4.2～4.3全等三角形、探索三角形全等的条件寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

4.2～4.3全等三角形、探索三角形全等的条件寒假预习讲义 ☘ 课前预习目标 ◆明确“全等”的本质是“形状和大小完全相同”，记住全等三角形的表示方法（如△ABC ≌ △DEF）及对应顶点、对应边、对应角的概念，能在简单图形中找出全等三角形的对应元素； ◆ 提前熟悉4种通用判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形专用判定方法（HL）的名称及符号表示，能初步区分不同方法的边、角条件特征； ◆通过观察、动手操作（如用刻度尺、量角器绘制三角形），尝试思考“满足什么条件的两个三角形能保证全等”，初步体会“三角形稳定性”与SSS判定的关联。 ◆ 能在 简单的几何图形中（含公共边、公共角、对顶角的图形），尝试找出可能用于判定全等的隐含条件，培养观察图形的能力。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．即对应边的长度相等，对应角的度数相等．（如上图） 【知识点2】全等三角形表示方法 全等用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”．如果三角形 ABC 与三角形 DEF 全等，记作 “△ABC≌△DEF” 【知识点3】全等三角形相关元素 1．对应顶点：两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点．在△ABC≌△DEF 中，点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别是对应顶点． 2．对应边：互相重合的边叫做对应边．在△ABC≌△DEF 中，AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 分别是对应边． 3．对应角：互相重合的角叫做对应角．在△ABC≌△DEF 中，∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 分别是对应角． 【知识点4】全等三角形性质 性质1：对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 性质2：对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 拓展性质： 1：对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 2：对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 3：对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 4：周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 5：面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 【知识点5】三角形的稳定性 1．三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． （2）四边形具有不稳定性． 2．三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 【知识点6】三角形全等的判定方法 1． 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 几何证明： 如图：在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C’（SSS） 2．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 几何证明：如图，在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C（SAS） 3.角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 几何证明：如图， 如果∠A=∠，AB=，∠B=∠，则△ABC≌△．              4． 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 5． 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形） 【易错点提醒】 （1）三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但△ABC和△ADE不全等．这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等． （2） 两边和其中一边的对角相等，（三角形形状不唯一）不能判定全等。 ✅ 核心考点★精讲讲练 题型1全等三角形的概念 例1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 变式1．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念．根据全等三角形的概念求解即可． 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 变式2．如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 题型2全等三角形的性质 例2．如图， ， 则 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 根据三角形全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．如图，点在同一条直线上，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找准对应边是解题的关键．根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 变式2．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型3将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 例3．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式1．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】解：所作图形如下所示： 变式2．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： ． 题型4用SSS证明三角形全等(SSS) 例4．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，以为公共边可以画3个三角形，以为公共边可以画2个三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边， 故选：B． 变式1．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为：． 变式2．如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 题型5用SSS间接证明三角形全等（SSS） 例5．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 变式1．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 变式2．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 题型6全等的性质和SSS综合（SSS） 例6．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】在和， ， ， ． 故选：B． 变式1．如图，，，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的“”判定方法是解决本题的关键． 先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． ． 题型7尺规作图—作三角形 例7．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 变式1．已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 变式2．如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 题型8三角形的稳定性及应用 例8．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断图形是否由三角形构成即可确定其稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断每个图形是否由三角形构成，从而确定其稳定性． 【详解】解：观察题目中的四个图形： ①：是一个被一条对边上两点连线分割的四边形，整体结构仍由四边形构成，不具有整体稳定性； ②：是一个被两条对角线分割的四边形，形成了四个三角形，由于完全由三角形构成，具有稳定性； ③：是一个被分割成多个三角形的多边形，所有基本单元都是三角形，因此具有稳定性； ④：是一个梯形，未被分割，属于四边形，不具备稳定性； 因此，具有稳定性的图形是 ②和③． 故选：B． 变式1．每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 变式2．综合与实践 生活中的数学 去学校的路上，淘淘发现路边的一根电线杆两侧对称地拉着钢绳（如图1），他很快明白了其中的道理． 提出问题 淘淘来到学校，看到学校的旗杆两侧并没有拉着钢绳，于是提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？ 实践操作 如图2，淘淘找来两根5米长的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A处，另一端分别固定在地面的两个木桩，上（两个本桩和旗杆在同一平面内，绳结处的长度误差忽略不计），淘淘现只有一把卷尺． 解决问题 (1)如图1，电线杆两侧对称地拉着钢绳是为了防止电线杆倾倒，这样做是利用了______． (2)如图2，需要用卷尺测量哪些线段的长度？ (3)如图2，当测量出的线段满足什么条件时，旗杆是垂直于地面的？并说明理由． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)和 (3)满足，理由见解析 【分析】本题考查三角形的稳定性、全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质是解答的关键． （1）根据三角形的稳定性可得答案； （2）根据全等三角形的判定，只需测量和的长度即可； （3）根据全等三角形的判定与性质，证明，利用全等三角形的对应角相等得到可得结论． 【详解】（1）解：根据三角形具有稳定性，电线杆两侧对称地拉着钢绳是为了防止电线杆倾倒，这样做是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：只需测量和的长度； （3）解：当时，旗杆是垂直于地面的． 理由：由题意，， 在和中， ， ∴， ∴， 则． 题型9四边形的不稳定性 例9．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性， 故选：C． 变式1．如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性，根据四边形具有不稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，四边形具有不稳定性； 故答案为：不稳定性 变式2．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 题型10用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS） 例10．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据判断三角形全等可得结论． 【详解】解：，， ， 在△和△中， ， ， ． 故选：C． 变式1．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 【详解】解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 变式2．如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)(或)，理由见解析 【分析】本题考查“一线三垂直”模型下的全等三角形判定与性质，关键是利用同角的余角相等得到角相等，结合已知边相等证明全等，再通过全等的对应边推导线段数量关系． （1）通过垂直关系得到直角，结合直角三角形的余角相等，找到全等的角和边，用判定全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，将线段转化为与的和，再代入对应边得到数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：数量关系为．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴，即． 题型11全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 例11．如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的几种判定方法是解题的关键；易证，则有，，从而可判断①③正确；由即可证明，从而可判断④正确；条件不足，无法判断②正确，最后即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故①③正确． 又∵，，， ∴； 故④正确； 由于条件不足，无法证得，故②错误； 故正确的结论有：①③④； 故选：A． 变式1．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边的等量代换是解题关键． 利用平行四边形性质结合证，得，再结合平行四边形周长求出，然后将四边形周长转化为，进而解得． 【详解】解： 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形的周长为， ，即， 四边形的周长为， ． 故答案为：． 变式2．如图，，，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，，得到，利用证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 题型12用SAS证明三角形全等（SAS） 例12．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 变式1．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 变式2．已知：如图，点在线段上，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意得到，运用边角边即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴． 题型13用SAS间接证明三角形全等 例13．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 变式1．如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 变式2．如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型14全等的性质和SAS综合（SAS） 例14．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 变式1．小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据判定三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应高相等． 连接、，通过证明，得到对应高相等，继而得到点到地面的距离． 【详解】解：如图，连接、， 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴当点到达点，则点到地面的距离为：． 故答案为：． 变式2．如图，与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 利用判定，从而根据全等三角形的对应角相等得出． 【详解】解：相等，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴． 题型15灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 例15．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 变式1．下列条件，能判定两个直角三角形全等的是 （填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据每个条件逐一判断是否满足全等条件即可． 【详解】解：①：两个锐角对应相等，缺少边的对应关系，不能判定两个直角三角形全等，故①错误； ②：两条直角边对应相等，且夹角为直角，符合“边角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故②正确； ③：斜边和一直角边对应相等，符合“斜边直角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故③正确； ④：一锐角和斜边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”定理，故④正确； ⑤：一锐角和一直角边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”或“角边角”定理，故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 变式2．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型16结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 例16．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 变式1．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 变式2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 题型17利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 例17．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 变式1．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 变式2．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】解：∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 2．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 3．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，全等三角形的判定与性质，根据作图步骤得到线段相等是解题的关键．由作图知，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 故选：B． 4．我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 5．如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（   ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性，是解题的关键．根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：木门板是四边形，钉上一个加固板，变成了两个三角形，根据三角形的稳定性，可得答案是A． 故选：A． 6．如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及利用判定三角形全等是解题的关键．根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定义得到直角，再通过证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别是、的高， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，有一池塘，要测池塘两端、的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是、的距离，其中的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等的性质和判定，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，根据全等三角形的性质，再作出判断． 【详解】解：在与中， ， 所以， 所以， 即量出的长就是、的距离， 故选：A． 8．如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 9．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 10．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、符合判定方法，能判定与全等； B、不符合全等三角形的判定方法，不能判定与全等； C、符合判定方法，能判定与全等； D、符合全等三角形的判定方法，能判定与全等． 故选：B． 11．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 二、填空题 12．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据作图得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 13．如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论： （填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 14．如图，，若，，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：7． 15．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 16．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 去． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 17．如图，已知，，，则 ，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 根据证明与全等即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故答案为：，． 18．如图，在四边形中，，，连接，在射线、上存在两动点、，满足，若，当的值最小时，则 ．（用，表示） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当三点共线时，的值最小， 如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在的延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 19．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则 °．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 三、解答题 20．如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． （2）解：． ， ， ． 21．如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键． （1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（） （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 22．如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 23．如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． (1)如图①，求证：； (2)图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)图②中；图③中 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证，再证明≌，即可得出结论； （2）先证，再证明≌，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； （2）解：图②：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； 图③：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴． 24．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2～4.3全等三角形、探索三角形全等的条件寒假预习讲义 ☘ 课前预习目标 ◆明确“全等”的本质是“形状和大小完全相同”，记住全等三角形的表示方法（如△ABC ≌ △DEF）及对应顶点、对应边、对应角的概念，能在简单图形中找出全等三角形的对应元素； ◆ 提前熟悉4种通用判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形专用判定方法（HL）的名称及符号表示，能初步区分不同方法的边、角条件特征； ◆通过观察、动手操作（如用刻度尺、量角器绘制三角形），尝试思考“满足什么条件的两个三角形能保证全等”，初步体会“三角形稳定性”与SSS判定的关联。 ◆ 能在 简单的几何图形中（含公共边、公共角、对顶角的图形），尝试找出可能用于判定全等的隐含条件，培养观察图形的能力。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．即对应边的长度相等，对应角的度数相等．（如上图） 【知识点2】全等三角形表示方法 全等用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”．如果三角形 ABC 与三角形 DEF 全等，记作 “△ABC≌△DEF” 【知识点3】全等三角形相关元素 1．对应顶点：两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点．在△ABC≌△DEF 中，点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别是对应顶点． 2．对应边：互相重合的边叫做对应边．在△ABC≌△DEF 中，AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 分别是对应边． 3．对应角：互相重合的角叫做对应角．在△ABC≌△DEF 中，∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 分别是对应角． 【知识点4】全等三角形性质 性质1：对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 性质2：对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 拓展性质： 1：对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 2：对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 3：对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 4：周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 5：面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 【知识点5】三角形的稳定性 1．三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． （2）四边形具有不稳定性． 2．三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 【知识点6】三角形全等的判定方法 1． 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 几何证明： 如图：在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C’（SSS） 2．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 几何证明：如图，在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C（SAS） 3.角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 几何证明：如图， 如果∠A=∠，AB=，∠B=∠，则△ABC≌△．              4． 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 5． 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形） 【易错点提醒】 （1）三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但△ABC和△ADE不全等．这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等． （2） 两边和其中一边的对角相等，（三角形形状不唯一）不能判定全等。 ✅ 核心考点★精讲讲练 题型1全等三角形的概念 例1．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 变式2．如图，已知．写出对应边、对应角． 题型2全等三角形的性质 例2．如图， ， 则 的长度为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点在同一条直线上，，，则的长为 ． 变式2．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 题型3将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 例3．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 变式1．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 变式2．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 题型4用SSS证明三角形全等(SSS) 例4．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是 ． 变式2．如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 题型5用SSS间接证明三角形全等（SSS） 例5．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 变式1．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 变式2．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 题型6全等的性质和SSS综合（SSS） 例6．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 变式1．如图，，，，则 ． 变式2．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 题型7尺规作图—作三角形 例7．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 变式1．已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 步（填序号）． 变式2．如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 题型8三角形的稳定性及应用 例8．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 变式1．每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是 ． 变式2．综合与实践 生活中的数学 去学校的路上，淘淘发现路边的一根电线杆两侧对称地拉着钢绳（如图1），他很快明白了其中的道理． 提出问题 淘淘来到学校，看到学校的旗杆两侧并没有拉着钢绳，于是提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？ 实践操作 如图2，淘淘找来两根5米长的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A处，另一端分别固定在地面的两个木桩，上（两个本桩和旗杆在同一平面内，绳结处的长度误差忽略不计），淘淘现只有一把卷尺． 解决问题 (1)如图1，电线杆两侧对称地拉着钢绳是为了防止电线杆倾倒，这样做是利用了______． (2)如图2，需要用卷尺测量哪些线段的长度？ (3)如图2，当测量出的线段满足什么条件时，旗杆是垂直于地面的？并说明理由． 题型9四边形的不稳定性 例9．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 变式2．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 题型10用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS） 例10．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为 ． 变式2．如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 题型11全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 例11．如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 变式1．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是 ． 变式2．如图，，，， 求证：． 又∵， 题型12用SAS证明三角形全等（SAS） 例12．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 变式2．已知：如图，点在线段上，．求证：． 题型13用SAS间接证明三角形全等 例13．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 变式2．如图，，，求证：平分． 题型14全等的性质和SAS综合（SAS） 例14．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 变式1．小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为 ． 变式2．如图，与相等吗？请说明理由． 题型15灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 例15．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列条件，能判定两个直角三角形全等的是 （填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 变式2．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 题型16结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 例16．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 变式1．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 变式2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 题型17利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 例17．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 变式2．如图所示是一个的正方形，求的度数． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 2．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（   ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 6．如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 7．如图，有一池塘，要测池塘两端、的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是、的距离，其中的依据是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 11．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 二、填空题 12．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ． 13．如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论： （填序号）． 14．如图，，若，，，则的长为 ． 15．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是 ． 16．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 去． 17．如图，已知，，，则 ，理由是 ． 18．如图，在四边形中，，，连接，在射线、上存在两动点、，满足，若，当的值最小时，则 ．（用，表示） 19．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则 °．      三、解答题 20．如图，点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接和，直接写出和之间的数量关系． 21．如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 22．如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 23．如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． (1)如图①，求证：； (2)图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 24．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $