精品解析：江西上饶市余干县私立蓝天中学教育集团2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025—2026上学期期末考试（高二数学） 考试时间：120分钟满分：150分 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：B． 2. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 3. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 4. 用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ） A. 360 B. 400 C. 420 D. 450 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 5. 多项式 的展开式中 的系数是（ ） A. 35 B. 280 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果. 【详解】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D 6. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的乘法公式求出，再由和事件的概率公式求. 【详解】因为事件相互独立， 所以， 所以， 故选：A 7. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义与向量垂直的条件，通过代数变形求最值. 【详解】设，且， 由可得，，又，解得， 由抛物线的定义知， 因为，当且仅当或时取等号， 所以. 故选：D． 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法、数量积、模的坐标公式运算. 【详解】由题意得，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线与圆相切，点N在C左支上，则（ ） A. B. 直线与C的右支恰有两个交点 C. 周长的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的距离即可求解A，根据直线的斜率与渐近线的斜率比较，即可求解B，根据双曲线的定义，结合三点共线即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】由题意得C的渐近线为，圆心为， 由于C的渐近线与圆相切， 所以，选项A正确； 且，得到直线的斜率为， 因为直线的斜率大于渐近线的斜率， 所以直线与C的左、右支各有1个交点，选项B错误， 而周长为， 当且仅当三点共线时等号成立，选项C正确； 设，所以，即， 可得， 所以的最小值为，选项D错误． 故选:AC． 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与平行，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将两直线方程转化成斜截式，根据条件得，即可求解. 【详解】由，得到，易知直线的斜率存在，且斜率为， 因为，则的斜率存在，即，由，得到 则直线的斜率为，由，得，解得， 故答案为：. 13. 已知，则可能取值为______. 【答案】或5 【解析】 【分析】利用组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 则或， 解得或5，经检验，均满足题意. 故答案为：或5 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情况，即可得解. 【详解】用分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有种结果，则在一轮游戏中，共包含（个）等可能的基本事件.其中，甲得分，即包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，则甲每轮得分的概率为.同理可得，甲每轮得分的概率也是，得分的概率为. 设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形： ①甲有两轮得分，一轮得分，概率为； ②甲有一轮得分，两轮得分，概率为， 所以， 故答案为：. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【小问1详解】 甲获得一份精美礼品的概率为. 【小问2详解】 由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? （2）6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? （3）6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】（1）144 （2）144 （3）90 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【小问1详解】 将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； 【小问2详解】 从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； 【小问3详解】 名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，使得恒为定值 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合离心率求解的值即可得解； （2）法一：先求出直线、的方程，设角平分线上任意一点为，则，化简求解； 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，再由，即可得解； 法三：设角平分线与轴交于点，根据可解得，即可得解； （3）设直线方程为，联立方程组，利用根于系数的关系化简即可得解. 【小问1详解】 设椭圆方程为（）， 因为椭圆经过点，所以， 又离心率，，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：，，，则直线方程为， 直线方程为， 设角平分线上任意一点为，则， 得或， 因为斜率为正，所以直线方程为. 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点）， 由于，则， 故，由于是锐角， 则，，所以， 直线的斜率为， 故直线的方程为. 法三：设角平分线与轴交于点， 则，即， 故，得， 所以，所以，故直线的方程为. 【小问3详解】 设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 故当时，使得恒为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026上学期期末考试（高二数学） 考试时间：120分钟满分：150分 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 4. 用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ） A. 360 B. 400 C. 420 D. 450 5. 多项式 的展开式中 的系数是（ ） A. 35 B. 280 C. D. 6. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 7. 某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A. 4077 B. 5436 C. 1359 D. 2718 8. 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线与圆相切，点N在C左支上，则（ ） A. B. 直线与C的右支恰有两个交点 C. 周长的最小值为 D. 的最小值为2 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与平行，则________. 13. 已知，则可能取值为______. 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 16. 有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 17. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? （2）6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? （3）6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 18. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $