三角函数的图象与性质、三角恒等变换 课件——2026届高三数学二轮专题复习

高考数学二轮复习—— 三角函数的图象与性质、 三角恒等变换 1 三角恒等变换 例1（1）已知 , 为锐角,, ,则 ( ) A. B. C. D.或 √ 2 [解析] 为锐角,, . ,, ,且 , 又,函数在 上单调递增, , , . 故选B. 3 （2）（多选题）[2025·山东聊城三模]已知 , ,则( ) A. B. C. D. √ √ 4 [解析] 对于A选项,由 , ,得 ,A错误； 对于B选项, ,B正确； 对于C选项,,所以 ,C正确； 对于D选项, ,D错误. 故选 . 5 【规律提炼】 1.公式活用.和差角：<m></m>,<m></m>展开后消元；二倍角：可 用降幂公式<m></m>简化高次项. 2.拆角与配凑.目标角拆分：<m></m> 等,再结合已知角求值； 齐次式处理：分式上下同除以<m></m> 化成<m></m> 形式. 3.正切应用：先利用<m></m>求正切值,再反推角度 关系. 6 自测题 1.[2025·安徽皖江名校联考]已知锐角 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. √ 7 [解析] 因为,所以, 因为 , 所以 , 所以 , 故选B. 8 2.[2025·湖北武汉四月调研]若,则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 由,可得,即 ,解得, 所以 . 故选A. √ 9 微点2 由解析式、图象探性质 例2 [2025· 全国二卷] 已知函数 , . （1）求 ; 解：因为且 ,所以 . 10 例2 [2025· 全国二卷] 已知函数 , . （2）设函数,求 的值域和单调区间. 解：由（1）知 , 所以 . 因为,所以的值域为 . 11 令 , , 得 , , 令 , , 得 , , 所以的单调递增区间为, , 单调递减区间为, . 自测题 1.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷]对于函数 和 ,下列说法正确的有( ) A.与 有相同的零点 B.与 有相同的最大值 C.与 有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴 √ √ 13 [解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1, 的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确； 因为, 所以将 的图象向右平移个单位长度可得的图象, 又, 所以与 的零点不相同,与 的图象的对称轴不相同, 故A,D均不正确. 故选 . 14 方法二：的最小正周期为 ,最大值为1, 的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确； 令 ,得,, 令,得,, 故 与的零点不相同,A不正确； 令,,得 , , 令,,得,, 故与 的图象的对称轴不相同,D不正确.故选 . 15 2.（多选题）[2025·福州模拟]函数 的 部分图象如图所示,则( ) A.的图象关于直线 对称 B.的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象 C.函数 的单调递增区间为, D.若方程在 上有且只有6个根,则 √ √ √ 16 [解析] 由函数 的部分 图象可知 ,且图象经过点, , 由①结合 ,得 , 代入②,可得 , , 即, , 由图知,函数的最小正周期 满足, 解得 , 所以,所以 . 17 对于A,由 为最小值, 得直线是 的图象的一条对称轴,故A正确； 对于B,由题意知 ,故B错误； 对于C,由题意知, 由, ,可得, , 所以 的单调递增区间为, ,故C正确； 对于D,由 ,可得, 设 ,由,可得 , 依题意,函数 的图象与直线在 上必有6个交点, 作出函数 的图象与直线 ,如图, 由图知,需使 ,解得,故D正确. 故选 . 微点3 已知性质求参数的值或范围 例3（1）[2025·苏州模拟]已知函数 的图象关于直线 对称, 且在上有最大值没有最小值,则 的值为( ) A. B. C. D. √ 20 [解析] , 当时,, 因为 在上有最大值没有最小值, 所以 ,解得, 又因为的图象关于直线 对称, 所以 ,,解得,, 所以当 时, 符合题意.故选D. 21 （2）[2023· 新课标Ⅰ卷] 已知函数 在区间 有且仅有3个零点,则 的取值范围是______. [解析] 因为,,所以, 若函数 在区间有且仅有3个零点,则需满足 , 所以 . 22 【规律提炼】 1.周期与单调性约束：由周期<m></m>求<m></m> ,再结合单调区间长度<m></m>列不 等式.例如：在<m></m>上单调,则<m></m>. 2.对称性与零点条件：对于函数<m></m>, 将对称轴或对称中心条件转化为<m></m>或<m></m> , <m></m>,代入范围求<m></m> ；利用整体法,结合正余弦函数在区间内的零 点分布列式. 23 自测题 1.[2025·江西赣州二模] 若函数在区间 上单 调,且,则正数 的值为___. 2 [解析] 因为函数在上单调,且 , 所以函数图象的一条对称轴的方程为,一个对称中心为 , 且, 所以 ,可得,故正数 的值为2. 24 2.[2025·山东齐鲁名校联考] 已知函数 ,若方程 在区间上恰有5个根,且在上单调递增,则实数 的取值范围为______. [解析] 由题意,, 由 , 可得, 则 或 ,. 25 由可得, 由在 上恰有5个根,可得, 解得 . 由,得, 即函数在 上单调递增, 所以,即且 ,解得, 所以实数 的取值范围为 . 26 ［备选理由］例1考查二倍角公式、弦化切、和差角正切公式化简求 值；例2考查三角函数图象的平移变换与性质；例3考查三角函数图 象的对称轴、对称中心和零点,先根据对称轴和对称中心求出 的 值,再求零点个数；例4考查由三角函数的单调性与对称轴求出 的 值,进而求该三角函数的其他性质；例5考查五点（作图）法以及由 函数的单调性求出 的值. 27 例1 ［配例1使用］[2025·云南昆明一模]若 , 则( ) A. B. C. D. √ 28 [解析] 等式左边 , 右边 , 所以 ,化简可得 , 即 ,所以 . 故选B. 29 例2 ［配例2使用］[2025·山西太原一模]将函数 的图象先向左平移 个单位长度,再 向上平移1个单位长度,所得的图象经过点,则 ( ) A. B. C. D. √ 30 [解析] 将函数的图象先向左平移 个单位长度, 再向上平移1个单位长度, 得到函数的图象. 当 时,,化简得 , 即,则 ,,解得,, 又因为,所以 . 故选C. 31 例3 ［配例3使用］[2025·浙江R6联盟联考]已知函数 ,且 , ,则在区间 内的零点至少有( ) A.4个 B.8个 C.10个 D.12个 √ 32 [解析] 因为,即 , 所以函数的图象关于点对称,所以 , . 因为,所以直线为函数 的图象的一条对称轴, 所以 , , 由①②得 ,,,即,, 要使 在区间内的零点最少,则最小正周期最大,所以 的值最小, 又因为,所以, 33 把代入①,得, ,即,, 又因为,所以 或. 当时,, 此时 在内的零点个数为12； 当 时,, 此时在 内的零点个数为12. 故选D. 例4 ［配例2、例3使用］（多选题）[2025·邯郸模拟]已知函数 在上单调递增,且 的图象关 于直线 对称,则下列说法正确的是( ) A.的最小正周期为 B. C.将的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 D.函数在 上没有零点 √ √ √ 35 [解析] 对于A,由得 , 因为函数在 上单调递增, ,解得 , 解得, 因为,所以,则 . 36 因为的图象关于直线对称,且 , 所以,则,所以, 则 的最小正周期 ,A正确. 对于B,因为 ,,所以,B错误. 对于C,将 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为 ,为偶函数,C正确. 对于D,,令 ,得, 令,由 ,得,所以, 又 , 所以函数的图象与直线 没有公共点,D正确. 故选 . 例5 ［配例3使用］[2025·辽宁丹 东二模] 已知函数 , . （1）若 为 的最小正周期, 用“五点法”画出在 内的 简图（如图）； 39 解： , 由 ,得 . 列表如下： 0 2 0 0 描点连线,得在 内的简图如图. 40 例5 ［配例3使用］[2025·辽宁丹东二模] 已知函数 , . （2）若在上单调递减,求. 41 解：方法一：由在 上单调递减,知, 因为,所以 ,解得 . 因为, ,所以 . 由得, , 由题意得,解得 . 42 方法二：因为,,所以 . 由题设知, , 故,解得, . 因为,所以,故 ,. 所以,故 . 43 $