专题 8.4 梯形（知识梳理+题型精析+中考模拟真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.4 梯形（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】梯形的定义 1 ★【题型 1】梯形定义的理解 2 【知识点二】等腰梯形的性质 2 ★★【题型 2】利用等腰梯形性质求值证明 2 【知识点三】梯形的中位线 3 ★★【题型 3】利用梯形的中位线求值证明 3 【知识点四】等腰梯形的判定 5 ★★【题型 4】等腰梯形的判定辨析 5 ★★【题型 5】等腰梯形的判定 5 【知识点五】等腰梯形作辅助线方法 6 ★★【题型 6】等腰梯形性质与判定求值证明——作高 7 ★★【题型 7】等腰梯形性质与判定求值证明——作腰的平行线 8 ★★【题型 8】等腰梯形性质与判定求值证明——作对角线的平行线 8 ★★【题型 9】等腰梯形性质与判定求值证明——过腰的中点作平行线（或延长相交线） 9 二.中考真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（2题） 11 （三）填空题（2题） 12 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】梯形的定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，叫作梯形. 【特别说明】判定一个四边形是梯形时，必须说明两点：（1）一组对边平行；（2）另一组对边 不平行，所以，只有一组对边平行的四边形是梯形。 ★【题型 1】梯形定义的理解 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【变式2】（23-24九年级上·上海·月考）一组对边平行的四边形是梯形是 ．（选题“随机事件”或“必然事件”） 【知识点二】等腰梯形的性质 （1） 等腰梯形的两腰相等；（2）等腰梯形的两底角相等； （3）等腰梯形的对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形。 ★★【题型 2】利用等腰梯形性质求值证明 【例题2】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【知识点三】梯形的中位线 梯形两腰中点的连线叫作梯形的中位线； 梯形中位线平行于两底并等于两底的和的一半. ★★【题型 3】利用梯形的中位线求值证明 【例题3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面的内容： 求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半． 已知：中、分别是、的中点． 求证：，且． 证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示： ， ，， 又， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且， ，且． 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考例题证明梯形的中位线性质． 已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点． 求证：________________． 证明：_____________________． 【变式1】（2023·辽宁鞍山·一模）已知梯形的上底长为，下底长为，则此梯形中位线长为 ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3cm，则梯形AB+CD为 cm． 【知识点四】等腰梯形的判定 （1） 两腰相等的梯形是等腰梯形； （2） 同一直线上两底角相等的梯形是等腰梯形； （3） 对角线相等的梯形是等腰梯形； （4） 对角互补的梯形是等腰梯形。 ★★【题型 4】等腰梯形的判定辨析 【例题4】（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【变式1】（2024·上海黄浦·三模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【变式2】（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． ★★【题型 5】等腰梯形的判定 【例题5】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 【知识点五】等腰梯形作辅助线方法 类型 图形 作法 本质 与高有关 过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC点F（简称双作高）. 把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形. 与腰有关 过点D作DE平行于AB交BC于点E。 把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 延长两腰 把梯形转化为两底平行的三角形 与对角线有关 过一点作对角线的平行线 把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 与腰的中点有关 连接上底一顶点和另一腰中点并延长和另一底边延长线交于一点 把梯形转化为一个三角形 过一腰的中点作另一腰的平行线交两底（或延长线）于两点 把梯形转化为平行四边形 ★★【题型 6】等腰梯形性质与判定求值证明——作高 【例题6】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． ★★【题型 7】等腰梯形性质与判定求值证明——作腰的平行线 【例题7】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 【变式1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【变式2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． ★★【题型 8】等腰梯形性质与判定求值证明——作对角线的平行线 【例题8】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【变式1】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【变式2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      【变式3】（23-24八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是 ． ★★【题型 9】等腰梯形性质与判定求值证明——过腰的中点作平行线（或延长相交线） 【例题9】（23-24九年级上·上海·月考）如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为 . 【变式1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如图，在梯形中，点E是的中点，，，，，梯形的面积为（    ）    A．20 B．30 C．40 D．50 【变式2】（23-24九年级·浙江温州·月考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是（ ） A．10 B．20 C．1  D40 二.中考模型真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·上海·二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 2．（2023·上海普陀·二模）如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．直角梯形 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 4．（2024·四川遂宁·二模）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （二）填空题（2题） 7．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则 ． 8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则线段的长 ． （三）填空题（2题） 9．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.4 梯形（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】梯形的定义 1 ★【题型 1】梯形定义的理解 2 【知识点二】等腰梯形的性质 3 ★★【题型 2】利用等腰梯形性质求值证明 3 【知识点三】梯形的中位线 6 ★★【题型 3】利用梯形的中位线求值证明 6 【知识点四】等腰梯形的判定 11 ★★【题型 4】等腰梯形的判定辨析 11 ★★【题型 5】等腰梯形的判定 13 【知识点五】等腰梯形作辅助线方法 16 ★★【题型 6】等腰梯形性质与判定求值证明——作高 17 ★★【题型 7】等腰梯形性质与判定求值证明——作腰的平行线 21 ★★【题型 8】等腰梯形性质与判定求值证明——作对角线的平行线 24 ★★【题型 9】等腰梯形性质与判定求值证明——过腰的中点作平行线（或延长相交线） 29 二.中考模拟真题 33 （一）单选题（6题） 33 （二）填空题（2题） 38 （三）填空题（2题） 40 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】梯形的定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，叫作梯形. 【特别说明】判定一个四边形是梯形时，必须说明两点：（1）一组对边平行；（2）另一组对边 不平行，所以，只有一组对边平行的四边形是梯形。 ★【题型 1】梯形定义的理解 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【答案】 平行 不平行 【分析】本题考查了梯形的定义，就是只有一组对边平行的四边形是梯形． 根据梯形的定义，梯形是只有一组对边平行的四边形，因此一组对边互相平行，另一组对边不平行． 解：梯形是指一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形． 故答案为：平行；不平行． 【变式2】（23-24九年级上·上海·月考）一组对边平行的四边形是梯形是 ．（选题“随机事件”或“必然事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，梯形的概念，直接根据一组对边平行的四边形可能是梯形，也可能是平行四边形判断即可. 解：∵一组对边平行的四边形可能是梯形，也可能是平行四边形， ∴一组对边平行的四边形是梯形是随机事件， 故答案为：随机事件． 【知识点二】等腰梯形的性质 （1） 等腰梯形的两腰相等；（2）等腰梯形的两底角相等； （3）等腰梯形的对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形。 ★★【题型 2】利用等腰梯形性质求值证明 【例题2】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰梯形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据等腰梯形的性质得，再根据“等边对等角”，得，进而得到，根据“同位角相等，两直线平行”，得，因，根据平行四边形判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论，解题的关键是利用等腰三角形的性质，根据平行线的判定定理，证得； （2）根据三角形内角和定理，得，已知，，即可得，进而证得，根据矩形的判定定理“有一个角为直角的平行四边形是矩形”，即可证得结论，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理，证得． （1）证明：在梯形中，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半；等腰三角形的判定等知识，熟练掌握梯形的中位线定理是解题关键．先根据梯形的中位线定理可得，，，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，从而可得，然后根据梯形的周长公式求解即可得． 解：∵是梯形的中位线，， ∴，，， ∴， ∵和的平分线相交于梯形中位线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的周长为， 故答案为：12． 【变式2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【答案】 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 【知识点三】梯形的中位线 梯形两腰中点的连线叫作梯形的中位线； 梯形中位线平行于两底并等于两底的和的一半. ★★【题型 3】利用梯形的中位线求值证明 【例题3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面的内容： 求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半． 已知：中、分别是、的中点． 求证：，且． 证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示： ， ，， 又， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且， ，且． 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考例题证明梯形的中位线性质． 已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点． 求证：________________． 证明：_____________________． 【答案】证明见解析 【分析】连接并延长，交延长线于，如图所示，由平行线性质得到，再由两个三角形全等的判定与性质得到，，在中，根据三角形中位线的判定与性质即可得证． 求证：，且． 证明：连接并延长，交延长线于，如图所示： ， ， 是腰的中点， ， ， ， ，， 在中，是腰的中点，是腰的中点，即是的中位线， ，且， 又， ，且． 【点睛】本题考查阅读理解、涉及平行线性质、中点定义、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，读懂题意，掌握题中的证明方法，结合三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【变式1】（2023·辽宁鞍山·一模）已知梯形的上底长为，下底长为，则此梯形中位线长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了梯形中位线定理．根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得中位线的长． 解：由已知得，梯形的中位线长． 故答案为：5． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 【变式3】 如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3cm，则梯形AB+CD为 cm． 【答案】12 【分析】根据题意利用角平分线的性质和梯形中位线性质，可求出BE=EP，而AE=BE，所以AB=2EP，同理CD=2DF，所以可求出AB+CD的长，再利用梯形中位线定理可求出上下底之和，进而即可求出梯形周长． 解：∵EF是梯形中位线， ∴EF∥BC，AD+BC=2EF=6， ∴∠EPB=∠PBC， 又∵BP是∠ABC的角平分线， ∴∠EBP=∠PBC， ∴∠EBP=∠EPB， ∴BE=EP， 又∵E是AB中点， ∴AE=BE， ∴AB=2EP， 同理CD=2FP， ∴AB+CD=2（EP+FP）=2EF=6， ∴梯形周长=AD+BC+AB+CD=6+6=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查角平分线性质和梯形中位线定理以及梯形周长公式，熟练掌握并根据梯形中位线定理和等腰三角形的判定以及性质进行解答是解题的关键． 【知识点四】等腰梯形的判定 （1） 两腰相等的梯形是等腰梯形； （2） 同一直线上两底角相等的梯形是等腰梯形； （3） 对角线相等的梯形是等腰梯形； （4） 对角互补的梯形是等腰梯形。 ★★【题型 4】等腰梯形的判定辨析 【例题4】（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 【变式1】（2024·上海黄浦·三模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式2】（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出． A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误； 故选C． ★★【题型 5】等腰梯形的判定 【例题5】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． （1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． （1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】根据题意推出，证明得出，，进而证明，即可得证． 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 【知识点五】等腰梯形作辅助线方法 类型 图形 作法 本质 与高有关 过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC点F（简称双作高）. 把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形. 与腰有关 过点D作DE平行于AB交BC于点E。 把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 延长两腰 把梯形转化为两底平行的三角形 与对角线有关 过一点作对角线的平行线 把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 与腰的中点有关 连接上底一顶点和另一腰中点并延长和另一底边延长线交于一点 把梯形转化为一个三角形 过一腰的中点作另一腰的平行线交两底（或延长线）于两点 把梯形转化为平行四边形 ★★【题型 6】等腰梯形性质与判定求值证明——作高 【例题6】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． （1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了图形中的动点问题，利用一元一次方程解决几何问题，平行四边形和等腰梯形的性质的内容，解题的关键是几何特殊图形判定线段相等． 先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可． 解：根据题意，点运动到点需要12秒，点运动到点需要秒， 假设经过了，，根据题意得， ①当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； ②如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ， ， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． ★★【题型 7】等腰梯形性质与判定求值证明——作腰的平行线 【例题7】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 【变式1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 【变式2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． ★★【题型 8】等腰梯形性质与判定求值证明——作对角线的平行线 【例题8】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 【变式1】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【答案】6 【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解． 解：过作交延长线于点，则，   ， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ，即， ， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      【答案】 【分析】根据等腰梯形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 解：过D点作，交BC的延长线于E， ∴， ∵， ∴， 在等腰梯形中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即梯形的上下底之和等于， 故答案为：．      【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是根据等腰梯形的对角线长度相等解答． 【变式3】（23-24八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，直角三角形的性质； 作交的延长线于点F，证明四边形是平行四边形，再根据四边形为等腰梯形，推出为等腰直角三角形，根据直角三角形的性质求出的长即可求解． 解：如图，作交的延长线于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． ★★【题型 9】等腰梯形性质与判定求值证明——过腰的中点作平行线（或延长相交线） 【例题9】（23-24九年级上·上海·月考）如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为 . 【答案】 【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决． 解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 过作于于， 则， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是梯形和勾股定理，解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如图，在梯形中，点E是的中点，，，，，梯形的面积为（    ）    A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】延长、交于点．根据可以证明，则，；根据，得①，根据勾股定理，得②，联立求得的值，即可求得梯形的面积． 解：延长、交于点． ， ，． 又， ． ，． 又，， ①，②． ． 梯形的面积为． 故选：B．    【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及完全平方公式的运用． 【变式2】（23-24九年级·浙江温州·月考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是（ ） A．10 B．20 C．1  D40 【答案】B 【分析】作延长DE交AB延长线上点H，过点H作HM⊥FE，交FE的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HMFA的面积，即可求解． 解：延长DE交AB延长线上点H，过点H作HM⊥FE，交FE的延长线上于点M， ∵CD∥AB，E是BC中点， ∴∠EBH=∠C，CE=BE， 在△DCE和△HBE中， ， ∴△DCE≌△HBE， ∴DE=EH，即点E也是DH的中点， ∵∠M=∠DFE=90°， ∴MH∥AD， 在△DEF和△HEM中， ∴△DEF≌△HEM， ∴HM=DF，EM=EF=5， ∴HM+AF=DF+AF=AD=4，FM=FE+EM=2EF=10， ∴梯形ABCD与梯形HMFA的面积相等， S梯形HMFA=（HM+AF）×FM=×4×10=20． 故选B． 【点睛】本题考查了梯形的知识，关键是利用全等三角形的判定把梯形ABCD的面积转化为梯形AFMH的面积，要熟练全等三角形的判定定理． 二.中考模型真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·上海·二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据等腰梯形的性质、中位线定理以及菱形的判定，可推出四边形为菱形． 解：如图所示，等腰梯形中，，，分别是、的中点，连接． E、F分别是的中点， ， 同理，可得：， 又等腰梯形， ， ， 四边形是菱形． 故选A． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定，熟练掌握这些性质与定理是解此题的关键． 2．（2023·上海普陀·二模）如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】根据矩形、正方形，等腰梯形的对角线相等，即可求解． 解：∵矩形、正方形，等腰梯形的对角线相等 ∴如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是直角梯形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形、正方形，等腰梯形的性质，熟练掌握矩形、正方形，等腰梯形的性质是解题的关键． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，等腰梯形的性质，根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 解：等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：B． 4．（2024·四川遂宁·二模）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 5．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． （二）填空题（2题） 7．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则线段的长 ． 【答案】 【分析】作， 交延长线于点E，作于点F，得到四边形是矩形，四边形是等腰梯形，设，则，，推出，得到，解方程，求得，在和中，利用勾股定理即可求解． 解：作， 交延长线于点E，作于点F， 则， ∵， ∴，且四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形、梯形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （三）填空题（2题） 9．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． （1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． （1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，，， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $