小升初奥数培优讲义专题07 奇偶性分析及应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 通用版

该小学数学小升初复习教案聚焦奇偶性分析及应用专题，涵盖奇偶性定义、运算性质、分析方法及小升初四大应用场景，通过知识梳理构建认知框架，典型例题解析（如乘积奇偶性比较、得分总和证明）结合跟踪训练与提升练习，系统突破考点。 亮点在于融合反证法、染色法等创新策略，如用“翻转杯子”问题训练状态守恒思维，“标准线段条数判断”培养推理意识，帮助学生用数学眼光观察规律、用数学思维解决实际问题，教师可依托分层练习精准教学，助力学生高效掌握奇偶性应用，提升小升初应试能力。

专题07 奇偶性分析及应用 知识梳理 1. 奇数与偶数的定义 (1) 奇数：不能被2整除的整数，可表示为2k+1（k为整数） (2) 偶数：能被2整除的整数，可表示为2k（k为整数） (3) 特别注意：0是偶数（因为0能被2整除） 2. 奇偶性基本运算性质 (1) 加减法： 偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=偶数 偶数±奇数=奇数 (2) 乘法： 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 (3) 重要推论： 偶数个奇数的和或差是偶数 奇数个奇数的和或差是奇数 任意多个偶数的和或差是偶数 3. 奇偶性分析的常用方法 (1) 反证法：假设某种情况存在，导出奇偶矛盾 (2) 状态守恒：操作前后奇偶性不变 (3) 染色法：用黑白交替染色揭示奇偶规律 (4) 定性分析：先判断"能不能这么做"，再动手计算 4. 奇偶性在小升初考试中的应用 (1) 基础计算：判断和、差、积的奇偶性 (2) 操作问题：翻转杯子、移动棋子等操作的可行性 (3) 组合问题：数字组合、分组问题 (4) 实际应用：结合生活场景的逻辑推理 例题讲解 【典型例题1】 题目：用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？ 【跟踪训练1】 题目：有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到多少个不同的和？ 【典型例题2】 题目：某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。 【跟踪训练2】 题目：5只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？ 【典型例题3】 题目：线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入1991个分点，每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得1992条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？ 【跟踪训练3】 题目：东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 = 13 × 75 + 64，他做得对吗？ 提升练习 1.算式 的结果是奇数还是偶数？ 2.三个连续自然数的乘积是210，这三个数的和是奇数还是偶数？ 3.如果 是奇数， 是偶数，那么 是奇数还是偶数？ 4.在1到100的所有自然数中，所有奇数的和与所有偶数的和的差是奇数还是偶数？ 5.判断等式 是否成立（利用奇偶性分析）。 6.有7盏灯全部亮着，规定每次拨动4盏灯的开关（亮变灭，灭变亮），能否经过若干次拨动后，使所有灯都熄灭？ 7.9个小朋友站成一排，每个人要么面向东，要么面向西。规定每次让其中8个人向后转（面向变背向），能否经过若干次后，所有人都面向西？ 8.有10个自然数排成一排，已知其中任意相邻三个数的和都是偶数。如果第一个数是奇数，第二个数是偶数，那么这10个数的和是奇数还是偶数？ 9.有9个杯子杯口朝上放在桌子上。每次翻转其中的4个杯子，称为一次操作。能否经过若干次操作，使所有杯子都杯口朝下？ 10.能否将自然数1到10分成两组，使得第一组数的和比第二组数的和大10？ 11.一个图书馆有100盏电灯，每盏灯有一个拉线开关控制（拉一下开，再拉一下关）。开始时所有灯都是关着的。有100个学生依次进入图书馆，第一个学生拉所有编号是1的倍数的灯；第二个学生拉所有编号是2的倍数的灯；第三个学生拉所有编号是3的倍数的灯；……；第100个学生拉所有编号是100的倍数的灯。问最后有多少盏灯是亮着的？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 奇偶性分析及应用 知识梳理 1. 奇数与偶数的定义 (1) 奇数：不能被2整除的整数，可表示为2k+1（k为整数） (2) 偶数：能被2整除的整数，可表示为2k（k为整数） (3) 特别注意：0是偶数（因为0能被2整除） 2. 奇偶性基本运算性质 (1) 加减法： 偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=偶数 偶数±奇数=奇数 (2) 乘法： 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 (3) 重要推论： 偶数个奇数的和或差是偶数 奇数个奇数的和或差是奇数 任意多个偶数的和或差是偶数 3. 奇偶性分析的常用方法 (1) 反证法：假设某种情况存在，导出奇偶矛盾 (2) 状态守恒：操作前后奇偶性不变 (3) 染色法：用黑白交替染色揭示奇偶规律 (4) 定性分析：先判断"能不能这么做"，再动手计算 4. 奇偶性在小升初考试中的应用 (1) 基础计算：判断和、差、积的奇偶性 (2) 操作问题：翻转杯子、移动棋子等操作的可行性 (3) 组合问题：数字组合、分组问题 (4) 实际应用：结合生活场景的逻辑推理 例题讲解 【典型例题1】 题目：用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？ 答案：乘积中是偶数多 分析：判断乘积奇偶性的关键是看因数中是否含有偶数。如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。 详解： 在1、2、3、4、5中，奇数有1、3、5（共3个），偶数有2、4（共2个） 两个奇数相乘得到奇数积：1×3、1×5、3×5，共3个不同的奇数积 偶数积包括：偶数×偶数和偶数×奇数 偶数×偶数：2×4，共1个 偶数×奇数：2×1、2×3、2×5、4×1、4×3、4×5，共6个 因此，偶数积共有7个，奇数积有3个 7 > 3，所以乘积中是偶数多 【跟踪训练1】 题目：有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到多少个不同的和？ 答案：23个不同的和 分析：甲组全为奇数，乙组全为偶数，奇数加偶数结果必为奇数，需要找出所有可能的奇数和的范围。 详解： 甲组有12个奇数（1到23的奇数），乙组有12个偶数（2到24的偶数） 甲组最小数为1，最大数为23；乙组最小数为2，最大数为24 两数和的最小值：1+2=3 两数和的最大值：23+24=47 由于奇数+偶数=奇数，所以和的范围是3到47之间的所有奇数 3到47之间的奇数有：3,5,7,…,47 这是一个等差数列，首项为3，末项为47，公差为2 项数=(47-3)÷2+1=23 因此，能得到23个不同的和 【典型例题2】 题目：某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。 答案：该班同学得分总和一定是偶数 分析：通过分析基础分和各种操作对分数奇偶性的影响，证明最终分数必为偶数。 详解： 如果50道题都答对，共可得50×3=150分，是一个偶数 每答错一道题，分数变化为：3-(-1)=4分，即减少4分 4是偶数，不管答错多少道题，减少的总分都是4的倍数，即偶数 每不答一道题，分数变化为：3-1=2分，即减少2分 2是偶数，不管不答多少道题，减少的总分都是2的倍数，即偶数 偶数减去偶数，结果仍然是偶数 因此，无论答错或不答多少题，最终得分都是偶数 该班所有同学的得分都是偶数，偶数之和仍为偶数 所以，该班同学得分总和一定是偶数 【跟踪训练2】 题目：5只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？ 答案：不能 分析：通过分析翻转次数与杯子状态变化的关系，判断是否可能达到目标状态。 详解： 一只杯口朝上的杯子，要使它朝下，必须翻转奇数次 要使5只杯子全部朝下，每只杯子都需要翻转奇数次 5个奇数相加，结果是奇数，即总翻转次数应为奇数 但每次翻转4只杯子，无论翻多少次，总翻转次数都是4的倍数，即偶数 奇数≠偶数，产生矛盾 因此，不可能使杯口全部朝下 【典型例题3】 题目：线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入1991个分点，每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得1992条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？ 答案：标准线段的条数是奇数 分析：通过分析插入点对非标准线段数量的影响，推导标准线段的奇偶性。 详解： 原线段AB的两个端点颜色不同，所以原线段是一条标准线段 非标准线段是指两端点颜色相同的小线段 每插入一个点，无论其颜色如何，非标准线段的条数增加0条或2条 如果插入点与相邻两点颜色都相同，则增加2条非标准线段 如果插入点与相邻两点颜色都不同，则非标准线段条数不变 如果插入点与相邻两点颜色一个相同一个不同，则非标准线段条数不变 无论哪种情况，非标准线段增加的总数都是偶数 原始状态有1条非标准线段（即原线段AB），是奇数 插入1991个点后，非标准线段总数=1+偶数=奇数 标准线段条数+非标准线段条数=1992（总线段数） 1992是偶数，奇数+奇数=偶数 因此，标准线段的条数是奇数 【跟踪训练3】 题目：东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 = 13 × 75 + 64，他做得对吗？ 答案：不对 分析：通过分析等式两边的奇偶性是否一致，判断等式是否成立。 详解： 等式左边：1038是偶数（因为末位是8，能被2整除） 等式右边：13×75+64 13是奇数，75是奇数，奇数×奇数=奇数 64是偶数 奇数+偶数=奇数 左边是偶数，右边是奇数，偶数≠奇数 因此，等式不成立，东东做得不对 验证：13×75=975，975+64=1039≠1038，确实错误 提升练习 1.算式 的结果是奇数还是偶数？ 【答案】：偶数 【分析】：观察算式中的每一项都是“奇数×偶数”。根据奇偶性乘法规则，奇数乘以偶数结果必为偶数。整个算式是50个偶数相加。 【详解】： 每一项：奇数 × 偶数 = 偶数。 项数：从1到99共有50个奇数，对应50项。 求和：50个偶数相加（偶数个偶数或任意个偶数相加），结果仍然是偶数。 2.三个连续自然数的乘积是210，这三个数的和是奇数还是偶数？ 【答案】：偶数 【分析】：先分解质因数确定这三个数，再根据奇偶性加法规则判断和的奇偶性。 【详解】： 分解210：。 组合为三个连续自然数：。 三个数为5（奇）、6（偶）、7（奇）。 求和：奇数 + 偶数 + 奇数 = (奇数 + 奇数) + 偶数 = 偶数 + 偶数 = 偶数。 3.如果 是奇数， 是偶数，那么 是奇数还是偶数？ 【答案】：奇数 【分析】：利用代入法或分步计算奇偶性。 【详解】： 第一步： = 奇数 + 偶数 = 奇数。 第二步： = 奇数 × 奇数 = 奇数。 第三步： = 奇数 + 偶数 = 奇数。 4.在1到100的所有自然数中，所有奇数的和与所有偶数的和的差是奇数还是偶数？ 【答案】：偶数 【分析】：分别计算奇数和与偶数和的奇偶性，再判断差的奇偶性。 【详解】： 1到100有50个奇数。50是偶数，偶数个奇数的和是偶数。 1到100有50个偶数。任意个偶数的和是偶数。 差：偶数 - 偶数 = 偶数。 5.判断等式 是否成立（利用奇偶性分析）。 【答案】：不成立 【分析】：通过分析等式左右两边的奇偶性是否矛盾来判断。 【详解】： 左边：2024是偶数。 右边：是奇数，是奇数。奇数×奇数=奇数。 右边继续：奇数 - (偶数) = 奇数 - 偶数 = 奇数。 结论：左边是偶数，右边是奇数，奇偶性矛盾，等式不成立。 6.有7盏灯全部亮着，规定每次拨动4盏灯的开关（亮变灭，灭变亮），能否经过若干次拨动后，使所有灯都熄灭？ 【答案】：不能 【分析】：一盏灯从亮到灭需要拨动奇数次。计算总拨动次数的奇偶性与实际操作次数的奇偶性是否矛盾。 【详解】： 每盏灯要熄灭，需拨动奇数次。 7盏灯（奇数个）奇数次，总拨动次数 = 奇数 × 奇数 = 奇数。 实际操作：每次拨动4盏（偶数次），无论操作多少次，总拨动次数始终是偶数。 矛盾：需要奇数次，实际只能做到偶数次。故不可能。 7.9个小朋友站成一排，每个人要么面向东，要么面向西。规定每次让其中8个人向后转（面向变背向），能否经过若干次后，所有人都面向西？ 【答案】：不能 【分析】：类比翻杯子问题。每人转一次方向改变，分析总转向次数的奇偶性。 【详解】： 假设初始全部向东。 每人要向西，需转奇数次。 9人（奇数）每人奇数次，总转次数为奇数。 每次操作转8人（偶数次），总转次数始终是偶数。 奇数 ≠ 偶数，矛盾，故不能。 8.有10个自然数排成一排，已知其中任意相邻三个数的和都是偶数。如果第一个数是奇数，第二个数是偶数，那么这10个数的和是奇数还是偶数？ 【答案】：奇数 【分析】：根据相邻三数和为偶数的条件，推导出数列的奇偶排列规律（周期性）。 【详解】： 已知：第1个是奇(O)，第2个是偶(E)。 条件：任意相邻三数和为偶。 前三个：O + E + ? = 偶。O+E=奇，奇+?=偶，故?必须是奇。第3个是奇(O)。 第二至四：E + O + ? = 偶。E+O=奇，故?必须是奇。第4个是奇(O)。 第三至五：O + O + ? = 偶。O+O=偶，故?必须是偶。第5个是偶(E)。 第四至六：O + E + ? = 偶。同第一至三，?必须是奇。第6个是奇(O)。 观察序列：1O, 2E, 3O, 4O, 5E, 6O… 继续推导：第7个：由4O,5E,6O知，5E,6O,7?。E+O=奇，?需为奇。第7个是奇(O)。 第8个：6O,7O,8?。O+O=偶，?需为偶。第8个是偶(E)。 序列：O, E, O, O, E, O, O, E… 发现规律：从第3个开始，每3个一循环：O, O, E。 完整序列（10个）：1O, 2E, 3O, 4O, 5E, 6O, 7O, 8E, 9O, 10O。 统计奇数个数：位置1,3,4,6,7,9,10共7个奇数（奇数个奇数）。 偶数个数：3个。 和：奇数个奇数的和是奇数，加上任意个偶数，结果仍为奇数。 9.有9个杯子杯口朝上放在桌子上。每次翻转其中的4个杯子，称为一次操作。能否经过若干次操作，使所有杯子都杯口朝下？ 【答案】：不能 【分析】：同例题2的跟踪训练，分析总翻转次数的奇偶性。 【详解】： 一只杯子从朝上到朝下需翻转奇数次。 9只杯子（奇数个）奇数次，总翻转次数 = 奇数 × 奇数 = 奇数。 每次翻转4只（偶数只），无论操作多少次，总翻转次数始终是偶数。 奇数 ≠ 偶数，产生矛盾。故不可能。 10.能否将自然数1到10分成两组，使得第一组数的和比第二组数的和大10？ 【答案】：不能 【分析】：利用总和的奇偶性与两组差值的奇偶性关系进行反证。 【详解】： 1到10的总和：（奇数）。 设第一组和为 ，第二组和为 。 根据题意：（偶数）。 又因为：（奇数）。 将两式相加：。 是偶数，但65是奇数。 偶数 ≠ 奇数，矛盾。故不可能。 11.一个图书馆有100盏电灯，每盏灯有一个拉线开关控制（拉一下开，再拉一下关）。开始时所有灯都是关着的。有100个学生依次进入图书馆，第一个学生拉所有编号是1的倍数的灯；第二个学生拉所有编号是2的倍数的灯；第三个学生拉所有编号是3的倍数的灯；……；第100个学生拉所有编号是100的倍数的灯。问最后有多少盏灯是亮着的？ 【答案】：10盏 【分析】：虽然这题主要考约数个数，但最后亮灯的条件（被拉奇数次）涉及奇偶性。 【详解】： 一盏灯最后亮着，说明它被拉了奇数次。 第 号灯会被第 个学生拉动，当且仅当 是 的约数。 所以，第 号灯被拉动的次数等于 的约数个数。 问题转化为：1到100中，有多少个数的约数个数是奇数？ 只有完全平方数的约数个数是奇数（因为约数成对出现，只有平方数有一对相同的约数）。 1到100之间的完全平方数有：。 共10个。故最后有10盏灯亮着。 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $