专题 1.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 ★★【题型 1】二次根式的意义与二次根式的参数 2 【知识点二】最简二次根式与同类二次根式 3 ★【题型 2】最简二次根式的识别 4 【知识点三】化二次根式为最简二次根式的方法和步骤 5 ★★【题型 3】化简二次根式 5 【知识点四】二次根式的运算 7 ★★【题型 4】二次根式的加减乘除运算辨析 8 ★★【题型 5】二次根式的乘除运算 9 ★★【题型 6】二次根式的加减运算 12 ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 14 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 16 ★★【题型 9】二次根式的规律探究 19 ★★【题型 10】二次根式的应用 23 ★★【题型 11】二次根式与几何综合 26 二.中考真题 29 （一）单选题（6题） 29 （二）填空题（6题） 31 （三）解答题（3题） 33 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. ★★【题型 1】二次根式的意义与二次根式的参数 【例题1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）等式成立的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法及二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案． 解：∵等式成立， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 【知识点二】最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. ★【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级上·福建三明·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数． 解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．无平方数因子（除外），无法进一步化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【知识点三】化二次根式为最简二次根式的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. ★★【题型 3】化简二次根式 【例题3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 解： ． 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，化为最简二次根式，关键是求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．先求出直线与坐标轴的交点坐标，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，进而求出的长，即可得出点C的坐标． 解：当时，，解得，则； 当时，，则， ∴， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， ∴， ∴， ∴C的坐标为， 故答案为． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. ★★【题型 4】二次根式的加减乘除运算辨析 【例题4】（2025八年级上·北京·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算（化简、加减、乘除）及同类二次根式的概念，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算规则． 分别对每个选项按照二次根式的化简、加减、乘除规则进行计算，判断其正确性． 解∶选项A∶ ，计算正确； 选项B∶ ，与不是同类二次根式，不能合并，错误； 选项C∶ ，不是，错误； 选项D∶ 与不是同类二次根式，不能合并，错误． 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括合并同类项、化简以及乘法公式的应用，根据二次根式的运算法则判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、， 故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）下列计算中，结果错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一判断各选项的正确性． A．与的被开方数不同，无法直接合并，故，计算错误，故选项符合题意； B．，计算正确，故选项不符合题意； C．，计算正确，故选项不符合题意； D．，计算正确，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）下面的运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根及二次根式的运算规则，根据算术平方根、立方根及二次根式的运算规则，逐一验证各选项的正确性． A． ：算术平方根的定义为非负数，表示36的算术平方根，结果为6，而非，故运算错误． B． ：立方根运算中，，因此，运算正确． C． ：同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，即，结果为，运算正确． D． ：展开计算：，，总和为，运算正确． 故选：A． ★★【题型 5】二次根式的乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． （1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 解： ． ． 故答案为：； 【变式2】（23-24九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 解： ， 故选：A． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． （1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． ★★【题型 6】二次根式的加减运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． （1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可． 解：三角形的周长为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，在解题时把二次根式化成最简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，化简计算，即可得到答案； （2）根据二次根式的性质，化简计算，即可得到答案． （1）解： ． （2）解： ． ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根、绝对值和二次根式化简，再进行加减运算即可． （2）先计算完全平方式和二次根式乘法，再进行加减运算即可． 本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26九年级上·四川内江·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、除法、平方根性质和乘法公式，解题的关键是需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 解：A．和不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意． B．，错误，不符合题意． C．，正确，符合题意． D．，错误，不符合题意， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与完全平方公式的应用，解题关键是先正确展开完全平方公式，再化简二次根式的乘法，最后合并同类二次根式与常数项． 先利用完全平方公式进行计算，再计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． ()先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； ()先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． （1）解： ． （2）解： ． ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，． (1)的值为________，的值为________． (2)若，则的值为________． 【答案】(1) ， (2)6 【分析】（1）利用完全平方公式求的值；利用平方差公式法因式分解求解即可； （2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有的等式，将的值代入等式即可求出的值. （1）解：，，． 故答案为：，. （2）解：，，， ， ． 故答案为：6. 【点睛】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是掌握整体代入法． ★★【题型 9】二次根式的规律探究 【例题9】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【变式1】（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），根据此规律可求得结果． 解：由题意得，行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外）， 第1行到第9行共有：个数，即第9行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第5个数为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，找出规律是本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简．根据各式计算得到结果，得出规律写出即可． 解：， ， ， ， …… 以此类推，， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． ★★【题型 10】二次根式的应用 【例题10】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． （1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． （1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． ★★【题型 11】二次根式与几何综合 【例题11】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 是等边三角形， ，与交于点P， 于Q． (1)求证: ; (2)求的度数; (3)若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等． （1）先证，再证，即可得出； （2）由 (1) 得，推出，进而即可求解； （3）先求出，可得，根据即可求解． （1）证明：∵为等边三角形， ∴， ， 又∵，，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解: 由 (1) 得， ∴， ∴． （3）解: ∵， ， ∴， ， 又∵， 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·四川绵阳·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 2．（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 3．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断． 解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键． 5．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 6．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． （二）填空题（6题） 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围． 解：要使式子有意义， 即， ∴． 故答案为：． 8．（2023·广东·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 解：， 故答案为：6． 9．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 解：． 故答案为：． 10．（2023·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可． 解： ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 11．（2023·四川凉山·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键． 12．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 解： 故答案为：1 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （三）解答题（3题） 13．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行计算即可． 解：原式 ． 14．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 解： ， 当时，原式． 15．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 ★★【题型 1】二次根式的意义与二次根式的参数 2 【知识点二】最简二次根式与同类二次根式 3 ★【题型 2】最简二次根式的识别 4 【知识点三】化二次根式为最简二次根式的方法和步骤 5 ★★【题型 3】化简二次根式 5 【知识点四】二次根式的运算 7 ★★【题型 4】二次根式的加减乘除运算辨析 8 ★★【题型 5】二次根式的乘除运算 9 ★★【题型 6】二次根式的加减运算 12 ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 14 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 16 ★★【题型 9】二次根式的规律探究 19 ★★【题型 10】二次根式的应用 23 ★★【题型 11】二次根式与几何综合 26 二.中考真题 29 （一）单选题（6题） 29 （二）填空题（6题） 31 （三）解答题（3题） 33 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. ★★【题型 1】二次根式的意义与二次根式的参数 【例题1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）等式成立的的取值范围是 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【知识点二】最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. ★【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级上·福建三明·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【知识点三】化二次根式为最简二次根式的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. ★★【题型 3】化简二次根式 【例题3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 ． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. ★★【题型 4】二次根式的加减乘除运算辨析 【例题4】（2025八年级上·北京·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）下列计算中，结果错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）下面的运算错误的是（   ） A． B． C． D． ★★【题型 5】二次根式的乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： ； ． 【变式2】（23-24九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． ★★【题型 6】二次根式的加减运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26九年级上·四川内江·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，． (1)的值为________，的值为________． (2)若，则的值为________． ★★【题型 9】二次根式的规律探究 【例题9】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【变式1】（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来 ． 【变式3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． ★★【题型 10】二次根式的应用 【例题10】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． ★★【题型 11】二次根式与几何综合 【例题11】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 是等边三角形， ，与交于点P， 于Q． (1)求证: ; (2)求的度数; (3)若 求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·四川绵阳·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 （二）填空题（6题） 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 8．（2023·广东·中考真题）计算： ． 9．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 10．（2023·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 11．（2023·四川凉山·中考真题）计算 ． 12．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ． （三）解答题（3题） 13．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 14．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 15．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $