1.3 导数在研究函数中的应用 第三课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“三次函数的性质——单调区间和极值”，通过复习二次函数配方法导入，以导数法为工具衔接二次函数与三次函数的研究方法，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生系统掌握核心知识。 其亮点在于运用分类讨论（三种单调性情况）、表格对比（导数符号与单调性对应表）及步骤化例题（如例1用判别式分析导数符号，例2列表求最值），体现数学思维与数学语言的结合。学生能提升逻辑推理与抽象能力，教师可借助结构化内容高效实施教学。

1.3 导数在研究函数中的应用 第三课时 情景与问题 三次函数的性质——单调区间和极值 二次函数 三次函数的性质——单调区间和极值 配方法: 单调递减 单调递增 研究二次函数的性质 三次函数的性质——单调区间和极值 导数法: 当 当时 当 单调递减 单调递增 知识讲解 三次函数的性质——单调区间和极值 高次函数的性质 单调区间和极值点一一列出 算出函数的导数 求出导函数的零点 一目了然 三次函数的性质——单调区间和极值 函数的导数法来研究函数的性质 三次函数的导数 二次函数 设 则是二次函数 是非常容易求出的 二次函数的零点 导数公式 三次函数的性质——单调区间和极值 情况1: 函数没有零点,在上不变号,如图 (1)若,则恒为正数 在上递增 (2)若,则恒为负数 在上递减 ,则是二次函数 可能有以下三种情况: 三次函数的性质——单调区间和极值 情况2: 函数有一个零点,,如图 (1)若,则在上恒为正数,在上递增 (2)若,则在上恒为负数,在上递减 三次函数的性质——单调区间和极值 情况3: 函数有两个零点,和,设 如图,根据二次函数的性质可得: (1)若,则在和上为正数,在上为负数,对应地,在上递增,在上递减,在上递增,可见在处取极大值,在处取极小值 (2)若,则在和上为负,在上为正对应地,在上递减,在上递增,在上递减,可见在处取极小值,在处取极大值 三次函数的性质——单调区间和极值 函数有两个零点,和,设 如图,根据二次函数的性质可得: 情况3: 问题解决 三次函数的性质——单调区间和极值 令,得或 求下列函数的单调区间和极值 解:(1)因为: 所以:恒为正,在上单调递增因此没有极值 函数过点(1,0),(2,0) 例1 三次函数的性质——单调区间和极值 1 (1,2) 2 (2,) 0 + 0 递减 极小值0 递增 极大值1 递减 和将区间分为三个区间,列表如下: 所以在和上单调递减,在(1,2)上单调递增,因而极大值为1,极小值为0 三次函数的性质——单调区间和极值 三次函数的性质——单调区间和极值 函数在某区间的极值 我们该如何求函数在某闭区间上的最大值或最小值？ 函数在某区间上哪个值最大？哪个值最小？ 三次函数的性质——单调区间和极值 并进行比较大小,就可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值 有最大值和最小值 函数在上的最值 必在极值点或区间端点处取得 三次函数的性质——单调区间和极值 解: 求导得.令,则, 求函数在区间上的最大值和最小值 例2 -1 + 0 - 0 + 递增 极小值 递减 极小值 递增 由于和都在区间内,所以可列表如下: 三次函数的性质——单调区间和极值 函数在上最大值为 ,最小值为-1 又 将它们与极值进行大小比较可得到 三次函数的性质——单调区间和极值 三次函数的性质——单调区间和极值 一般地,求函数在上的最值得步骤为： (1)求函数在(,)内的极值 (2)求函数在端点处的函数值, (3)求函数的各极值与,的值进行大小比较 其中最大者就是最大值,最小者就是最小值 谢谢观看 $