泸州) 如图，已知二次函数y＝ax2－x＋3的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m，0)(0＜m＜4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D. (1)求a的值和直线AB的解析式； 解：把点A(4，0)代入二次函数解析式，得 0＝a×42－×4＋3.解得a＝－. ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴B(0，3). 设直线AB解析式为y＝kx＋b. 把A(4，0)，B(0，3)代入上式，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值； 解：由已知，得D，B(0，3)，E，AC＝4－m. ∴DE＝＝－m2＋3m . ∵EC∥y轴，∴△AEC∽△ABO. ∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴EC＝(4－m).∴AE＝(4－m). ∵∠DFE＝∠ACE＝90°，∠DEF＝∠AEC， ∴△DEF∽△AEC. ∵S1＝4S2，∴AE＝2DE. ∴(4－m)＝2. 解得m1＝，m2＝4(舍去).故m的值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH的周长取最大值时，求点G的坐标. 解：过点G作GM⊥DC于点M，设xG＝n. 由(2)知，DE＝－m2＋3m. 同理可得HG＝－n2＋3n. 当四边形DEGH是平行四边形时， －m2＋3m＝－n2＋3n. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 整理，得(n－m)＝0. ∵m≠n，∴m＋n＝4，即n＝4－m. ∴MG＝n－m＝4－2m. 易得△EMG∽△BOA.∴. ∴EM＝(4－2m).∴EG＝(4－2m). ∴▱DEGH周长为2＝－m2＋m＋10＝ －. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵－＜0，∴当m＝时，▱DEGH的周长取最大值，此时n＝4－. ∴G，E. 当点G，E位置对调时，依然满足条件. 故点G的坐标为或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型三 二次函数与角度问题 (1)特殊角问题：①利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；②遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°角构造等腰直角三角形，遇到30°，60°角构造等边三角形，遇到90°角构造直角三角形等. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 43 (2)角的数量关系问题：①等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决；②二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解决；③角的和差问题：要善于转化. (3)角的最值问题：利用辅助圆等知识来解决. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 例3 (2017·泸州) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过 A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点. (1)求该二次函数的解析式； 解：由题意可设二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)(x－4). ∵二次函数图象过点C(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝－. ∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)，即y＝－x2＋x＋2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标； 解：设直线BD与y轴的交点为M(0，t). ∵∠DBA＝∠CAO，∴∠MBA＝∠CAO. ∴tan∠MBA＝tan∠CAO＝2. ∴＝2，即t＝±8. 当t＝8时，直线BD的解析式为y＝－2x＋8. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 联立解得 ∴D(3，2)； 当t＝－8时，直线BD的解析式为y＝2x－8. 联立 解得∴D(－5，－18). 综上所述，点D的坐标为(3，2)或(－5，－18). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值. 解：设P. ∵AB＝5，OC＝2，∴S△PAB＝×5＝－t2＋t＋5. ∵，∴OF＝－(t－4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴S△AFO＝×1×＝－(t－4). ∵S△BOC＝×2×4＝4， ∴S1－S2＝S△PAB－S△BOC－S△AFO ＝－t2＋t＋5－4＋(t－4)＝－. ∴当t＝时，S1－S2有最大值，最大值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 6.(2025·龙马潭区二模) 如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2＋bx＋c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4. (1)求抛物线的解析式； 针对训练 备用图1　 备用图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：令y＝0，得x＋1＝0，解得x＝－2. ∴A(－2，0). 当x＝4时，y＝x＋1＝×4＋1＝3.∴B(4，3). 将点A和点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围； 备用图1　 备用图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：图1中，令y＝0，得0＝x2－x－3， 解得x1＝－2，x2＝3.∴C(3，0). 设P.∵EC⊥AB， ∴设直线EP的解析式为y＝－2x＋b. 将点P的坐标代入y＝－2x＋b，得 －2t＋b＝t2－t－3.∴b＝t2＋t－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴直线EP的解析式为y＝－2x＋t2＋t－3. 令y＝0，得－2x＋t2＋t－3＝0， 解得x＝t2＋t－.∴E. ∴EC＝3－＝－t2－t＋. ∴d＝－t2－t＋. ∵点P在第四象限，∴0＜t＜3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)在(2)的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ.当∠AQD＝3∠PQD时，求点P的坐标. 备用图1　 备用图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：图2中，过点D作DF⊥AB于点F. ∵∠AQD＝3∠PQD，∠AQP＝90°， ∴∠PQD＝∠AQP＝45°. ∴∠DQF＝45°.∴QF＝DF. ∵B(4，3)，C(3，0)，A(－2，0)，∴AD＝6，BD＝3. ∴tan∠BAD＝，即DF＝AF.∴Q为AF的中点. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵QP∥DF，∴E为AD的中点.∴E(1，0). ∴EC＝2，即2＝－t2－t＋， 解得t＝2或t＝－5. ∵点P在第四象限，∴t＝2. 当x＝2时，y＝－2.∴点P的坐标为(2，－2). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，求点Q的坐标. 解：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1. 如图，作△AOQ的外接圆H， 作HG⊥x轴，连接AH，OH，HQ. ∴AG＝GO＝，∠AQO＝∠AHO. ∴当∠OQA最大时，∠AHG最大. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵AH＝HO＝HQ，∴当AH最小时，HQ最小，此时∠OQA最大，此时HQ垂直于对称轴，HQ＝1＋.∴AH＝.在Rt△AHG中，HG＝. ∴Q； 根据对称性，则存在另一点Q. 综上所述，点Q的坐标为或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型四 二次函数与特殊三角形问题 与特殊三角形问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类.若判断等腰三角形，可以对腰或底边进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.也会出现等边三角形、等腰直角三角形类问题，则综合以上方法，并结合其特殊性质进行探究.常借助勾股定理、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数等求点的坐标. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 61 例4 (2016·泸州) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2＋nx相交于A(1，3)，B(4，0)两点. (1)求抛物线的解析式； 解：∵A(1，3)，B(4，0)在抛物线y＝mx2＋nx的图象上，∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； 解：存在. ①当点D在x轴上时，如图，过点A作AD⊥x轴于点D. ∵A(1，3)，∴D(1，0)； ②当点D在y轴上时，设D(0，d)， 则AD2＝1＋(3－d)2，BD2＝42＋d2，且AB2＝(4－1)2＋(3)2＝36. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2＋BD2＝AB2，即1＋(3－d)2＋42＋d2＝36. 解得d＝. ∴D或D. 综上所述，点D的坐标为(1，0)或或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)点P是线段AB上一动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN，△PMN的面积S△BCN，S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求的值，并求出此时点M的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：过P作PF⊥CM于点F. ∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP. ∴＝3.∴MF＝3PF. 在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3， ∴tan∠ABD＝.∴∠ABD＝60°. 设BC＝a，则NC＝a. 在Rt△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝30°， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴tan∠PNF＝.∴FN＝PF. ∴MN＝MF＋FN＝4PF. ∵S△BCN＝2S△PMN， ∴a2＝2××4PF2. ∴a＝2PF.∴NC＝a＝2PF. ∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴MN＝NC＝×a＝a. ∴MC＝MN＋NC＝()a. ∴M(4－a，()a). 又点M在抛物线上， ∴－(4－a)2＋4(4－a)＝()a. 解得a＝3－或a＝0(舍去). ∴OC＝4－a＝＋1，MC＝2. ∴点M的坐标为(＋1，2). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 8.(2025·无锡)已知二次函数y＝－x2＋mx＋m(m≠0)图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C. (1)若该函数的图象经过点(0，)，求点A的横坐标； 针对训练 解：∵二次函数y＝－x2＋mx＋m的图象经过点(0，)，∴m＝.解得m＝3.∴y＝－x2＋3x＋＝－(x－3)2＋. ∴点A的横坐标为3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)若m＜3，点P(2，y1)，Q(4，y2)在该函数图象上，求证：y1＞y2； 证明：∵点P(2，y1)，Q(4，y2)在该函数图象上， ∴y1＝－2＋2m＋m，y2＝－8＋4m＋m. ∵m＜3，∴y1－y2＝－2＋2m＋m－＝－2(m－3)＞0.∴y1＞y2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)若△ABC是等腰三角形，求m的值. 解：在y＝－x2＋mx＋m中， 令x＝0，得y＝m，∴B. ∵y＝－x2＋mx＋m＝－(x－m)2＋m，∴A，C(m，0). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 当AB＝AC时，m2＋.解得m＝0(舍去)或m＝； 当AB＝BC时，m2＋＝m2＋.解得m＝0(舍去)或m＝或m＝－(此时点A，C重合，舍去)； 当AC＝BC时，＝m2＋. 解得m＝0(舍去)或m＝－2或m＝.综上所述，m的值为或－2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 9.(2020·泸州) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经 过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)三点. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4). 将C(0，4)代入y＝a(x＋2)(x－4)，得－8a＝4，即a＝－. ∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x2＋x＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE. ①求直线BD的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧.点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：①设直线AC的解析式为y＝kx＋b'. 将A(－2，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b'，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝2x＋4. 如图1，过点E作EF⊥x轴于F，则OD∥EF. ∴△BOD∽△BFE.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵B(4，0)，∴OB＝4. ∵BD＝5DE，∴. ∴BF＝·OB＝×4＝. ∴OF＝BF－OB＝－4＝. 当x＝－时，y＝2×＋4＝. ∴E. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设直线BD的解析式为y＝mx＋n. ∴解得 ∴直线BD的解析式为y＝－x＋2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②∵抛物线与x轴的交点坐标为A(－2，0)和B(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∴Q(1，1). 设P，1＜t＜4. a.当点R在直线l右侧时，如图2， 过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H， 则PG＝t－1，GQ＝－t2＋t＋4－1＝－t2＋t＋3. ∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴∠GPQ＋∠PQG＝90°. ∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°. ∴∠PQG＋∠HQR＝90°.∴∠GPQ＝∠HQR. ∴△PQG≌△QRH(AAS). ∴RH＝GQ＝－t2＋t＋3，QH＝PG＝t－1. ∴R. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 由①知，直线BD的解析式为y＝－x＋2. ∴－＋2＝2－t. 解得t＝2或t＝－4(舍去). 当t＝2时，－t2＋t＋4＝－×4＋2＋4＝4. ∴P(2，4)； b.当点R在直线l左侧时，记作R'，如图2， 则P'，1＜t＜4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 过点P'作P'G'⊥l于点G'，过点R'作R'H'⊥l于点H，则P'G'＝t－1，G'Q＝－t2＋t＋4－1＝－t2＋t＋3. 同a可证得△P'QG'≌△QR'H'(AAS). ∴R'H'＝G'Q＝－t2＋t＋3， QH'＝P'G'＝t－1.∴R'. 由①知，直线BD的解析式为y＝－x＋2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴－＋2＝t. 解得t＝－1＋或t＝－1－(舍去). 当t＝－1＋时，－t2＋t＋4＝2－4. ∴P'(－1＋，2－4). 故满足条件的点P的坐标为(2，4)或(－1＋，2－4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型五 二次函数与特殊四边形问题 此类题型结合特殊四边形的判定和性质，对对应边进行 分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存在类 问题用平移法求坐标较简便.如图，点A到点B的平移方 式与点D到点C的平移方式相同.若A(1，2)，B(0，0)，D(x，y)，则可设C(x－1，y－2).也可根据“平行四边形的对角线互相平分”来利用对角线的中点坐标求解，如在▱ABCD中，xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.其他特殊的平行四边形结合其判定和性质还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 83 例5 (2024·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，且关于直线x＝1对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为(－1，0). ∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3. 解得a＝－1. ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：当－1≤x≤t时，在x＝－1处，y＝－x2＋2x＋3＝0，y取得最小值. ∵当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤t， ∴≤t≤3. 当≤t＜1时，在x＝t处，y取得最大值， 则－t2＋2t＋3＝2t－1.解得t＝±2，均舍去； 当1≤t≤3时，∵在抛物线的顶点处y取得最大值，y＝－x2＋2x＋3＝ －(x－1)2＋4，顶点坐标为(1，4)，∴2t－1＝4.解得t＝2.5. 综上所述，t的值为2.5. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.由抛物线的解析式知，B(0，3). 由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设C(m，－m2＋2m＋3)，则D(m，－m＋3). ∴CD＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，BD＝m. 当BC是菱形的对角线时，对应为菱形BDCE'，则CD＝BD，即－m2＋3m＝m.解得m＝3－或m＝0(舍去).∴BD＝m＝3－2，即该菱形的边长为3－2； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 当BC是菱形的边时，BC＝CD，则BC2＝CD2，即m2＋(－m2＋2m)2＝(－m2＋3m)2. 解得m＝2或m＝0(舍去). ∴CD＝－22＋6＝2，即该菱形的边长为2. 综上所述，该菱形的边长为3－2或2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 10.(2025·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，与x轴交于点 A(－1，0)和点B. (1)求该抛物线的解析式； 针对训练 解：把(2，3)，A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点C，D在直线y＝x＋上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点.若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； 解：过点F作FH⊥x轴于点H，设直线CD交y轴于点K.在y＝x＋中，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1.∴K， 直线y＝x＋与x轴交于点A(－1，0). ∴tan∠KAO＝. ∵四边形CDEF是正方形， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴EF∥CD，DE＝EF. ∴∠FEH＝∠KAO.∴tan∠FEH＝. 设FH＝t，则EH＝2t. ∴EF＝t.∴DE＝EF＝t. ∵∠ADE＝90°，∴tan∠KAO＝. ∴AD＝2DE＝2t. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴AE＝＝5t. ∴AH＝AE＋EH＝5t＋2t＝7t. ∴OH＝AH－OA＝7t－1.∴F(7t－1，t). 把F(7t－1，t)代入y＝－x2＋2x＋3，得 t＝－(7t－1)2＋2(7t－1)＋3. 解得t＝0(舍去)或t＝. ∴点F的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)设点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上，当1≤x1≤2时，y2－y1的最小值为3，求m的值. 解：∵点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上，∴y1＝－＋2x1＋3，y2＝－(4m－2)x1＋4m2＋2.∴y2－y1＝－(4m－2)x1＋4m2＋2－(－＋2x1＋3)＝2－4mx1＋4m2－1＝2(x1－m)2＋2m2－1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ①当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2－y1的 值为3，即2(1－m)2＋2m2－1＝3. 解得m＝(大于1，舍去)或m＝； ②当1＜m＜2时，若1≤x1≤2， 则x1＝m时，y2－y1的值为3，即2m2－1＝3.解得m＝或m＝－(舍去)； ③当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2－y1的值为3，即2(2－m)2＋2m2－1＝3.解得m1＝m2＝1(舍去). 综上所述，m的值为或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 11.(2025·泸县二模) 在二次函数y＝x2－2tx－3(t＞0)中， (1)如图，当t＝1时，若二次函数与x轴的交点为A， B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. ①求点A，B的坐标； ②在坐标平面内是否存在点E，使以点A，B，C，E为 顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：①当t＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.令y＝0，则x＝－1或x＝3，即点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0). ②存在.由抛物线y＝x2－2x－3，知C(0，－3). 设E(s，t). 当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形两条 对角线的中点坐标相同，得 则∴E(2，3)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 当AC或BC为平行四边形的对角线时，同理可得或 解得或 ∴E(－4，－3)或E(4，－3). 综上所述，点E的坐标为(2，3)或(－4，－3)或(4，－3). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如果点A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜－3，求m的取值范围. 解：∵点A(m－2，a)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且二次函数y＝x2－2tx－3图象的对称轴为直线x＝t，∴x＝＝m－1＝t.∵t＞0，∴m－1＞0.解得m＞1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 又∵m－2＜m－1＜m，∴点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧.在y＝x2－2tx－3中，令x＝0，得y＝－3，∴抛物线y＝x2－2tx－3与y轴交点为(0，－3).∴点(0，－3)关于对称轴直线x＝m－1的对称点为(2m－2，－3). ∵b＜－3，∴4＜2m－2.解得m＞3. ①当点A(m－2，a)，B(4，b)都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m－2.解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②当点A(m－2，a)在对称轴左侧，点B(4，b)在对称轴右侧时，∵a＜b，∴点B(4，b)到对称轴直线x＝m－1的距离大于点A(m－2，a)到对称轴直线x＝m－1的距离.∴4－(m－1)＞m－1－(m－2).解得m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4. 综上所述，m的取值范围为3＜m＜4或m＞6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 12.(2022·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C. (1)求a，c的值； 解：把A(－2，0)，B(0，4)代入抛物线y＝ax2＋x＋c，得 解得 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； 解：由(1)知，抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 设直线DE的解析式为y＝mx， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴2x＋4＝mx.∴x＝. 当x＝3时，y＝3m，∴E(3，3m). ∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴·3·(－3m)＝·4·. ∴9m2－18m－16＝0. ∴(3m＋2)(3m－8)＝0. ∴m1＝－，m2＝(舍去). ∴直线DE的解析式为y＝－x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.设P，以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： ①如图1，过点P作PH⊥y轴于点H. ∵四边形BPGF是矩形， ∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°. ∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝ ∠CFG＋∠CGF＝∠OBF＋∠PBH＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF. 又∵∠PHB＝∠FCG＝90°， ∴△PHB≌△FCG(AAS). ∴PH＝CF.∴CF＝PH＝t，OF＝3－t. ∵∠PBH＝∠OFB，∴tan∠PBH＝tan∠OFB. ∴，即. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1.∴F(2，0)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②如图2，过点G作GN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥x轴于点M， 同①可得NG＝FM＝3，OF＝t－3. ∵∠OFB＝∠FPM， ∴tan∠OFB＝tan∠FPM. ∴，即. 解得t1＝，t2＝(舍去). ∴F. 综上所述，点F的坐标为(2，0)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型六 二次函数与三角形全等、相似问题 (1)抓住全等、相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等)；(2)找现成的等量关系，例如从相等的角度确定对应关系；(3)运用分类讨论的思想，几种不同的全等、相似情况逐一讨论；(4)充分运用全等、相似的性质，相似中利用相似比或者面积比等进行列式计算；(5)大胆设点的坐标，充分利用点在函数图象上从而代入函数表达式. 方法解读 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 108 例6 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D(4，m)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式及m的值； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点A(1，0)，B(5，0)，∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5. ∵点D(4，m)在抛物线上， ∴m＝42－6×4＋5＝－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图2，连接AD，BD，CB，在线段CB上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形与△ABD相似(包括全等)，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点Q的坐标为(2，3)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 13.(2021·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋x＋4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点. (1)求证：∠ACB＝90°； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 证明：在y＝－x2＋x＋4中， 令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x1＝－2，x2＝8. ∴A(－2，0)，B(8，0)，C(0，4). ∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10. ∴AC2＝OA2＋OC2＝20，BC2＝OB2＋OC2＝80. ∴AC2＋BC2＝100＝AB2. ∴∠ACB＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D作x轴的垂线交直线BC于点E，交x轴于点F. ①求DE＋BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的 三角形与△AOG相似，求点D的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：①设直线BC的解析式为y＝kx＋b. 将B(8，0)，C(0，4)代入上式，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 设D，则E. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵点D在第一象限内，∴0＜m＜8. ∴DE＝＝－m2＋2m，BF＝8－m. ∴DE＋BF＝＋(8－m)＝－m2＋m＋8＝－(m－2)2＋9. ∴当m＝2时，DE＋BF取得最大值，最大值是9. ②由(1)知，∠ACB＝90°.∴∠CAB＋∠CBA＝90°. ∵DF⊥x轴，∴∠FEB＋∠CBA＝90°. ∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，∴或. ∵G是AC的中点，A(－2，0)，C(0，4)， ∴G(－1，2)，OA＝2.∴AG＝. 由①知，DE＝－m2＋2m，E. ∴CE＝m. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 当时，. ∴m＝4或m＝0(此时点D与点C重合，舍去). ∴D(4，6)； 当时，. ∴m＝3或m＝0(舍去).∴D. 综上所述，点D的坐标为(4，6)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 14.(2019·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，C(0，－6)，其对称轴为直线x＝2. (1)求该二次函数的解析式； 解：由已知，得解得 ∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)若直线y＝－x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值； 解：由(1)得直线AC的解析式为y＝－3x－6. 联立可得x＝－(m＋6). 直线y＝－x＋m与y轴的交点为(0，m)， S△AOC＝×2×6＝6. 由题意，得×(m＋6)(m＋6)＝3. 解得m＝－2或m＝－10(舍去).∴m＝－2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧.若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵OA＝2，OC＝6，∴＝3. ①当△DEB∽△AOC时，＝3. 如图1，过点E作EF垂直于直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G， 则Rt△BEG∽Rt△EDF.∴＝3， 即BG＝3EF. 设E(h，k)，则BG＝－k，EF＝h－2. ∴－k＝3(h－2)，即－＝3h－6. 解得h＝4或h＝－6(舍去).∴E(4，－6)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②当△BED∽△AOC时，. 如图2，过点E作ME垂直于直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N， 则Rt△BEN∽Rt△EDM. ∴，即BN＝EM. 设E(p，q)，则BN＝－q，EM＝p－2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴－q＝(p－2)， 即－p－. 解得p＝或p＝(舍去). 故E点坐标为(4，－6)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型七 二次函数中的定值、定点问题 (1)定值问题：此类问题涵盖类型较多，面积(面积比)定值、线段(线段比)定值、线段和差倍分(定值)、线段乘积定值、横(纵)坐标定值等，常见做法是用代数式表示对应的线段、周长、面积的值后，通过代数运算，确定取值与参数无关. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 124 (2)图象过定点问题：常用方法为分离参数法，即先整理原函数表达式，对含有参数的项全部集中并把此参数用提公因式法提出来(即分离参数法).因为求出的顶点不受参数影响，所以只能令提出公因式后剩下的因式等于0，得到一个关于自变量的方程，方程的解就是定点的横坐标，将其解代入表达式得到的函数值就是定点的纵坐标，从而确定定点坐标.另外，方程的解有几个，定点就有几个. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 125 例7 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； 解：将点A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ON是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：在点P运动过程中，OM＋ON为定值.设P(s，t)， 直线AP的表达式为y＝dx＋f，BP的表达式为y＝gx＋h. ∵A(－2，0)，B(4，0)，P(s，t)， ∴ 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解得 ∴直线AP的表达式为y＝x＋， BP的表达式为y＝x＋. 对于y＝x＋， 当x＝0时，y＝，即M. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝， 即N. ∵P(s，t)在抛物线上， 则t＝－s2＋s＋4＝－(s－4)(s＋2)， ∴OM＋ON＝×＝6. ∴OM＋ON为定值6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 15.(2024·梓橦路学校模拟) 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1.点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； 针对训练 解：∵AB＝4，对称轴是直线x＝1， ∴A(－1，0)，B(3，0). ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)连接BC，P是第一象限抛物线上的点，若∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标； 解：由y＝－x2＋2x＋3知，C(0，3). 由点A(－1，0)，C(0，3)，得 tan∠ACO＝＝tan∠PCB. 延长CP交x轴于点H，过点H作HN⊥CB交CB的延长线于点N. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠NBH＝45°， BC＝＝3. 设BN＝HN＝x，则HB＝x. ∴tan∠PCB＝， 则x＝. ∴BH＝x＝3，则H(6，0). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 由点C，H的坐标，得直线CH的解析式为y＝－x＋3. 令－x＋3＝－x2＋2x＋3， 解得x＝0(舍去)或x＝. ∴点P的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，点K(1，2)在对称轴上，过点K的直线(直线KD除外)与抛物线分别交于点G，H，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM·EN的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 解：是定值. 由(1)知，D(1，4). 由直线GH过点K(1，2)， 设直线GH的解析式为y＝k(x－1)＋2. 设G(m，－m2＋2m＋3)，H(n，－n2＋2n＋3). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 令k(x－1)＋2＝－x2＋2x＋3， 整理，得x2＋(k－2)x－k－1＝0. 则m＋n＝2－k，mn＝－k－1. 由点G，D的坐标，得直线GD的解析式为y＝－(m－1)(x－1)＋4. 令y＝0，则x＝1＋，即M. ∴EM＝1－1－＝－. 同理可得EN＝. ∴EM·EN＝－·＝8. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 16.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C. (1)求抛物线的函数表达式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴为直线x＝1， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：当k＝1时，y＝x－1.∴当x＝0时，y＝－1； 当x＝2时，y＝1.∴D(0，－1)，E(2，1). ∵y＝(x－h)2－1， ∴顶点在直线y＝－1上移动. ∵抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点， ∴令(x－h)2－1＝x－1，整理， 得x2－(2h＋1)x＋h2＝0.∴当Δ＝(2h＋1)2－4h2＝0，即h＝－时，如图1，满足题意. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 将抛物线y＝(x－h)2－1从h＝－开始向右平移，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2，1)时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE均有公共点，∴当抛物线y＝(x－h)2－1过点E(2，1)时，如图2，(2－h)2－1＝1.解得h＝2－或h＝2＋. ∴h的取值范围为－≤h≤2＋. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1.∴C(1，0).又∵抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴点C在抛物线的对称轴上. ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的函数表达式为y＝－(x－1)， 即y＝－x＋.记A(xA，yA)，B(xB，yB). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 令x2－2x＝kx－k，整理，得x2－(k＋2)x＋k＝0.∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k(xA＋xB)－2k＝k2. ∵M为AB的中点，∴M. 令x2－2x＝－x＋， 同理可得N. 如图3，过点M作MH⊥CT于点H， 过点N作NF⊥CT于点F. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵TC 平分∠MTN，∴∠MTH＝∠NTF. ∴tan∠MTH＝tan∠NTF.∴. 设T(1，t)，则. ∴t＝－.∴点T的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 本讲内容结束 $