专题02 平面向量的运算13（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量运算核心知识点，系统梳理线性运算（加法的三角形与平行四边形法则、减法的三角形法则、数乘运算及运算律）及向量共线定理，构建从定义法则到运算规律再到实际应用的学习支架。 资料以13个考点分层设计，结合图形实例（如正六边形、平行四边形）与多样题型（作图、化简、参数求解），培养学生几何直观（数学眼光）、运算能力与推理意识（数学思维），课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算13考点复习指南 知识1：平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 知识2：向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 考点1 向量的加法法则 1．（2026高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    2．（2026高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 3．（2026高一·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知、、，求作向量． 考点2 向量的加法运算律 5．（2026高一·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 6．（2026高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 7．（2026高一·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 8．（2026高一·全国·课前预习）化简 (1)； (2) . 考点3 向量的加法法则的几何应用 9．（2026高一·安徽·月考）如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·新疆·期末）在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 考点4 向量的减法法则 13．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 14．（2026高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 15．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 16．（2026高一·安徽芜湖·期中）作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 考点5 向量的减法法则的几何应用 17．（2026高一·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    18．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 考点6 向量加减法的综合运算 19．（2026高一·全国·假期作业）化简： （1） ； （2） ． 20．（2026高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 21．（2026高一·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 22．（2026高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 23．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 24．（2026高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 考点7 向量数乘的有关计算 25．（2026高一·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 26．（2026高一·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 27．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 28．（2026高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 29．（2026高二·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 30．（2026高一·广东汕头·月考）化简下列各式： (1)． (2)； 31．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 考点8 根据向量的线性运算求向量 32．（2026高一·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 34．（2026高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 35．（2026高一·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 考点9 由平面向量的线性运算求参数 36．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，则实数的值为 ． 37．（2026高一·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 38．（2026·湖南邵阳·模拟预测）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 39．（2026高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点10 向量共线或三点共线的判断 40．（2026高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 41．（2026高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 42．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 43．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 44．（2026高二·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 45．（2026高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 46．（2026高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 47．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 48．（2026高一·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 考点11 由向量共线或三点共线求参 49．（2026高一·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 50．（2026高一·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 51．（2026高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 52．（2026高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 53．（2026高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 54．（2026高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 55．（2026高二·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 56．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 57．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 58．（2026高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 59．（2026高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 考点12 向量共线定理推论的应用 60．（2026高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 61．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    62．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 63．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 64．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 考点13 根据向量关系判断三角形的心 65．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 66．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 67．（2026高一·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 68．（2026高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 69．（2026高一·山东聊城·月考）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 70．【多选】（2026高一·山东临沂·月考）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 71．【多选】（2026高一·甘肃·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算13考点复习指南 知识1：平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 知识2：向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 考点1 向量的加法法则 1．（2026高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    【答案】作图见解析 【分析】将向量首尾相接，则表示从起点到指向终点的向量，作图即可. 【详解】如图所示：    2．（2026高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【答案】作图见解析 【分析】 （1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可. 【详解】 （1）作，则，如图（1）． （2）作，则，如图（2）． （3）作，则，如图（3）． 3．（2026高一·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知、、，求作向量． 【答案】作图见解析 【分析】在平面内任取一点，作，，，利用平面向量加法的三角形法则可作出向量. 【详解】作法：如图所示，在平面内任取一点，作，，， 则． 考点2 向量的加法运算律 5．（2026高一·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 6．（2026高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 7．（2026高一·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 8．（2026高一·全国·课前预习）化简 (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可. 【详解】（1）= （2）==. 考点3 向量的加法法则的几何应用 9．（2026高一·安徽·月考）如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则， 故选：B. 10．（2026高一·新疆·期末）在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案. 【详解】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.    故选：D 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 12．（2026高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 考点4 向量的减法法则 13．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； 14．（2026高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 15．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 【答案】见解析 【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解. 【详解】由向量减法的三角形法则， 令,则, 令,所以.如下图中即为. 16．（2026高一·安徽芜湖·期中）作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 【答案】(1)详见解答 (2)详见解答 【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可 （2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可 【详解】（1）如图所示，在平面中取任意一点作，则 （2）如图所示，在平面中取任意一点作，则 考点5 向量的减法法则的几何应用 17．（2026高一·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    【答案】2 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 考点6 向量加减法的综合运算 19．（2026高一·全国·假期作业）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 20．（2026高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 21．（2026高一·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）易知； （2）易知； （3）易知 22．（2026高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 23．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 24．（2026高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 考点7 向量数乘的有关计算 25．（2026高一·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2）. 26．（2026高一·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3） . 27．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 28．（2026高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 29．（2026高二·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 30．（2026高一·广东汕头·月考）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 31．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 考点8 根据向量的线性运算求向量 32．（2026高一·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 33．（2026高一·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得. 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 34．（2026高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 35．（2026高一·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 考点9 由平面向量的线性运算求参数 36．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量线性运算转化为，根据系数相等可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，得. 故答案为： 37．（2026高一·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 38．（2026·湖南邵阳·模拟预测）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 39．（2026高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 考点10 向量共线或三点共线的判断 40．（2026高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【分析】用向量共线定理判断. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 41．（2026高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【分析】根据向量共线定理即可判断. 【详解】（1），则有，即共线； （2），则有，即共线； （3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使， 即，所以，所以共线， 这与已知条件不共线矛盾，不共线. 42．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 43．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 44．（2026高二·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 45．（2026高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 46．（2026高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 47．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 48．（2026高一·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【详解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 考点11 由向量共线或三点共线求参 49．（2026高一·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 50．（2026高一·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 51．（2026高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 52．（2026高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： 53．（2026高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 54．（2026高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 55．（2026高二·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 56．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 57．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】（1）由题意得，则存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. （2）先求得，由题意存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 58．（2026高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 59．（2026高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 考点12 向量共线定理推论的应用 60．（2026高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 61．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 62．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 63．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 64．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 考点13 根据向量关系判断三角形的心 65．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 66．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 67．（2026高一·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 68．（2026高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案. 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 69．（2026高一·山东聊城·月考）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心. 【详解】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 70．【多选】（2026高一·山东临沂·月考）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案. 【详解】因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 71．【多选】（2026高一·甘肃·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算结合几何性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可得， 即，则点是边的中点，故A正确； 对于选项B：因为，可得， 即，则点在边的延长线上，故B错误； 对于选项C：设的中点为，则， 由重心性质可知：点是的重心，故C正确； 对于选项D：因为，则， 整理得，故D正确． 故选：ACD． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $