39 第六单元 小专题12 辅助圆及有关最值问题-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“辅助圆及有关最值问题”核心考点，严格对接中考说明，分析圆的构造、动点轨迹、最值计算等考点权重，归纳定点定长作圆、定弦对定角等六类常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于融合中考真题训练与应试技巧指导，如通过2022泸州真题示范“线圆最值”中“圆心到直线距离加减半径”方法，培养学生几何直观与推理能力，助力掌握解题技巧提高得分率，为教师中考冲刺复习提供系统教学指导。

小专题12　 辅助圆及有关最值问题 第六单元　圆 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 类型一 定点定长作圆 1.若有共端点的三条等线段(如图1，OA＝OB＝OC)，可考虑构造辅助圆(☉O). 类型解读 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 2 2.如图2，E为定点，F为线段BD上的动点(不含 点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF，得到定 点E和定长B'E＝BE，可构造辅助圆(隐形圆)， 则点B'的运动轨迹为以点E为圆心，线段BE为半 径的一段圆弧. 若遇到求最值问题，可利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”解决. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 例1 (2025·资阳) 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF(如图的所有点在同一平面 内)，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为(　　) A.2－ B.3－ C. D.4－ B 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，则∠BDC＝__________°.  针对训练 25 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 2.如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是__________.  5－5 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型二 定弦对定角 固定的线段只要对应固定的角度(非90°)也称为定弦对定角，那么这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧. 如图1，在☉O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对 的圆周角都相等；(注意：弦AB的劣弧和优弧 所对的圆周角不一样，需要根据题目灵活运用) 类型解读 图1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 7 如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小 固定，根据圆的知识可知点C不唯一.当∠C＜90°时， 点C在优弧上运动；当∠C＝90°时，点C在半圆上运 动，且线段AB为☉O的直径；当∠C＞90°时，点C在 劣弧上运动. 　　解题技巧：①先确定好定弦、定角度数；②根据定角的特殊度数找到圆心；③画出辅助圆(隐形圆)，根据题目条件解决所求问题. 图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 例2 (2025·宿迁) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为E，则的最小值是__________.  1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 3.在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(0，－5).若在x轴正半轴上 有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是(　　) A.3＋4 B.12 C.6＋3 D.6 针对训练 A 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 4.如图，已知等边△ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P，当点E从点A运动到点C时，点 P经过的路径长为 .  首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型三 四点共圆 1.如图1、图2，Rt△ABC和Rt△ABD共斜 边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD ＝OA＝OB，∴A，B，C，D四点共圆，即 共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆.得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一. 类型解读 图1　　　　 　　图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 12 2.如图3，若四边形ABCD中有∠1＝∠2(∠3＝∠4)，则A，B，C，D四点共圆，即四边形ABCD是圆的内接四边形，则有∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴△BPC∽△APD(同理，△BPA∽△CPD). 3.如图4，在四边形ABCD中，∠A＋ ∠C＝180°(或∠B＋∠D＝180°)， 则A，B，C，D四点共圆(圆内接四 边形的性质). 图3　　　 图4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 例3 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE，OF分别交射线AB，BC于E，F，则EF的最小值为__________.  5 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 5.如图，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB， AD＝2，则AE的长为_______.  针对训练 2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 (　　) A.2 B.4－2 C.2 D.4 C 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型四 点圆最值 平面内一定点D和☉O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，☉O半径为r)： 类型解读 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 17 1.当点D在☉O外时，d＞r，如图1、图2，当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 2.当点D在☉O上时，d＝r，如图3、图4，当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r(即为☉O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D，E重合)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 3.当点D在☉O内时，d＜r，如图5、图6，当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 例4 如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝ BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形 ABCD的边长为6，则线段CF的最小值是__________.  3－3 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3.点P为 △ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的 面积是(　　) A.3 B.3 C. D. 针对训练 D 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 8.(2022·泸州) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝ 2，半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相 切)，则点A到☉O上的点的距离的最大值为__________.  2＋1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 9.(2018·泸州) 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心、1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(　　) A.3 B.2 C. D. D 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 10.(2016·泸州) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a， 0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心、1为半径的圆上运动， 且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是__________.  6 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型五 线圆最值 1.AB为☉O的一条定弦，点C为圆上一动点. 　　(1)如图1，若点C在优弧上，当CH⊥ AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB 的最大距离，此时S△ABC的面积最大. 　　(2)如图2，若点C在劣弧上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大. 类型解读 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 26 2.☉O与直线l相离，点P是☉O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，☉O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图3)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 例5 (2025·巴中) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，D为AB的中点，点E在线段CD上，满足CE＝2DE，连接AE并延长交BC于点F，当△ABC面积最大时，线段CF等于(　　) B A. B.2 C.2 D.4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 11.(2024·凉山州) 如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为_____.  针对训练 2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型六 阿氏圆 例6 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内A，B两点，则所有满足PA＝kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6， ☉C的半径为2，P为圆上一动点，求AP＋BP的最小值. 图1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 30 第一步：如图1，连接圆心C与动点P； 第二步：如图1，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似：△CPM∽△CBP； 第三步：计算CM的长度由△CPM∽△CBP可得 ，即CM＝CP＝1； 图1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 第四步：AP＋BP＝AP＋PM，如图2，当A，P，M三点共线时，AP＋BP最小，此时AP＋BP＝.  图 2   首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 【模型应用】如图3，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝ 3，OB＝5，P为上一动点，则2AP＋PB的最小值为__________.  图3 【思路点拨】图3中延长OC至点E，使CE＝6，连接PE，OP，利用相似三角形的判定与性质得到PE＝2AP，则2AP＋PB＝PE＋PB，当点E，P，B在同一条直线上时，PE＋PB为线段BE，利用勾股定理解答即可得出结果. 13 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作☉C，分别交AC，BC于D，E两点，P是☉C上一个动点，则PA＋PB的最小值为.  针对训练   首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 13.如图，☉O的半径为，PO＝，MO＝2，∠POM＝90°，Q为☉O上一动点，则PQ＋QM的最小值为，MQ＋PQ的最小值为.      首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 本讲内容结束 $