专题12 复数的四则运算11题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一下学期数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦高中数学复数的四则运算核心知识点，系统梳理复数加减乘除的运算法则、运算律及几何意义，构建从基本运算到几何直观再到综合应用的学习支架，涵盖共轭复数、复数方程等拓展内容。 资料以11类题型分类为特色，结合例题与练习，通过复数加减法几何意义培养数学眼光，以运算训练提升数学思维，用规范表达强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题12 复数的四则运算11题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 五、|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 六、复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2026高一·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的加减法运算法则求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 2．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 3．（2026高一·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 4．（2026高一·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 5．（2026高一·辽宁朝阳·月考）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或1，或2. 【分析】（1）利用复数加减运算法则计算出答案； （2）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案； （3）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 6．（2026高一·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用向量平行四边形法则作图可得答案. 【详解】（1）向量对应的复数是， ，用表示，如下图； （2）向量对应的复数是，， 用表示，如下图； 7．（2026高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为 （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【详解】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 9．（2026高一·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 10．（2026高一·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 11．（2026·贵州六盘水·模拟预测）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 题型3：根据复数的加、减运算结果求参数 12．（2026高一·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 13．（2026高一·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 14．（2026高一·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 15．（2026高一·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（2026高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 17．【多选】（2026高一·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 18．（2026高一·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解. 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型4：复数代数形式的乘法运算 19．（2026高三·江西景德镇·期末）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算化简，结合复数虚部定义求解即可. 【详解】由于， 所以的虚部为：. 故选：C 20．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法公式计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：A 21．（2026高三·湖北咸宁·期末）复数的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：B. 题型5：根据复数的乘法运算结果求参数 22．（2026高二·广西贺州·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为 ， 又复数为纯虚数， 所以，解得. 故选：B 23．（2026高三·云南普洱·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解. 【详解】依题意，， 由复数为纯虚数，得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 24．（2026高三·浙江嘉兴·期末）在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算进行化简，再结合实部与虚部可确定选项. 【详解】设， 对于A：若复数位于第一象限，则须满足，解得且，此时无解，即复数不可能位于第一象限，故A正确； 对于B：若复数位于第二象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第二象限，故B错误； 对于C：若复数位于第三象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第三象限，故C错误； 对于D：若复数位于第四象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第四象限，故D错误. 故选：A. 题型6：复数的高次运算 25．（2026高三·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数除法和乘方法则进行求解即可. 【详解】由. 故选：D 26．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】应用复数的乘方计算求解. 【详解】. 故选：A. 27．（2026高三·湖北武汉·期末）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据复数单位的运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 28．（2026高二·四川成都·期末）复数(其中为虚数单位)的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方运算求出该复数，即得其虚部. 【详解】由，故该复数的虚部为4. 故选：C. 29．（2026高三·山东菏泽·月考）复数的实部与虚部之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．2025 【答案】C 【分析】根据复数的乘方运算，计算出复数的实部和虚部，可得结果. 【详解】易知， 所以， 可知复数的实部为1，虚部为2，因此实部与虚部之和为3. 故选：C （四） 1.共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. （2）几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.      （3）性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数. 2.复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型7：共轭复数 30．（安徽省滁州市2025-2026学年高三学期第一次教学质量监测数学试题）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法法则计算可得. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D 31．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）在复平面内，若，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果. 【详解】因为，则， 所以，故的共轭复数对应的点位于第三象限. 故选：C. 32．（云南省楚雄州2025-2026学年高三学期2月期末数学试题）设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】求出共轭复数，即可判断. 【详解】的共轭复数为，其对应的点位于第一象限． 故选：A 33．（2026高三·山东菏泽·期末）复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：C. 34．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共轭复数的定义求得，再根据复数模的公式求解. 【详解】，， . 故选：A. 35．【多选】（2026高三·安徽阜阳·期末）已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（   ） A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的定义，设，，然后根据复数的运算，逐个选项判断即可. 【详解】由题设，， 则，故A，B正确； 又，C选项错误； 又，D选项正确. 故选：ABD 题型8：复数代数形式的除法运算 36．（2026高三·江西·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法法则计算即可． 【详解】由已知，， 故选：B. 37．（2026高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 38．（2026高三·河南开封·月考）已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是. 故选：A 39．（2026高一·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算化简等式可得，结合可得结果. 【详解】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 题型9：根据复数的除法运算结果求参数 40．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 41．（2026·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 42．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【详解】因，依题意得，. 故选：D. 43．（2026·江苏·模拟预测）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】，所以且，解得. 故选：B 44．（2026·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【详解】由， 可得，， 因此． 故选：B． （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型10：在复数范围内因式分解 45．（2026高一·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 46．（2026高一·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【详解】令， ，所以， 即. 故答案为: . 47．（2026高一·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【详解】（1） （2） . 48．（2026高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【详解】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 题型11：在复数范围内解方程 49．（2026高二·上海宝山·期末）若是关于x的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根是共轭虚数，再利用韦达定理即可求解. 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根是共轭虚数， 所以可知和是方程的两个根， 根据韦达定理可得：， ， 故选：B. 50．（2026高一·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【详解】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B 51．（2026高一·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)4，13 【分析】（1）根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案； （2）将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 52．（2026高一·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2)、 【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先求出，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 1．（2026高一·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 2．（2026高一·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 【答案】C 【分析】将通过分子分母都乘以分母的共轭复数，整理成的形式，求出，继而得到的虚部. 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选:C． 3．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数加减法运算求解. 【详解】复数，得. 故选：A 4．（2026高一·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】应用复数的乘除运算得求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以，则，故. 故选：B 5．（2026高一·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】方法一：将代入方程中化简可求出，然后解方程求解即可；方法二：根据实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数求解. 【详解】因为是方程的一个根， 则，即， 则，所以， 所以方程为， 所以方程的根为， 所以方程的另外一个根为， 方法二：因为实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数， 所以方程的另一个根为. 故选：A. 6．（2026高一·海南·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由复数，可得. 所以, 故选：B. 7．（安徽蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试数学试题）已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由已知得到，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由，即得， 根据复数的几何意义复数对应复平面内的点，位于第三象限， 故选：C. 8．（河南濮阳市2026届高三第一次模拟考试数学试题）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算化简. 【详解】由题意得，. 故选：B 9．（福建省漳州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】复数，由为纯虚数，得， 所以. 故选：A 10．（2026高三·江西景德镇·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出复数的代数形式，进而可知其虚部. 【详解】由，得， 故的虚部为. 故选：B. 11．（2026高一·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 12．（2026·山东青岛·模拟预测）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值. 【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则. 可得：，即. 的值为，的值为. 故选：A. 13．【多选】（2026高一·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的概念，复数的加法，减法，乘法，除法运算法则，逐项计算即可判断正误. 【详解】因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故A正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为2，故B不正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故C正确； 因为复数，所以， 所以复数的虚部为，故D不正确. 故选：AC. 14．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【详解】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 15．【多选】（2026高一·四川遂宁·期末）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】根据虚部的概念判断A，求出共轭复数后利用乘法法则化简求解判断B，求复数的和判断C，根据纯虚数的概念求解判断D. 【详解】因为复数，所以虚部为，， 所以，， 若是实数，是纯虚数，则，解得， 故选项AB错误，CD正确. 故选：CD 16．（2026高一·江苏南京·专题练习）计算 . 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 17．（2026高一·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 18．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 19．（2026高一·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【详解】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 20．（2026高一·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出，得到答案； （2）将代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案. 【详解】（1），因为，所以， 故，所以. （2）是关于的方程的一个根， ，即. 所以，解得或，故或. 21．（2026高一·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. （2）因为，所以，， 则， 所以，. 则. 22．（2026高一·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 23．（2026高一·天津武清·月考）（1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1），（2），（3）. 【分析】（1）由复数乘法运算法则计算即可； （2）由复数的模的公式求解即可； （3）由复数的几何意义列不等式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）由题意，解得. 24．（2026高三·青海西宁·月考）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【详解】（1）因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. （2）因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 25．（2026高一·湖北·专题练习）设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据复数模的公式，列方程求解； （2）先计算，再根据复数的性质，列方程求解． 【详解】（1），， ，， ， ，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 26．（2026高三·安徽·期中）已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题12 复数的四则运算11题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 五、|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 六、复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2026高一·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2026高一·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 5．（2026高一·辽宁朝阳·月考）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 6．（2026高一·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 7．（2026高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 8．（2026·福建漳州·模拟预测）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 9．（2026高一·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2026高一·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·贵州六盘水·模拟预测）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 题型3：根据复数的加、减运算结果求参数 12．（2026高一·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高一·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 15．（2026高一·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 16．（2026高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 17．【多选】（2026高一·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 18．（2026高一·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型4：复数代数形式的乘法运算 19．（2026高三·江西景德镇·期末）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 20．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026高三·湖北咸宁·期末）复数的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 题型5：根据复数的乘法运算结果求参数 22．（2026高二·广西贺州·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026高三·云南普洱·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 24．（2026高三·浙江嘉兴·期末）在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型6：复数的高次运算 25．（2026高三·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 26．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 27．（2026高三·湖北武汉·期末）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．0 28．（2026高二·四川成都·期末）复数(其中为虚数单位)的虚部为（ ） A． B． C． D． 29．（2026高三·山东菏泽·月考）复数的实部与虚部之和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．2025 （四） 1.共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. （2）几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.      （3）性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数. 2.复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型7：共轭复数 30．（安徽省滁州市2025-2026学年高三学期第一次教学质量监测数学试题）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 31．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）在复平面内，若，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（云南省楚雄州2025-2026学年高三学期2月期末数学试题）设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．（2026高三·山东菏泽·期末）复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 34．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．2 35．【多选】（2026高三·安徽阜阳·期末）已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（   ） A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 题型8：复数代数形式的除法运算 36．（2026高三·江西·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 37．（2026高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 38．（2026高三·河南开封·月考）已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 39．（2026高一·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 题型9：根据复数的除法运算结果求参数 40．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 41．（2026·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 42．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 43．（2026·江苏·模拟预测）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型10：在复数范围内因式分解 45．（2026高一·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 46．（2026高一·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 47．（2026高一·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 48．（2026高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型11：在复数范围内解方程 49．（2026高二·上海宝山·期末）若是关于x的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 50．（2026高一·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 51．（2026高一·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 52．（2026高一·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 1．（2026高一·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（2026高一·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 3．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026高一·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2026高一·海南·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（安徽蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试数学试题）已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（河南濮阳市2026届高三第一次模拟考试数学试题）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（福建省漳州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D． 10．（2026高三·江西景德镇·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山东青岛·模拟预测）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 15．【多选】（2026高一·四川遂宁·期末）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 16．（2026高一·江苏南京·专题练习）计算 . 17．（2026高一·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 18．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（2026高一·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 20．（2026高一·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 21．（2026高一·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 22．（2026高一·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 23．（2026高一·天津武清·月考）（1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 24．（2026高三·青海西宁·月考）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 25．（2026高一·湖北·专题练习）设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 26．（2026高三·安徽·期中）已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $