精品解析：河北石家庄市新华区2025-2026学年八年级上学期期末质量监测数学试卷

八年级质量监测试卷 （数学） 注意事项： 1．本试卷共8页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；各非选择题时，用黑色字迹的笔书写在答题卡上． 一、精心选择（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A 近似数精确到百分位 B. 近似数万精确到千位 C. 近似数与表示的意义相同 D. 近似数精确到个位 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 6. 根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图，与交于点，过点作直线．和关于直线对称，点，的对称点分别是点，，连接，．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的分式方程有增根，那么的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 垂直平分线 D. 中线 11. 如图，中，为中点，且，若，则的长度是（ ） A. B. 7 C. D. 6 12. 如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ） A. 36 B. 25 C. 19 D. 4 二、准确填空（本大题有4个小题，每小题2分，共8分．请把答案写在题中横线上） 13. 当x=___时，分式的值为0. 14. 若实数满足，则的立方根是_____． 15. 如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是_____． 16. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 三、细心解答（本大题有8个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． （1）条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） （2）证明你所构建的命题是真命题． 19. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算 原式第一步 第二步 第三步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 经检验，是分式方程的解．．．第三步 （1）解答过程中，习题1从第_____步开始出现错误，习题2从第_____步开始出现错误； （2）任选一个习题写出正确的解答过程． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． （1）画出线段关于直线的轴对称线段； （2）在直线上找一点，使值最小； （3）若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． 21. 观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： （1）_________； （2）根据你观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； （3）用上述规律计算：． 22. 冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． （1）的度数为_____； （2）村庄距省道的最短距离为_____； （3）如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 23. 某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员张阿姨和仓库保管员李师傅对采购情况回忆如下： 张阿姨：我记得甲商品每件进价是乙商品每件进价的倍； 李师傅：甲商品比乙商品的数量少20件． （1）请你求出乙商品的进价； （2）请帮他们补全进货单． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 4500 乙 3600 24. 我们学习了全等三角形的性质和判定，在一些题目中经常会转化边和角，进而解决问题． 【问题呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，于点，于点，则_____（用含有代数式表示），且与之间满足的数量关系是_____； （2）如图2，在等腰直角中，于点，于点，求的长． 【方法应用】 （3）如图3，在Rt中，，，．则的面积为_____． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级质量监测试卷 （数学） 注意事项： 1．本试卷共8页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；各非选择题时，用黑色字迹的笔书写在答题卡上． 一、精心选择（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 近似数精确到百分位 B. 近似数万精确到千位 C. 近似数与表示的意义相同 D. 近似数精确到个位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 4. 直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了半圆无滑动滚动的弧长计算与数轴对应关系，解题的关键是明确半圆仅沿弧长滚动时，水平移动距离等于半圆弧长． 半圆无滑动滚动半周时，其与数轴接触的弧长即为水平移动距离，无需额外增加直径长度；计算半圆弧长即可得到点对应的数． 【详解】解：已知半圆直径为，则半径， 半圆弧长为， 半圆无滑动滚动半周，水平移动距离等于半圆弧长， 因此点对应的数为， 故选：B． 5. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定． 【详解】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况， 因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°． 因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故选：D 6. 根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 7. 如图，与交于点，过点作直线．和关于直线对称，点，的对称点分别是点，，连接，．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，， ， 不一定垂直，故选项A不一定正确，符合题意， B、C、D选项不符合题意， 故选：A 8. 已知关于的分式方程有增根，那么的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及应用．解题的关键是先根据分母为零确定增根，再把增根代入去分母后的整式方程求解 m 的值． 【详解】方程两边同乘最简公分母，得． 分式方程的增根是使分母为零的根，即，解得增根为． 将代入整式方程，得． 化简得，解得． 因此，的值为2， 故选：B． 9. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：A． 10. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 垂直平分线 D. 中线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：A． 11. 如图，中，为中点，且，若，则的长度是（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出的长度，再结合勾股定理求出与的长度． 先由为中点且，根据直角三角形斜边中线性质得；再在中用勾股定理求出；最后在中用勾股定理求出． 【详解】解：∵，为中点， ∴ ， 在中，， 在中，， 故选：A． 12. 如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ） A. 36 B. 25 C. 19 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图的面积关系与完全平方公式的应用，解题的关键是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的面积，推导出ab的值，再代入完全平方公式计算． 由大正方形面积与小正方形面积可求得；再根据完全平方公式，代入数值即可算出结果． 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②， 将②代入①，得， 解得， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 二、准确填空（本大题有4个小题，每小题2分，共8分．请把答案写在题中横线上） 13. 当x=___时，分式的值为0. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件计算即可. 【详解】解：由题意得， ， 解得，x=-3 故答案为-3. 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，分子为0；分母不为0，熟练掌握相关知识是解题关键. 14. 若实数满足，则的立方根是_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了非负数性质和立方根的计算，解题的关键是利用“平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0”的性质求出、的值． 先根据非负数的性质，由推出且；再解出、的值，计算；最后求的立方根． 【详解】解：，，且， ，． 解得，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是设出摆线长度，利用勾股定理建立方程求解． 设摆线的长度为，则；由得；在中，根据勾股定理代入数值列方程，解方程即可得的长度． 【详解】解：设，则，， 在中，， 即， 展开得， 化简得， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和BC的长度，再分两种等腰情况（和）进行计算． 先在中，由、得，；再分和两种情况：当时，，可得；当时，由等腰三角形三线合一得，可得． 【详解】解：在中， ∵ ，，， ∴ ，． ∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴ ． 分两种情况： 情况一：当时：，解得． 情况二： 当时， ∵ ， ∴ ，． 解得． 故答案为：或． 三、细心解答（本大题有8个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、多项式乘多项式法则、二次根式的化简与合并，熟练掌握二次根式的化简方法和运算规则是解题的关键． （1）先将各项二次根式化最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）利用多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项进行化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． （1）条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）②③；①或①③；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． （1）选择②③当条件，①当结论或①③当条件，②当结论即可； （2）根据，得出，证明即可． 【小问1详解】 解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②； 【小问2详解】 当条件：②③，结论：①时， 证明：， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； 当条件①③，结论②时， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算 原式第一步 第二步 第三步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 经检验，是分式方程的解．．．第三步 （1）解答过程中，习题1从第_____步开始出现错误，习题2从第_____步开始出现错误； （2）任选一个习题写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，一 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式加法运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同分母分式的加法法则判断习题1的错误；根据去分母法则判断习题2的错误； （2）选择习题1，根据异分母分式加法运算法则化简即可；选择习题2，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解：解答过程中，习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 解：习题1： ； 习题2： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． （1）画出线段关于直线的轴对称线段； （2）在直线上找一点，使的值最小； （3）若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出、的对应点、，连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，点为所求． 由对称的性质得， 则， 此时，最小； 【小问3详解】 解：如图所示， 点共有5个． 故答案为：5． 21. 观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： （1）_________； （2）根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； （3）用上述规律计算：． 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【小问1详解】 解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） 【小问2详解】 解：根据题干所给算式的规律，可得 【小问3详解】 解： 22. 冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． （1）的度数为_____； （2）村庄距省道的最短距离为_____； （3）如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 【答案】（1） （2）24 （3）小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式、勾股定理的应用以及行程问题的计算，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积法求高，再通过勾股定理计算线段长度，最终结合速度公式求解时间． （1）利用勾股定理逆定理，由判断为直角三角形，得； （2）用直角三角形面积公式，求出点到的距离； （3）过点作的垂线，设垂足为，在中用勾股定理求出的长度，再结合速度公式计算降雪持续时间． 【小问1详解】 解： 在中，，，， ，． ． 是直角三角形，且． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设点到的距离为， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故答案为：． 【小问3详解】 解：过点作于点，则， 在中，，， 由勾股定理得． 同理，， ． 降雪中心移动速度为， 持续时间． 答：此次村庄持续降雪小时． 23. 某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员张阿姨和仓库保管员李师傅对采购情况回忆如下： 张阿姨：我记得甲商品每件进价是乙商品每件进价的倍； 李师傅：甲商品比乙商品的数量少20件． （1）请你求出乙商品的进价； （2）请帮他们补全进货单． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 4500 乙 3600 【答案】（1）乙商品的进价为元/件 （2）补全进货单见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据“甲商品比乙商品的数量少件”这一数量关系，建立关于进价的分式方程． （1）设乙商品的进价为未知数，用总金额除以进价表示两种商品的数量，根据数量差列方程求解； （2）利用（1）的结果，分别计算甲、乙商品的进价与数量，补全进货单． 【小问1详解】 解：设乙商品的进价为元/件，则甲商品的进价为元/件， 根据题意得， 化简，得， ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙商品的进价为元/件． 【小问2详解】 解：甲商品的进价为（元/件）； 甲商品的数量为（件）； 乙商品的数量为（件）． 补全进货单如下 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 乙 24. 我们学习了全等三角形的性质和判定，在一些题目中经常会转化边和角，进而解决问题． 【问题呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，于点，于点，则_____（用含有的代数式表示），且与之间满足的数量关系是_____； （2）如图2，在等腰直角中，于点，于点，求的长． 【方法应用】 （3）如图3，在Rt中，，，．则的面积为_____． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）的面积为或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉“一线三垂直”模型是解题的关键； （1）根据等角的余角相等得到，证明，得到，，得到； （2）证明，得到，，即可得到； （3）过作于，证明，得到，再根据计算即可； （4）过作于，由等腰三角形和面积得到，；再根据，或，分情况讨论，再构造“一线三垂直”模型求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）如图2， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）如图3，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）过作于， ∵，，， ∴，， ∴； ∵以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形， 当，时，过作交直线于，如图， 由（1）同理可得， ∴，， ∵，， ∴ ∴的高， ∴； 当，时，过作交直线于，如图， 由（1）同理可得， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $