精品解析：湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标． 【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为． 故选：B． 2. 已知在空间直角坐标系中，点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此即可得解. 【详解】因为关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数， 所以在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为. 故选：A. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为直线与垂直， 则，即，解得. 故选：B. 4. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解． 【详解】等比数列的首项为1，，， 即，解得， . 故选：C. 5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，再根据，即可得到，从而求出渐近线方程； 【详解】解：因为双曲线的离心率为2，即，又，所以，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为； 故选：A 6. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（3局2胜制）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示该局比赛甲获胜，当出现随机数4，5时，表示该局比赛乙获胜；现每3个随机数为一组，产生了20组随机数： 125 423 223 345 134 453 521 342 152 542 534 442 512 541 155 412 334 152 121 354 若设事件“甲获得冠军”，记这次利用计算机模拟试验所得到的事件的概率为，记事件的概率精确值为，则两者之间大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过独立事件概率公式求出事件的概率精确值，根据20组随机数中甲获胜的频率得到，通过比较和的值求解. 【详解】由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：125 423 223 134 521 342 152 512 412 334 152 121 有12组，所以甲获胜的频率为，即； 甲获得冠军精确概率为，， 故， 故选：B 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质可知，进而将目标式子化为，代入求值即可. 【详解】根据反比例函数性质可知， 故 . 故选：B. 8. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，从而得到答案. 【详解】事件：“两个奇数”或“两个偶数”；事件：“1个奇数1个偶数”或“两个偶数”； 可得：，且事件与事件不互斥； ：即2个偶数，故即事件与事件不相互独立； ：包含所有基本事件，故. 故选 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式结合题意列方程组即可求出，可判断AB；再利用等差数列的前项和公式可判断CD. 【详解】由题意得，解得， 故A错误，B正确； ，故C正确； ， ， 故，故D错误. 故选：BC. 10. （多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的轨迹方程为（且） B. 若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 D. 若，则点的轨迹方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式，结合已知条件列出关于的等式，然后化简等式得到轨迹方程，再根据方程的形式判断轨迹的形状. 【详解】，，且； 选项A中，，即（且），故A正确； 选项B中，，即（且），故B正确； 选项C中，，即（且），其轨迹为双曲线的一部分，故C错误； 选项D中知，，即，又因为， 解得（），故D正确. 故选：ABD 11. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为等比数列 C. 记数列的前项和为，则 D. 记数列的前项和为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明，即可判断；对于B，利用求出时，，即可判断；对于C，利用裂项相消法求出，即可判断；对于D，通过作差法得到为递增数列，即可判断. 【详解】对于A，， 而， 所以，所以为常数列，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 当时，，而， 所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，当时，，此时， 则， ， 因为，则，所以，故C正确； 对于D，记， ， 当时，，则， 所以为递增数列，当时，最小，最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角的大小是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据方程求斜率，根据斜率的定义可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角是. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，，，，则线段的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量法，将用已知向量，，表示出来，再通过向量模长公式计算的长度. 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则可得： ， 因为，， 所以， 所以， 展开可得：， 又因为，， 所以， ， ， 则， 所以. 故答案为：. 14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，， 再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为， 延长交双曲线于点， 因为，由对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知， 化简得，所以， 则椭圆的离心率为， 又椭圆的离心率的取值范围为，所以， 又，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某文具店推出“盲盒抽奖”活动，共有个外观完全相同的盲盒，其中个为一等奖，个为二等奖，个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒，每次抽取个. （1）求顾客“第二次才抽到一等奖”的概率； （2）求顾客“在前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记一等奖盲盒记为，二等奖盲盒记为、，三等奖盲盒记为、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 设一等奖盲盒记为，二等奖盲盒记为、，三等奖盲盒记为、， 样本空间为 ，所以， 记事件：第二次才抽到一等奖，则，则， 故，即第二次才抽到一等奖的概率为. 【小问2详解】 记事件前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖， 则，则， 故， 即前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求相关向量坐标，然后用向量法求异面直线所成角的余弦值； （2）求出平面与平面的法向量，再利用平面夹角的向量公式进行求解. 【小问1详解】 平面，，， 又四边形为正方形，， 以为坐标原点，，，所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设直线与所成角为， 则，，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为. 易知平面，取， 又，， 由，令，则， 所以， 又因为，所以， 故平面与平面的夹角大小为. 17. 已知圆，点，以线段为直径的圆与圆交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设直线与轴交于点，是否存在过点的直线与圆交于，两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）先根据圆心及半径得出圆的标准方程，再联立得出圆的交点，进而得出公共弦所在直线方程； （2）先求出到直线的距离为，再分斜率存在及不存在设直线，应用点到直线距离计算求参数即可求解直线. 【小问1详解】 以为直径的圆的圆心为，半径为， 故方程为，整理得， 联立，即，解得或， 不妨设，，所以， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得直线的方程为，令得，故点的坐标为， 因为，圆的半径为，所以， 设到直线的距离为，则. ①当直线的斜率不存在时，到直线的距离为，不符题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 到直线的距离为，解得， 故存在这样的直线，方程为或. 18. 已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为. （i）求数列的前项和； （ii）若对所有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出数列公差求出通项公式. （2）（i）由（1）的结论，按奇偶分类探讨与项间关系，求出的通项，再按奇偶求出；（ii）按奇偶分类讨论，结合数列单调性求出的范围. 【小问1详解】 依题意，数列的首项为1，公差为， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 （i）依题意，，，即， 当为偶数时， ； 当为奇数时，； 所以. （ii）， 当为奇数时，， 此时数列为递增数列，因此，则，即； 当为偶数时，， 此时为递减数列，因此，则，即， 所以实数的取值范围是. 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，若圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且，为弧的中点，点满足，点为线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. （i）求出曲线的标准方程； （ii）已知曲线与轴的交点分别为，，点为曲线上一点，且不在坐标轴上，直线，分别与轴交于点，，若的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）方法一：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法求解；方法二：设，连接，证明平面，即为直线与平面所成角，求即可； （2）（i）由题意可知曲线为椭圆，且焦点在轴，该椭圆的方程为，其中，求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出，即可求出答案；（ii）求出和，得，根据函数的单调性及的范围即可求解. 【小问1详解】 方法一：因为为圆的一条直径，且为弧的中点，则， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 因为，则，， 则，，，，， 因为，则， 故，，， 设平面的法向量为， 由令，则，， 则，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 方法二：，且为的中点，， 设，连接， 因为为等边三角形，则为的中心， 则，， 平面，平面，， 为圆的一条直径，且为弧的中点，则， 又，平面，平面 又平面，， ，， 又且，平面， 平面， 即直线与平面所成角， 在中，，， ，，. 【小问2详解】 （i）由（1）知，直线与平面所成角的正弦值为，即大小为， 而为等边三角形，易知直线与圆锥母线所成的角为，故曲线为椭圆， 且椭圆的焦点在上，即在轴上， 设该椭圆的方程为， ，故； 由（1）可得，，， 易得，即，且， 设的中点为，易得，，故， 故点在平面内的坐标为， 因为点在曲线上，故有 故曲线的标准方程为. （ii）设，不妨设，， 直线的方程为，令，， 直线方程为，令，， 得到， ， 故，其中， 而在上单调递减，故， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知在空间直角坐标系中，点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1或 5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（3局2胜制）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示该局比赛甲获胜，当出现随机数4，5时，表示该局比赛乙获胜；现每3个随机数为一组，产生了20组随机数： 125 423 223 345 134 453 521 342 152 542 534 442 512 541 155 412 334 152 121 354 若设事件“甲获得冠军”，记这次利用计算机模拟试验所得到的事件的概率为，记事件的概率精确值为，则两者之间大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C D. 10. （多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，斜率分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的轨迹方程为（且） B. 若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 D. 若，则点的轨迹方程为 11. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为等比数列 C. 记数列前项和为，则 D. 记数列的前项和为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角的大小是______. 13. 在平行六面体中，，，，则线段的长度为__________. 14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某文具店推出“盲盒抽奖”活动，共有个外观完全相同的盲盒，其中个为一等奖，个为二等奖，个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒，每次抽取个. （1）求顾客“第二次才抽到一等奖”的概率； （2）求顾客“在前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖”的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，平面，，为的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面的夹角的大小. 17. 已知圆，点，以线段为直径的圆与圆交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设直线与轴交于点，是否存在过点的直线与圆交于，两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 18. 已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列. （1）求数列通项公式； （2）从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为. （i）求数列的前项和； （ii）若对所有的成立，求实数的取值范围. 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，若圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且，为弧的中点，点满足，点为线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. （i）求出曲线的标准方程； （ii）已知曲线与轴的交点分别为，，点为曲线上一点，且不在坐标轴上，直线，分别与轴交于点，，若的面积为，的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $