第08讲 导数的运算（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第08讲 导数的运算 知识清单 知识点01：基本初等函数的导数公式 知识点02：导数的运算法则 知识点03：复合函数的导数 题型讲解 （举三反三） 题型1：基本初等函数的导数公式 题型2：导数的运算法则 题型3：导数的加减法 题型4：导数的乘除法 题型5：简单复合函数的导数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 知识点02导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 知识点03复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型1：基本初等函数的导数公式 【例1-1】（25-26高二上·山西·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数及其导函数满足，则 . 【例1-3】（24-25高二下·重庆合川·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【变式1-3】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型2：导数的运算法则 【例2-1】（25-26高二上·河北沧州·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）若函数，则 . 【例2-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古阿拉善·期末）已知函数，则其导数（   ） A．0 B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知函数，则 . 【变式2-3】（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 题型3：导数的加减法 【例3-1】（24-25高二下·福建·期中）已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例3-2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数，则 【例3-3】（2025高二·全国·专题练习）已知曲线上一点，若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围． 【变式3-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【变式3-3】已知函数在处的切线斜率为，且，,求的值． 题型4：导数的乘除法 【例4-1】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 【例4-3】（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数. (1) (2) 【变式4-1】（24-25高二下·陕西渭南·期末）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．0 【变式4-2】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【变式4-3】（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数 (1) (2) 题型5：简单复合函数的导数 【例5-1】（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【例5-3】（25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【变式5-3】（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 一、单选题 1．（25-26高二上·福建泉州·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二下·天津西青·期末）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·重庆·月考）下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 8．（24-25高二下·湖北恩施·期末）计算（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．（25-26高二上·福建厦门·期末）下列求导运算错误的是（） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北武汉·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期中）函数的导数 ． 13．（25-26高二上·安徽·期末）已知为函数的导函数，若，则 ． 14．（24-25高二下·江苏·期中）若函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·河北·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 16．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 17．求下列函数的导数． (1)①；②；③； (2)①；②； (3)①；②；③． 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，记，…，，…，求. 19．（24-25高二下·福建莆田·月考）设函数. (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)当时，，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 导数的运算 知识清单 知识点01：基本初等函数的导数公式 知识点02：导数的运算法则 知识点03：复合函数的导数 题型讲解 （举三反三） 题型1：基本初等函数的导数公式 题型2：导数的运算法则 题型3：导数的加减法 题型4：导数的乘除法 题型5：简单复合函数的导数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 知识点02导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 知识点03复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型1：基本初等函数的导数公式 【例1-1】（25-26高二上·山西·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可. 【详解】，A错误． ，B错误． ，C正确． 错误． 故选; C. 【例1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数及其导函数满足，则 . 【答案】/ 【分析】对求导后将，代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二下·重庆合川·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切点的坐标. 【详解】（1）因为，求导得，故， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为， 故所求切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得，即，解得或， 故所求切点的坐标为或. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【答案】/0.25 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数； （4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数； （5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数. 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 题型2：导数的运算法则 【例2-1】（25-26高二上·河北沧州·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导后代入即可求得的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 故选：A. 【例2-2】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）若函数，则 . 【答案】6 【分析】求得导函数，可求. 【详解】由， 得 ， . 故答案为：. 【例2-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （2）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （3）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古阿拉善·期末）已知函数，则其导数（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的导数及导数的四则运算计算即可. 【详解】根据导数的四则运算法则可知，. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知函数，则 . 【答案】- 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，得， 则. 故答案为：-. 【变式2-3】（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)，． (3)． (4)． 【分析】由导数的四则运算求导即可. 【详解】（1）． （2），． （3） （4）． 题型3：导数的加减法 【例3-1】（24-25高二下·福建·期中）已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】通过函数求导代入即可求得参数值. 【详解】∵，∴，解得：. 故选：C. 【例3-2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数，则 【答案】 【分析】先求出导函数，再赋值即可解出的值. 【详解】由可得导函数， 令可得，解得. 故答案为：. 【例3-3】（2025高二·全国·专题练习）已知曲线上一点，若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，解得或，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】对函数求导得， 设切点为，所以过点的切线的斜率， 故切线的方程为， 将点代入，得， 化简可得，即， 解得或． 因为曲线过点的切线有两条，所以，即． 故实数的取值范围为． 【变式3-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与相切即可求解； 【详解】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为， 由，则，所以切线方程为， 则，解得，则，所以. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【答案】35 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】由已知，则，所以当时. 故答案为：35. 【变式3-3】已知函数在处的切线斜率为，且，,求的值． 【答案】，， 【分析】由导数得几何意义求解即可. 【详解】, 由于函数在处的切线斜率为， 所以，又，所以， ,所以，解得，，. 题型4：导数的乘除法 【例4-1】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 【例4-2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 【答案】 【分析】求导，设切点，得到切线方程，代入，得到方程有两个不相等的实数根，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 且切线过点，则， 即，， 由题意可得，方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 故答案为：. 【例4-3】（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据题意结合导数的四则运算法则运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为， 所以. 【变式4-1】（24-25高二下·陕西渭南·期末）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义和运算法则计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以曲线在处的切线的斜率， 故选：B 【变式4-2】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数得除法运算即可求出第一空；设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】当时，， 则， 由， 得， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 整理得：， 因为切线有两条， 所以，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 【变式4-3】（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数和求导法则直接求导即可. 【详解】（1）. （2）. 题型5：简单复合函数的导数 【例5-1】（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项A: ，故A错； 选项B: ，故B对； 选项C：，故C对； 选项D: ，故D对. 故选：A. 【例5-2】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 【例5-3】（25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由导数的四则运算即可求解； （2）由导数的四则运算即可求解； （3）由正弦二倍角公式化简，再由导数的四则运算即可求解； （4）由导数的四则运算和简单复合函数的求导法则即可求解 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以； （4）因为，所以. 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出切点，由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解. 【详解】由题，， 所以切点为，在切点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【详解】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 一、单选题 1．（25-26高二上·福建泉州·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则可得. 【详解】对A：根据指数函数的导数得，所以A错误； 对B：，所以B错误； 对于C：，所以C正确； 对于D：由常数的导数等于0，所以，故D错误； 故选：C 2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，代入求值即可. 【详解】，故. 故选：C 3．（24-25高二下·天津西青·期末）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本函数导数计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 4．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先求出导函数，再将代入即可求解. 【详解】由题，， 将代入，可得， 故选：D 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程. 【详解】由题意，，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A 6．（24-25高二下·重庆·月考）下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式直接得解. 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：D. 7．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，设切点为，再由切线方程为，把点代入计算得到切线方程即可． 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 8．（24-25高二下·湖北恩施·期末）计算（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】令，根据导数的概念，可求解. 【详解】设，，， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·福建厦门·期末）下列求导运算错误的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 10．（25-26高二上·湖北武汉·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项，利用求导法则可判断AD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 11．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本初等函数的导数逐项判断即可. 【详解】，A错误；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期中）函数的导数 ． 【答案】/ 【分析】根据基本初等函数的导数可求. 【详解】， 故答案为： 13．（25-26高二上·安徽·期末）已知为函数的导函数，若，则 ． 【答案】/ 【分析】求出导函数即可计算求解. 【详解】由题可得，所以. 故答案为： 14．（24-25高二下·江苏·期中）若函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果. 【详解】由，得， 则点处的切线的斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二下·河北·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 16．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用基本初等函数求导公式和积的求导法则求解即可 （2）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 （3）利用基本初等函数求导公式和商的求导法则求解即可 （4）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 【详解】（1）（1） （2）因为， 所以 （3） （4） 17．求下列函数的导数． (1)①；②；③； (2)①；②； (3)①；②；③． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据题意结合初等函数导函数运算求解； （2）根据题意结合导数的乘、除法运算求解； （3）根据题意利用复合函数的链式求导法则运算求解. 【详解】（1）①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以. （2）①因为，所以； ②因为，所以. （3）①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，记，…，，…，求. 【答案】 【分析】根据题意求出前几项，发现周期性，利用分组求和可求解. 【详解】由题意，，，， ，， 则， 所以 . 故答案为：. 19．（24-25高二下·福建莆田·月考）设函数. (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意知，在区间上单调递增，恒成立，借助于导函数的最小值，即可求值； （2）首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为函数，，的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，得， 又在区间上单调递增，所以当时，恒成立， 令，则，且在上单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减， 当时，，故单调递增， 所以当时，有最小值，， 又，即，解得. （2）当时，， 整理得，，因为，所以， 当，，对于任意的值都成立； 当时，即，设，， 所以， 令，得， 当时，，单调递增， 时，取得最小值，， 即时，恒成立， 所以，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $