精品解析：浙江衢州市2025-2026学年第一学期教学质量检测高一数学试题

浙江衢州市2025-2026学年第一学期教学质量检测高一数学试题 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 幂函数图象过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 定义在上的函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. [0，1] D. 8. 已知，且，则最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是其图象的对称中心 D. 是其图象的对称轴 10. 已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有两个不相等的正实数根m，n，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. ，都有 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，则____________． 13. 碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 14. 已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直角坐标系xOy中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且x，y满足． （1）求； （2）求的值． 16. 已知函数，为任意实数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的最小值． 17 已知函数． （1）求函数的最大值及此时的取值集合； （2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象． （i）求的解析式； （ii）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数（为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，且满足． （1）求不等式的解集； （2）求实数的取值范围． 19. 设集合存在实数a，b，使得定义域内任意都有． （1）当，证明：； （2）若的定义域为，且，当时，，方程是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由； （3）已知函数定义在上，，且恒大于0，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江衢州市2025-2026学年第一学期教学质量检测高一数学试题 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】集合， 则. 故选：C. 2. 幂函数图象过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】因幂函数图象过点，可得，解得. 故选：B. 3. 已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可以采用常数比较大小法，与0和1比较. 【详解】，,所以 故选：C 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数和对数函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知，若，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，且，可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又由，所以的最大值为. 故选：A. 7. 定义在上的函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. [0，1] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得为奇函数，且为单调递增函数，把不等式转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又由，可得函数为递增函数， 则不等式，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以等式两边同时除以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是其图象的对称中心 D. 是其图象的对称轴 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简，计算可判断A，D；由函数的奇偶性可判断B；求可判断C. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，，所以是其图象的对称中心，故C正确； 对于D，，所以不是图象的对称轴，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数，设， 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，则，所以， 故A，B，C，D错误； 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，则，所以， 故A，B正确，C，D错误； 故选：AB. 11. 已知函数，若方程有两个不相等的正实数根m，n，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. ，都有 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义与判定方法，可判定B错误，当时，求得函数在上单调递增，在上单调递减，得到的单调性，可判定C正确；结合单调性，求得的最值，可判定A正确；画出函数的图象，不妨设，结合图象，得到，再由基本不等式，可判定D正确. 【详解】由函数定义域为，且， 所以函数是奇函数，所以B错误． 当时，， 因为与单调递增，且单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数为奇函数，可得在上递增，在上递减， 则函数在上递增，所以，都有，所以C正确； 由，且，当时，，所以函数， 所以，所以A正确； 画出函数的图象，如图所示，不妨设， 当时，； 当时，有，所以， 即， 因为，所以，可得， 又因为，在上单调递增，所以， 所以，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合诱导公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得，所以， 又由. 故答案为：. 13. 碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 【答案】 【解析】 【分析】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒），根据所给条件及对数的运算性质求出，即可得解. 【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，令，得到，求得，得到函数，且在上单调递增，求得，结合恒成立，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 设，则且， 令，可得，所以，即， 可得为该方程唯一解，所以，且在上单调递增， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直角坐标系xOy中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且x，y满足． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由三角函数定义，得到，结合，求得，即可求解； 法二：由三角函数定义得，化简，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简为“齐次式”，代入计算，即可得到答案. 【小问1详解】 解：因为角的终边与单位圆相交于点， 由三角函数定义得， 因为，则，可得，则； 法二：由三角函数定义得， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知：， 故. 16. 已知函数，为任意实数． （1）若恒成立，求实数取值范围； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由恒成立，即，根据二次函数的性质，得到，即可求解； （2）由，可得其图像开口向上，且对称轴方程为，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 因为恒成立，即，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由函数，可得其图像开口向上，且对称轴方程为， ①当时，即时，在单调递增，则； ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； ③当时，即时，单调递减，则， 综上：函数的最小值. 17. 已知函数． （1）求函数的最大值及此时的取值集合； （2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象． （i）求的解析式； （ii）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）3；的取值集合为； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）（i）由（1）知，利用三角函数的图象变换法则，即可求解； （ii）转化为在上恰有一个解，设，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 所以函数的最大值， 令，解得， 所以的取值集合为. 【小问2详解】 解：（i）由（1）知：， 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位， 可得； （ii）因为函数在上恰有一个零点， 即方程在上恰有一个解， 即方程在上恰有一个解. 设，因为，可得， 当时，即时，单调递增； 当时，即时，单调递减， ，且， 要使得上恰有一个解， 即函数与的图象在上恰有一个交点， 结合图象，可得的取值范围为． 18. 已知函数（为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，且满足． （1）求不等式的解集； （2）求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，分为和两种情况分别求解不等式即可得到答案； （2）根据题意可判断方程在上有一个根，在上有两个根，利用根的分布列不等式组即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 当时，，即，故时不等式恒成立； 当时，，故； 综上解集为； 【小问2详解】 当时，由得，解得， 则方程在上最多一个根， 当时，由得，即， 则方程在上最多两个根， 由题可知，方程有三个不同的实数解， 则方程在上有一个根，在上有两个根， 设方程在上的两个根为， 则，， 设方程在上的根为， 又因为， 所以，所以， 所以，，， 得到， 所以，那么，解得， 则，故实数的取值范围为. 19. 设集合存在实数a，b，使得定义域内任意都有． （1）当，证明：； （2）若的定义域为，且，当时，，方程是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由； （3）已知函数定义在上，，且恒大于0，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）方程无整数解，理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接证明即可； （2）利用求出时的解析式，然后结合单调性即可求解； （3）参变分离，分，，讨论即可 【小问1详解】 当时，，所以，； 【小问2详解】 不存在． 若，则，当时，， 则， 故， 当时，都是减函数， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增， 所以，且，故； 当时，在上单调递增，且，由，故； 所以，函数在上单调递增. 又因为． 所以，方程无整数解． 【小问3详解】 由得，， ①当时，，而恒大于0，则，满足； ②当时，， 令，恒成立，于是恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，， 则， 由得，， 令，则， 故恒成立，所以， 由在上单调递增，得，所以， 由（当且仅当时取等号）， 所以，故， 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $