精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（日新班）

丰城九中2025—2026学年高一年级日新班上学期期末考试 数学试卷 命题人：张长凯 审题人：陈俊平2026.2.4 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】由已知可得，，则， 又，所以，则 故选：C. 2. 若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 4. 与圆：和圆：都相切的直线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先判断两圆的位置关系，进而得出结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为2；圆的圆心坐标为，半径为3， 所以，所以两圆相外切. 所以与两圆都相切的直线有3条. 故选：C. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ． 故选：B 7. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 8. 将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体中，圆柱的轴线与正方体体对角线重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作出正方体的两个全等且平行的正三角形截面，，设，正内切圆的半径为，即可得到，设圆柱的高为，推导出，求出的临界值，即可得解. 【详解】如图，作出正方体的两个全等且平行的正三角形截面，， 则圆柱的两个底面是，的内切圆， 设，正，内切圆的半径为，则， 所以， 而，所以， 设圆柱的高为，又正方体的体对角线为， 所以，即， 显然当圆柱两底面圆逐渐靠近时，半径越来越大，令，解得， 所以圆柱底面圆的半径取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用圆柱和正方体的对称性推导出，然后利用临界分析求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于原点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】通过图象确定函数解析式，再结合对称性、单调性、值域逐个判断即可. 【详解】由图象可知：，，得，所以， 即， 再由五点作图法可得：，得， 所以， 对于A，当时，，故的图象关于直线对称，正确； 对于B，当时，， 则，错误； 对于C：当时，， 正弦函数在不单调，故C错误； 对于D，，易知是奇函数，D正确， 故选：AD 10. 若为复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数计算求解判断A，特殊值法计算判断B，应用模长性质计算判断C，应用复数乘方及复数的几何意义运算判断D. 【详解】对于A：设，若，则，即，则为实数，A选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于C：因为，则，则的最大值为，C选项正确； 对于D：若，则在复平面内对应的点在第二象限，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点.若，则下列说法中正确的有（     ） A. 抛物线的方程为： B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程可得其焦点坐标，可得，进而求解判断A；设，根据抛物线的定义及可求得，不妨取，进而求得直线的方程为，可得，，进而求解判断BCD. 【详解】由于椭圆的焦点坐标为， 则，即，所以抛物线的方程为：，故A正确； 由，设，则，即， 又，则，结合对称性，不妨取， 则，即直线的方程为，即， 联立，解得或，即， 则，故B错误； 而，故C正确； 点到直线的距离为， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率. 【详解】 连接，因为点分别为和的中点， 所以， 又， 所以 设点到一条渐近线的距离，所以 ，又，所以， 中，满足， 又代入上式， 整理为：， 双曲线的离心率. 故答案为： 14. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长计算可得圆锥的高，结合勾股定理和圆锥外接球体积计算，即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为． 由扇形圆心角为，半径为， 得圆锥底面圆周长为，解得． 因为扇形半径为，所以，所以． 易知球心在圆锥的高所在的直线上． 设球的半径为，则， 即，解得， 所以球的体积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． （1）线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下： 如图，取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过线线平行可证得四点共面； （2）利用等体积法求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且， ∴， 则三棱锥的体积为. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）点是线段靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解； （3）通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【小问1详解】 在长方形中，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即，解得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 故有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ， 则 由点是线段上的一动点， 设， 则， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 两边平方得，整理得， 解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为1，过右焦点的直线交椭圆于，两点（均不与点，重合），直线交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：，，三点共线； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，结合椭圆性质求，即可得椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理，求得，利用向量平行证明三点共线即可； （3）利用韦达定理可得，且，换元令，可得，结合对勾函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 因为，即， 又因为椭圆上的点到其中一个焦点的距离的最小值为1， 则，则，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得，，右焦点， 过的直线的斜率可能不存在，但不为0，且直线与椭圆必相交 设直线，，， 联立，消去x得， 则，， 直线的方程为，当时，，故， 则，， 可得， 可知，所以，，三点共线. 【小问3详解】 由（2）得，， 因为，则， 又因为， 令，则，可得， 令，则在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值4，即， 可得，则， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025—2026学年高一年级日新班上学期期末考试 数学试卷 命题人：张长凯 审题人：陈俊平2026.2.4 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 与圆：和圆：都相切的直线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体中，圆柱的轴线与正方体体对角线重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于原点对称 10. 若为复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第二象限 11. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点.若，则下列说法中正确的有（     ） A. 抛物线的方程为： B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则____________. 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为_____. 14. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． （1）线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； （2）若，求三棱锥的体积． 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为1，过右焦点的直线交椭圆于，两点（均不与点，重合），直线交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：，，三点共线； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $