30 第四单元 第21讲 解直角三角形及其应用-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“解直角三角形及其应用”核心考点，严格对接课标“用锐角三角函数解直角三角形及实际问题”要求，系统梳理解直角三角形四种情况及仰角俯角、坡度坡角、方位角等应用考点，结合泸州近5年中考真题分析考点权重，归纳四大命题点及常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题精讲+素养训练”模式，如2025泸州仰角俯角真题，通过构造直角三角形、运用三角函数推理计算，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。配套针对训练覆盖中考常见模型，助力学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升学生中考得分率。

第21讲　 解直角三角形及其应用 第四单元　三角形 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 课标 要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 知识 导图 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养储备·依标扣本 考点综述 01 4 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A； ∠B＝90°－∠A；b＝①__________；  (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝90° －∠A；c＝②___________； (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A； (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝，c＝　  知识点一 解直角三角形 解直角三角形 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_____的角叫仰角，视线在水平线④_____的角叫俯角 知识点二 解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用 上方 下方 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫坡角i＝tan α＝⑤_____ 方位角：“南北”∥“南北”，“东西”∥“东西”；“南北”偏“东西”， 图中讨论的每个点都画“十字架”， 如 东南方指南偏东45°方向.如图，点A在点B北偏东50° 方向，则点B在 点A⑥____________方向  南偏西50° 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6 素养积累·考点过关 考点综述 02 7 例1 (人教九下P35例2改编) 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°，求BC的长； 考点一 解直角三角形 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8 解：∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，∴∠E＝30°. 在Rt△ABE中， ∵AB＝6，tan A＝， ∴BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. ∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝， ∴CE＝＝8. ∴BC＝BE－CE＝6－8. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)若sin A＝，求AD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝， ∴设BE＝4x，则AE＝5x，AB＝3x. ∴3x＝6，解得x＝2，∴BE＝8，AE＝10. ∴tan E＝，∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 针对训练 D 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知 cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为__________.  10 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(2025·乐山) 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2. (1)求AB的长； 解：过点A作AJ⊥BC于点J. 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC·sin 60°＝2×， CJ＝AC·cos 60°＝2×＝1. 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴BJ＝AJ＝，∴AB＝. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求点C到线段AB的距离. 解：过点C作CK⊥AB于点K. 由(1)可知BC＝CJ＋BJ＝1＋. ∵S△ABC＝AB·CK＝BC·AJ， ∴CK＝， ∴点C到线段AB的距离为. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点1　仰角、俯角问题 例2 (2025·泸州) 如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18 m.从A，B之间的E点(A，E，B在同一水平线上)测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°. 考点二 解直角三角形的实际应用 (1)求∠CDE的度数； 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 15 解：过点C作CH⊥AD于点H，则∠DHC＝90°.由题意，得∠DCH＝30°，∠AED＝75°，∠DAE＝90°. ∴∠CDH＝90°－∠DHC＝60°，∠ADE＝90°－∠DAE＝15°. ∴∠CDE＝∠CDH－∠ADE＝45°. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求建筑物AD的高度(计算过程和结果中的数据不取近似值). 解：过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETD＝∠ETC＝90°.∴∠DET＝90°－∠EDT＝45°. ∴∠CET＝180°－∠AED－∠DET－∠BEC＝30°. 在Rt△BCE中， CE＝＝36(m). 在Rt△CTE中，CT＝CE·sin∠CET＝36·sin 30°＝18(m)，ET＝CE·cos∠CET＝36·cos 30°＝18(m). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 在Rt△DET中，DT＝＝18(m)，∴CD＝CT＋DT＝(18＋18) m. 在Rt△DCH中，DH＝CD·sin∠DCH＝(18＋18)·sin 30°＝9＋9(m). ∵CH⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴四边形ABCH是矩形.∴AH＝BC＝18 m. ∴AD＝AH＋DH＝(27＋9) m. 答：建筑物AD的高度为(27＋9) m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 4.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距离是6 km，仰角∠ARL＝30°，又经过1 s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到 B的平均速度为__________km/s.  针对训练 (3－3) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.(2018·泸州) 如图，甲建筑物AD、乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：由题意知：BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90 m. 在Rt△ADE中，tan 30°＝，sin 30°＝， ∴AE＝AD，DE＝2AD. 在Rt△BCE中，tan 60°＝，sin 60°＝， ∴BE＝BC＝2AD， CE＝＝4AD. ∵AE＋BE＝AB＝90， 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴AD＋2AD＝90. ∴AD＝10 m.∴DE＝20 m，CE＝120 m. ∵∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°， ∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，∴∠DEC＝90°. ∴CD＝＝20(m). 答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为 20 m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点2　方位角问题 例3 (2024·泸州) 如图，海中有一个小岛C， 某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向 上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点， 测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏 东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CH⊥AB于点H. ∵∠CAB＝45°， AC＝30 n mile， ∴AH＝CH＝15 n mile. ∵∠CBH＝60°， ∴BC＝＝10(n mile). 过点D作DG⊥AB于点G. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°. ∴∠BDG＝60°.∴∠CDB＝60°. ∴CD＝＝20(n mile). 答：C，D间的距离为20 n mile. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2022·泸州) 如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 n mile.求B，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：由题意，得∠CAB＝∠ABC＝45°， BC＝8 n mile， ∴∠C＝90°. ∴AB＝BC＝×8＝16(n mile). 过D作DH⊥AB于点H， 则∠AHD＝∠BHD＝90°. 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°， AD＝10 n mile，cos∠ADH＝， 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴AH＝AD＝5，DH＝10·cos 30°＝10×＝5.∴BH＝AB－AH＝11(n mile). 在Rt△BDH中， BD＝ ＝14(n mile). 答：B，D间的距离是14 n mile. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(2017·泸州) 如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上.求该渔船此时与小岛C之间的距离. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CD⊥AB于点D. 由题意，得∠BCD＝30°. 设BC＝x. 在Rt△BCD中， BD＝BC·sin 30°＝x， CD＝BC·cos 30°＝x， 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴AD＝30＋x. 在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2， 即＝702. 解得x1＝50，x2＝－80(舍去). 答：渔船此时与小岛C之间的距离为50 n mile. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(2019·泸州) 如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距 50 n mile，又测得点B与小岛D相距20 n mile. (1)求sin∠ABD的值； 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点D作DE⊥AB于点E. 在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°， ∴DE＝20×sin 45°＝20. 在Rt△BED中，BD＝20， ∴sin∠ABD＝. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 解：过点D作DF⊥BC于点F. 在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20， ∴BE＝＝40. ∵四边形BFDE是矩形， ∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20. ∴CF＝BC－BF＝30. 在Rt△CDF中，CD＝＝50(n mile). 答：小岛C，D之间的距离为50 n mile. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点3　坡度(坡角)问题 例4 (2023·泸州) 如图，某数学兴趣小组为了测 量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与 古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面 坡度为i＝2∶的斜坡AB前进20 m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin 37°≈， cos 37°≈，tan 37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BF⊥AD于点F. 在Rt△ABF中，∵i＝2∶， ∴可设BF＝2k，AF＝k. ∵AB＝20 m，BF2＋AF2＝AB2， ∴(2k)2＋(k)2＝(20)2. 解得k＝20(负值已舍去). ∴BF＝2k＝40 m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 延长BC，DE交于点H. ∵BC是水平线，DE是铅直线， ∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是直角三角形. ∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC， ∴四边形BFDH是矩形. ∴DH＝BF＝40 m. 在Rt△CDH中，∵tan∠DCH＝， 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴CH＝(m). 在Rt△CEH中， ∵tan∠ECH＝， ∴EH＝CH·tan∠ECH＝·tan 37°≈×＝10(m). ∴DE＝DH－EH≈(40－10) m. 答：古树DE的高度约为(40－10) m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.(2016·泸州) 如图，为了测量出楼房AC的高度， 从距离楼底C处60 m的点D(点D与楼底C在同一水 平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前 进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°， 求楼房AC的高度(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53° ≈，计算结果用根号表示，不取近似值). 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 在Rt△ABM中，tan∠ABM＝≈， ∴AM≈60. ∴AC＝CM＋AM≈15＋60(m). 答：楼房AC的高度约为(15＋60) m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M. 在Rt△BDN中，BD＝30，BN∶ND＝1∶， ∴BN＝15，DN＝15. ∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°， ∴四边形CMBN是矩形. ∴CM＝BN＝15，BM＝CN＝CD－DN＝60－15＝45. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点4　其他问题 例5 (2025·凉山州) 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1米) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)求直吊臂OB的长； 解：由题意，得BM⊥OM. ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，∴在Rt△BOM中，OB＝≈≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米? 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：如图，记旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，则∠BEF＝90°. ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°. ∴四边形EFMB为矩形.∴EF＝BM＝3米. 由题意，得∠OB'M'＝36°， B'M'＝BM＝3米，OB'＝OB≈10米. 在Rt△B'OF中，B'F＝OB'·cos∠OB'M‘ ≈10×0.81＝8.1(米)， ∴M'F＝B'F－B'M'≈8.1－3＝5.1≈5(米). ∴货物M约上升了5米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·眉山) 人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长 都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是_________m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65° ≈2.14)  针对训练 1.8 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.(2024·遂宁) 小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时(图1)，灯带的直射宽度DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(图2)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.(结果保留一位小数)(sin 9°≈0.16，cos 9° ≈0.99，tan 9°≈0.16) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：图2中，过点C作CK⊥AE'于点K，交BM于点J. 图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴BD∥EC. ∵BM∥DE，∴四边形BDEM是平行四边形. ∴BM＝DE＝35 cm. ∴BC＝BM·cos 9°＝35×0.99≈34.65(cm). 图2中，∵BM∥AE'，CK⊥AE'， ∴CJ⊥BM.∴CJ＝BC·sin 30°≈17.33(cm). ∵AB⊥AE'，∴BA＝JK＝40 cm. ∴CK＝CJ＋JK≈17.33＋40≈57.3(cm). 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 12.(2020·泸州) 如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离.在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70 m.求C，D两点间的距离(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C，D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M，N. 在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，∴AM＝MC. 在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，∴BM＝≈CM. ∵AB＝70＝AM＋BM≈CM＋CM， ∴CM＝DN≈30. 在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°， 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴BN＝≈＝10. ∴CD＝MN＝MB＋BN≈×30＋10＝40＋10(m). 答：C，D两点间的距离约为(40＋10) m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P45~46素养练测21 本讲内容结束 $