第04讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（知识详解+3典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版数学八年级下册同步讲义与测试

第04讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 （知识详解+3典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【知识点02】一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = ； (4)+ = . (5)|x1-x2|= = ； (6)x1x22+x21x2=x1x2(x2+x1). 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 例1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 例3．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 变式2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 变式3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【题型二】根据一元二次方程根的情况求参数 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 例6．（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 变式3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【题型三】一元二次方程的根与系数的关系 例7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 例8．（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则 例9．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 变式2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 一、单选题 1．一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．若关于x的方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A．m<-1 B．m≤0且m≠-1 C．m≤0 D．m<0 3．一元二次方程的两根分别为和，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 4．下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则m与n的大小关系为（  ） A． B． C． D．无法确定 6．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（    ） A．3 B．﹣3 C． D． 7．对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则k= ． 9．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是 ． 10．方程有两个实数根，则的取值范围 ． 11．若是一元二次方程的两个根，则 ． 12．若，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 三、解答题 13．已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 14．设是方程的两个实数根． 求证：能被2整除． 15．已知：，且，求的值． 16．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为正数，求的取值范围． 17．已知方程是关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣2k）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|+1＝x1x2，求k的值． 19．已知关于x的方程两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 （知识详解+3典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【知识点02】一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = ； (4)+ = . (5)|x1-x2|= = ； (6)x1x22+x21x2=x1x2(x2+x1). 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 例1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：A. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     B. ，此时， 有两个相等的实数根，不符合题意；     C. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     D. ，此时， 无实数根，符合题意；     故选：D． 例2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．根据根的判别式等于，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 例3．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程有两个实数根得出且，列出不等式得出的取值范围． 【详解】解：由题意，得：， ∴，即，， 又∵， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：由方程得：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：Ｃ． 变式2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【题型二】根据一元二次方程根的情况求参数 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 例5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 例6．（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的定义和判别式得出，，根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可； （2）根据方程有两个相等的实数根得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程可变为， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又，， 解得，， ∴且； （2）解：根据题意知：， 解得：， 则方程为，即， 则， ∴， 解得． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程有实数根的条件，根据一元二次方程定义得到，再由一元二次方程有实数根的条件是，解不等式组即可得到答案，熟记一元二次方程的定义及一元二次方程有实数根的条件是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且， 故答案为：且． 变式3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】因式分解的应用、由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【题型三】一元二次方程的根与系数的关系 例7．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为α和β，则，直接代入题目方程的系数进行求解，作答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 例8．（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则 【答案】37 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 例9．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，再利用，得到，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 【答案】 且 2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据，且，可得答案； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，再整理，并代入求出解即可. 【详解】解：（1）由题意知，，且， 解得，且， 的取值范围是，且. 故答案为：，且； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ 整理得：， 解得： 由知，，且， ， 故答案为： 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)的值为； (2)代数式的值为或． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． （2）解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 一、单选题 1．一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】先计算出的值，判断出的符号，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不同实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题关键． 2．若关于x的方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A．m<-1 B．m≤0且m≠-1 C．m≤0 D．m<0 【答案】C 【分析】分方程为一元二次方程和一元一次方程两种情况来讨论，当是一元二次方程时，由一元二次方程根的判别式可得到关于m的不等式，求解即可，当是一元一次方程时，利用一元一次方程的定义可求得m的取值，可求得答案． 【详解】解：当m+1=0时，即m=-1时，此时方程为-2x+1=0，该方程有解，此时m=-1； 当m+1≠0时，则方程为一元二次方程， 其判别式为， ∵方程有实数根， ∴-4m≥0，解得m≤0； 此时m的取值范围是m≤0且m≠-1； 综上可知m的取值范围是m≤0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，即①一元二次方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0，②一元二次方程有两个相等的实数根⇔Δ=0，③一元二次方程无实数根⇔Δ＜0． 3．一元二次方程的两根分别为和，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 4．下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；先通过计算判别式分别确定四个方程有没有实数根，若，则利用根与系数的关系：进行计算，即可判断出正确的选项． 【详解】A．，则此方程没有实数根，故该选项不符合题意； B．，则，故该选项符合题意； C．，，故该选项不符合题意； D．，，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则m与n的大小关系为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了实数比较大小和一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据判别式的意义得到，然后来求实数，然后比较大小即可解答． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（    ） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出的值，再代入求值即可得． 【详解】解：由题意得：方程根的判别式， 整理得：，即， 则， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 7．对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．熟练掌握：一元二次方程有实数根，即，是解题的关键． 由题意知，，整理得，，由一元二次方程有实数根，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，， 故选：D． 二、填空题 8．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则k= ． 【答案】-3 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的方程，即可求出k的取值． 【详解】解：∵△=b2-4ac=36-4（5-k）=16+4k=4， ∴k=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2-4ac． 9．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系：，． 先根据根与系数的关系求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．方程有两个实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据一元二次方程根的判别式及定义可得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 11．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得，然后把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，正确变形、熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 12．若，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先计算判别式得到，再利用非负数的性质得到，然后可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， ， 即， 原方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 三、解答题 13．已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据根的判别式大于等于零求解即可． 【详解】解：∵关于x一元二次方程有实数根， ∴ 解得： ∴k的取值范围为． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 14．设是方程的两个实数根． 求证：能被2整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，进而代值求解即可． 【详解】证明：因为a，b是方程的两个实数根， 所以，，， 所以 ， 因为，所以16能被2整除， 即能被2整除． 15．已知：，且，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论． 【详解】解：由可知． 两边除以得到，． 即， 又，且，即． ，是方程的两根， ， ． 16．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算出根的判别式的值得到，从而可判断，然后根据根的判别式的意义可得到结论； （2）先利用求根公式得到，，再利用该方程有一个根是整数得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ，， 该方程有一个根是正数， ， 解得． 17．已知方程是关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为1，方程的另一个根是 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程： （1）通过计算判别式，从而得到根的判别式为非负数，可判断方程根的情况； （2）将代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根． 【详解】（1）证明：中，，，， ， ， ， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得：， 解得， ，即， ， 或， 解得，， 即k的值为1，方程的另一个根是． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣2k）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|+1＝x1x2，求k的值． 【答案】(1)k≤ (2)k＝﹣3 【分析】（1）根根的判别式即可求出答案； （2）根据根与系数的关系，可得|2（k﹣1）|+1＝k2，再由k≤，可得﹣2（k﹣1）+1＝k2，即可求出答案． 【详解】（1）解：方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， 根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0， 解得k≤； （2）解：根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2， ∵|x1+x2|+1＝x1x2， ∴|2（k﹣1）|+1＝k2， ∵k≤， ∴2（k﹣1）＜0， ∴﹣2（k﹣1）+1＝k2， 整理得k2+2k﹣3＝0， 解得k1＝﹣3，k2＝1（舍去）， ∴k＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 19．已知关于x的方程两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果是一元二次方程的两根，那么有，． （1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为， ，， ， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $