精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期1月月考数学试卷 一、单选题 1. 全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 点是函数的图象的一个对称中心 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 区间是函数的一个单调增区间 D. 区间是函数的一个单调增区间 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 三、填空题 12. 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________． 13. 已知，当取得最大值时，xy的值是______． 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则_____，集合中所有元素之积为_____. 四、解答题 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数且的图象过点. （1）若函数，求在区间上的最值； （2）对于（1）中的，当时，不等式有解，求m的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，． （1）若函数在上单调，求实数的取值范围； （2）用表示，中的最小值，设函数，试讨论的图象与轴的交点个数． 19. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期1月月考数学试卷 一、单选题 1. 全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断Venn图表示集合，再利用集合运算即得结果. 【详解】由题意可知，阴影部分用集合表示为， 而，故，，. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn图，属于基础题. 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，解出不等式，即可得到结果. 【详解】由可得，，即 ， 又在上单调递增，所以有. 又若，则是真命题；若，则是假命题. 所以，“”是“” 的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，取特殊值，或构造函数逐项判断即可. 【详解】，不妨取a＝－3，b＝－2，则，故A错误； 函数在R上是增函数，故，故B错误； 函数在x<0时为减函数，故，故C错误； 函数在x<0时为减函数，故，故D正确. 故选：D. 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】=分别判断出的范围,比较大小即可. 【详解】，即，，即， ，即，所以. 故选：C. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解. 【详解】由题意函数定义域为全体实数， 且，所以函数是偶函数，排除CD， 当时，，排除A，经检验，B选项符合题意. 故选：B. 7. 某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意由指数函数模型求解即可； 【详解】由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2 000 mg该药物， x个小时后病人血液中这种药物的含量为， 故选：B. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，确定函数为奇函数，代入计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为， ，函数为奇函数， ，故， . 故选：D. 二、多选题 9. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得集合中的元素均为负数，结合选项得答案. 【详解】“”为真命题，则， “”为假命题，则“，”为真命题. 由上可知，集合的元素均为负数， 集合可以是A、B. 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 点是函数的图象的一个对称中心 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 区间是函数的一个单调增区间 D. 区间是函数的一个单调增区间 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，计算出，故点不是函数的图象的一个对称中心；B选项，计算出，B正确；C选项，计算出，C错误；D选项，时，，得到，得到D正确. 【详解】A选项， ， 由于不恒成立，故点不是函数的图象的一个对称中心，A错误； B选项， ， 故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确； C选项，，， 显然，故区间不是函数的一个单调递增区间，C错误； D选项，时，恒成立， 故， 时，， 由于在上单调递增， 故是函数的一个单调增区间，D正确. 故选：BD 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为奇函数可得，取即可判断A，由为偶函数可得即可判断B；利用周期性判断C，利用周期性和对称性并结合题意求解单调性判断D即可. 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； 对于B，因为为偶函数，所以， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，而，得到， 则，而，即， 可得，故， 得到是周期为4的周期函数， 由周期性可得，故C错误， 对于D，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，由中心对称性可得在上单调递增， 由轴对称性可得在上单调递减， 由中心对称性可得在上单调递减， 由周期性可得在上单调递减， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题 12. 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答. 【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为， 而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为， 所以此弧田的面积为. 故答案为： 13. 已知，当取得最大值时，xy的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质，结合基本不等式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 因为， 所以，当且仅当时取等号，即当时取等号， 因为， 所以由 ， 所以当时，取得最大值， 所以. 故答案为： 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则_____，集合中所有元素之积为_____. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积. 【详解】函数， 则； ， 因此函数的周期为， 则， 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，， 因此集合为，， 所以集合中所有元素之积为. 故答案为：； 四、解答题 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）时，直接求即可； （2）由直接得到不等式，求解即可. 【小问1详解】 由题意可得. 当时， 则，. 【小问2详解】 显然恒成立， 则，若，需或， 解得或. 综上，a的取值范围是. 16. 已知函数且的图象过点. （1）若函数，求在区间上的最值； （2）对于（1）中的，当时，不等式有解，求m的取值范围. 【答案】（1）最大值为2，最小值为；（2）. 【解析】 【分析】（1）由函数过点求参数a，根据已知得，即可求在上的最值； （2）将问题转化为在上，结合对数不等式、一元二次不等式的解法求参数m的范围. 【详解】由条件可得：，得：. ∴，即. 当时，， ∴，， ∴在区间上的最大值为2，最小值为； 由知，当时，，不等式有解， 即，. ∴，即，得：或， ∴实数m的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛： （1）由对数函数过点求参数，进而写出的解析式，并求闭区间上的最值； （2）将不等式有解问题转化为在对应区间内有成立，求参数范围. 17. 已知函数. （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，是偶函数.理由： 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数. （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可说明； （2）首先将不等式因式分解，再讨论两根的关系，即可求解不等式； （3）首先不等式参变分离为，转化为求最值问题，方法一，换元后，利用基本不等式求最值，方法二，不换元，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 所以. 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 因为“在区间上恒成立”等价于“在上恒成立”，所以. 方法1： 令，则. 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以时取等号. 所以，所以， 所以实数的范围是. 方法2：，， 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以. 所以. 所以实数的范围是. 18. 已知函数，． （1）若函数在上单调，求实数的取值范围； （2）用表示，中的最小值，设函数，试讨论的图象与轴的交点个数． 【答案】（1）； （2）当时，有1个交点； 当时，有2个交点；当时，有3个交点． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和区间之间的关系，列出不等式关系，求解即可； （2）对参数进行分类讨论，结合的函数值范围，以及二次函数的特点，求解即可. 【小问1详解】 ，其对称轴为， 若在单调递增，则，得； 若在上单调递减，则，得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 当时，；当时，； 当时，， 由题意知此时的图象与轴无交点， 下面讨论在上与轴的交点个数. ①当在上恒成立，有，得， 此时的图象与轴的交点为，即的图象与轴有个交点； ②当时，， 此时的图象与轴的交点为和，即的图象与轴有个交点； ③ 当时，的对称轴，判别式， （ⅰ）当，得时， 此时的图象在上与轴有两个交点，故的图象与轴共有个交点； （ⅱ）当，得时， 此时的图象与轴的交点为和，即的图象与轴有个交点； （ⅲ）当，得时， 此时的图象在上与轴有个交点，故的图象与轴共有个交点． 综上，当时，有1个交点； 当时，有2个交点；当时，有3个交点． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的单调性，以及二次函数的零点问题；其中处理第二问的关键是能够结合题意，将讨论的重心回归到二次函数在区间上，属综合困难题. 19. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式与三角函数基本关系化简即可得； （2）借助三角函数中商数关系将弦化切后计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $