精品解析：河北沧州市海兴县中学等多校2025-2026学年高二上学期阶段总结数学试题

河北沧州市海兴县中学等多校2025-2026学年高二上学期阶段总结数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】，则， 则是公比为2的等比数列， ∴， 故选：D． 2. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，令，可得函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是. 故选：C. 4. 已知向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】用向量加法的坐标运算判断A，用向量模的坐标运算判断B，用向量数量积的坐标运算判断C，由，可判断D. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 5. 已知数列中，，则数列前2026项的和为（ ） A. 0 B. 2026 C. 2027 D. 4054 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为， 所以，，，，， 所以数列是周期为4的周期数列，且， 所以． 故选：C． 6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量数量积求向量的模. 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 若数列满足，其前项和为，则（ ） A. 是递增数列 B. 当且仅当时，取得最小值 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由数列的单调性及项的正负来判断选项即可． 【详解】因为数列均为递增数列，所以数列为递增数列，A正确； 因为， 故当时，；当时，，当时，， 又为递增数列， 所以无最大值，但有最小值，在和时取得最小值且，所以BC错误，D正确． 故选：AD． 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到关于对称，若选项A成立，则有关于点对称，从而与条件不符，即可判断出选项A的正误；选项B，利用条件得到，整理得到，即可判断出选项B的正误；选项C，根据条件得到，再由选项A知，即可得到，即可得出选项C的正误；选项D，由选项C可得，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为为偶函数，所以， 即，所以关于对称， 若为偶函数，则，所以， 所以关于点对称，这与关于对称矛盾，所以选项A错误； 对于选项B，因为为偶函数，所以， 所以当时，，即为奇函数，所以选项B正确； 对于选项C，因为为偶函数，即， 所以，所以， 由，得， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由，得，所以，故选项D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由已知，得，所以， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 13. 若双曲线的一条渐近线被圆所截的弦长为，则双曲线的渐近线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出圆心到渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的值，即可得出双曲线的渐近线的方程. 【详解】圆心为，圆的半径为，所以圆心到渐近线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，解得， 故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆心坐标代入直线方程后可求圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离为半径可求切线方程，注意斜率不存在的情形. 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为圆的圆心在直线上，所以，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，若数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系得到数列的递推关系，再根据求出的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，， 整理得，即， 又，所以， 所以，从而．（累乘法也可） 【小问2详解】 因为， 所以 ． 17. 已知图1是由矩形ABCD 和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2． （1）证明：平面平面BCP； （2）若，求平面 ACP与平面BCP的夹角的大小． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得和平面，即可得面面垂直； （2）作辅助线，可得平面，建系标点，分别求平面 ACP与平面BCP的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由题意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面， 则平面，且平面，可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面， 所以平面平面BCP. 【小问2详解】 取的中点分别为，在半圆弧上取点，使得， 可知，且平面，则平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，则， 可得， 可知平面BCP的一个法向量为， 因为， 设平面ACP的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面 ACP与平面BCP的夹角为， 则，可得， 所以平面 ACP与平面BCP的夹角的大小为. 18. 设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，根据向量的坐标运算以及抛物线的定义，建立方程组，可得答案； （2）①利用分类讨论，分直线斜率是否存在两种情况，表示出直线，联立抛物线方程，写出韦达定理，结合抛物线定义以及圆性质，整理代数式，利用基本不等式，可得答案； ②同①写出韦达定理，根据中点坐标公式，利用点斜式方程，可得答案. 【小问1详解】 由抛物线，则，准线方程为， 由为上三个不同的点，设， 则， 由，则， 由， 且，则， 所以，解得，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由题意作图如下： 由，整理可得，则圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则， 将代入圆，解得，则， 所以，此时； 当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设 联立可得，消去整理可得， ，， 易知，， 所以， 由，则，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最小值为. ②证明：由题意可作图如下： 由题意可知直线斜率存在且不为零，可设该直线方程为， 由①可得，设，则， 由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为， 联立，消去整理可得， ， 设，则， 设，且线段的中点分别为， 则，， ，， 当时，直线斜率存在，直线的斜率， 可得方程为，则， 整理可得， 令，解得，所以直线过定点. 当时，直线斜率不存在，易知， 直线的方程为，此时直线过； 综上所述，所以直线过定点. 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【小问3详解】 证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北沧州市海兴县中学等多校2025-2026学年高二上学期阶段总结数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 2. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 3 4. 已知向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 5. 已知数列中，，则数列前2026项的和为（ ） A 0 B. 2026 C. 2027 D. 4054 6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若数列满足，其前项和为，则（ ） A. 是递增数列 B. 当且仅当时，取得最小值 C 当且仅当时，取得最大值 D. 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数图象在处的切线方程是____________． 13. 若双曲线的一条渐近线被圆所截的弦长为，则双曲线的渐近线方程为_____________． 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为，若数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知图1是由矩形ABCD 和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2． （1）证明：平面平面BCP； （2）若，求平面 ACP与平面BCP的夹角的大小． 18. 设为抛物线焦点，为上三个不同的点，且，． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $