专题03 向量的数量积10（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理背景（功的概念）引入，系统梳理向量夹角、数量积定义、投影向量等基础概念，再通过性质运算律、常用结论构建知识体系，最终落脚到夹角垂直判断与向量模求解两大应用，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以10个考点分层设计，涵盖概念辨析、几何图形计算、投影向量、夹角求参等题型，结合正六边形、正方形等实例，培养学生数学眼光（几何直观）与数学思维（推理运算）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过多样化题目查漏补缺，强化知识应用能力。

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积10考点复习指南 知识1：向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 考点1 向量数量积概念辨析（夹角及运算律） 1．（2026高一·北京顺义·期末）设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由两向量的数量积公式及充要条件的判断即可求解． 【详解】当，则， 得，得夹角， 此时两向量可能共线（），也可能两向量的夹角为锐角， 故充分性不正确， 当存在实数，使得，则，两向量的夹角为零，则，故必要性正确， 则“”是“存在实数，使得”的必要而不充分条件， 故选：B 2．（2026高一·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 3．（2026高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 4．（2026高一·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 5．【多选】（2026高一·河南周口·月考）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 考点2 简单向量数量积的计算 6．（2026高二·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 7．（2026高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 8．（2026高一·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 9．（2026·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 10．（2026高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 11．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意平面向量，，两两的夹角相等，则夹角可以为或，然后根据向量数量积的定义分类计算即可. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角可以为或， 当夹角为时，， 当夹角为时，. 故选：AD. 考点3 平面几何图形中向量数量积的计算 12．（2026高一·全国·课后作业）已知正三角形的边长为1，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案. （2）根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）与与的夹角为． （2）与的夹角为， 13．（2026高一·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 14．（2026高二·贵州·学业考试）在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 15．（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 16．（2026高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 17．（2026高三·重庆·月考）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】以为基底向量得到向量，然后即可求得. 【详解】，∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在直角中，，∴， ∴. 故选：C 18．（2026高三·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 19．（2026高一·云南玉溪·月考）在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】. 故选：B. 20．（四川省成都市青白江区鸿鹄高级中学2025-2026学年高一学期期末联考数学试题（AB层））一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】由题可知，，，， 所以. 故选：B. 考点4 求投影向量 21．（2026高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 22．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 23．（2026·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 24．（2026高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 25．（2026高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【详解】因， 则， 得， 在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 考点5 向量夹角的计算 26．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】利用向量垂直，数量积为零，再利用数量积求夹角余弦值，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 27．（2026高一·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 28．（2026·江西萍乡·模拟预测）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C 29．（2026高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 考点6 由夹角的范围求参 30．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 31．（2026高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 32．（2026高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且. 【分析】（1）先由数量积公式求出，故； （2）利用数量积运算法则计算出的值； （3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且.. 【详解】（1） ， 故； （2） ； （3）由题意得且与不同向共线， ，解得 令，即，解得，则， 综上，且. 33．（2026高一·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 考点7 垂直关系的向量表示 34．（2026高一·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； （2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 35．（2026高三·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 【答案】 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 36．（2026高三·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方得到，根据向量垂直得到方程，求出，从而，得到答案. 【详解】，两边平方得， 所以 又，故，即， 所以，故，. 故选：C 37．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 考点8 求向量的模及由向量的模求参 38．（2026高三·湖北武汉·月考）平面向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】对两边平方可得，再计算从而可得结果. 【详解】由，两边平方可得，解得， 则，. 故答案为：. 39．（2026·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】，又，，， 则，所以. 故选：D. 40．（2026·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】2 【分析】先根据垂直关系求出数量积，再利用模长公式可求答案. 【详解】因为，所以，所以. 又因为，所以. 故答案为：2 41．（2026高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 42．（2026高一·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 43．（2026高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 考点9 向量模的最值 44．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设向量，因为且与的夹角为， 则 ，所以当时，的最小值为. 故答案为：. 45．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义和运算性质，化简条件，用模长表示夹角余弦值的函数，求出模长范围. 【详解】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 46．（2026高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 47．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义可得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 48．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 考点10 向量数量积的最值范围 49．（2026高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 50．（2026高三·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 51．（2026高三·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 52．（2026高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 53．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积10考点复习指南 知识1：向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 考点1 向量数量积概念辨析（夹角及运算律） 1．（2026高一·北京顺义·期末）设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026高一·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 4．（2026高一·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 5．【多选】（2026高一·河南周口·月考）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 考点2 简单向量数量积的计算 6．（2026高二·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2026高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 8．（2026高一·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 9．（2026·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 10．（2026高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 11．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 考点3 平面几何图形中向量数量积的计算 12．（2026高一·全国·课后作业）已知正三角形的边长为1，求： (1)； (2)． 13．（2026高一·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 14．（2026高二·贵州·学业考试）在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 15．（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 16．（2026高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 17．（2026高三·重庆·月考）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 18．（2026高三·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 19．（2026高一·云南玉溪·月考）在三角形中，，则（    ） A．10 B．22 C． D． 20．（四川省成都市青白江区鸿鹄高级中学2025-2026学年高一学期期末联考数学试题（AB层））一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 考点4 求投影向量 21．（2026高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 25．（2026高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 考点5 向量夹角的计算 26．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 27．（2026高一·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 28．（2026·江西萍乡·模拟预测）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 考点6 由夹角的范围求参 30．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 31．（2026高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 32．（2026高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 33．（2026高一·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 考点7 垂直关系的向量表示 34．（2026高一·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 35．（2026高三·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 36．（2026高三·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 37．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 考点8 求向量的模及由向量的模求参 38．（2026高三·湖北武汉·月考）平面向量，满足，，，则 ． 39．（2026·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 40．（2026·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则 . 41．（2026高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 42．（2026高一·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 43．（2026高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 考点9 向量模的最值 44．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 45．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 46．（2026高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 47．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是 . 48．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 考点10 向量数量积的最值范围 49．（2026高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 50．（2026高三·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 51．（2026高三·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 53．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $