第1章 二次根式 章节（9知识详解+20典例分析）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第1章 二次根式 章节（9知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的概念 1.二次根式：像(a≥0）这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。 （1）二次根式的定义是“形式定义”，即二次根式必须含有二次根号“  ”。 （2）中的a可以是数，也可以是含字母的代数式， 既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果。 2.二次根式具有双重非负性 ①二次根式是一个非负数，即；②被开方数 是一个非负数，即 。 【知识点02】二次根式有意义的条件 条件 字母表示 𝑎 有意义 被开方数𝑎 为非负数。 𝑎有意义⇔𝑎≥0 。 【知识点03】二次根式的性质： 性质 文字语言 应用 (𝑎)2=𝑎  （𝑎≥0 ） 一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身。 （1） 正用,如(2)2=2 ； （2）逆用,如5=(5)2 。 对于 ,无论是正用，还是逆用，都要注意前提条件:。如只有当 时，才成立 性质 文字语言 应用 一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 化简形如 的式子时，先写成|𝑎|，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如。 可以是任意实数，但计算结果不一定是 辨析：,<>的不同点和相同点#5.1 (𝑎≥0)  不同点 表示的意义 表示一个非负数的算术平方根的平方。 表示一个任意实数平方的算术平方根。 𝑎 的取值范围 非负数。 全体实数。 运算顺序 先开方，后平方。 先平方，后开方。 运算结果 ()²=𝑎(𝑎≥0) 。 相同点 (𝑎≥0)与 的结果都是非负数，且当𝑎≥0时，()²==𝑎 。 【知识点04】二次根式的积和商的性质 文字语言 符号语言 二次根式的积的性质 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。 （𝑎≥0，𝑏≥0 ）。 勿忘前提条件 二次根式的商的性质 一个非负数除以一个正数，商的算术平方根等于算术平方根的商。 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式的概念：在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方。 。 化去根号内的分母。 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分数。 或 化去根号内的分母。 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数。 或 。 被开方数是多项式的要先进行因式分解。 = =。 【知识点06】二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏≥0  ）。此法则成立的前提条件 文字语言 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如(𝑎≥0,𝑏≥0,𝑐≥0)  。 (2)乘法交换律、结合律、乘法公式在二次根式的乘法中仍然适用。类比单项式乘以单项式，可得(𝑏≥0,𝑑≥0) 。 2.二次根式的除法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏>0）。注意此处 的取值范围与乘法法则中 的取值范围不同 文字语言 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 拓展 二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况， 如(𝑎≥0,𝑏>0,𝑐>0) 。 【知识点07】二次根式的加减运算 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并。也叫同类二次根式 2.同类二次根式的合并方法： 只把系数相加减，根指数和被开方数不变。如。根号外面的因数或因式 注意：当二次根式的系数是假分数时，不要写成带分数。 3.二次根式的加减运算： 二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中含有相同被开方数的二次根式的项进行合并。（在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用） 4.二次根式加减运算的步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式。 = （2）找：找出被开方数相同的二次根式。 = （3）合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。 =（2-3）。 【知识点08】二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序：与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。 2.二次根式的混合运算依据：实数的运算律、整式的乘法公式和运算法则在二次根式的运算中仍然适用。 3.二次根式混合运算的结果：二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） 。#5.5 【知识点09】二次根式的应用 1.二次根式的应用常表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 2.坡比：如图,坡面的铅垂高度 和水平距离的比叫作坡面的坡比,记作,即 （坡比通常写成 的形式）。 【题型一】二次根式的识别 1．下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本形式是解题的关键． 根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意 C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 【题型二】求二次根式中的参数 3．（2022八年级·浙江·专题练习）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式有意义的条件可知2-x≥0，解出x的范围即可． 【详解】解：根据题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 所以x应满足的条件是x≤2的实数． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 4．是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 5．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 【题型三】二次根式有意义的条件 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 即： 解不等式： 因此，的取值范围是， 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023八年级下·浙江·专题练习）求使下列各式有意义的字母的取值范围： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3)m取全体实数 (4) 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】（1）（2）（3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （4）根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意有，解得． 即时，二次根式有意义； （2）解：依题意有，解得． 即时，二次根式有意义； （3）解：恒成立， 故m取全体实数，有意义； （4）解：依题意有：且， 解得． 即时，二次根式有意义． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，（4）要注意分母不为零． 【题型四】求二次根式的值 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 10．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 11．当时，求二次根式的值． 【答案】1 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 【题型五】利用二次根式的性质化简 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简的值为 ． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的运算.根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 14．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)8 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （4）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 【题型六】最简二次根式的判断 15．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意； C. ，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意； 故选：B． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·月考）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的定义；根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据定义得出，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得 故答案为：,1 【题型七】化为最简二次根式 18．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【知识点】化为最简二次根式 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 19．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可． （2）将二次根式分母去掉，即可达到化简的目的． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【题型八】已知最简二次根式求参数 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 21．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 【题型九】二次根式的乘法 22．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列计算结果不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意； 故选：C． 23．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： ． 【答案】4 【知识点】二次根式的乘法、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法计算即可． 【详解】． 故答案为：4． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型十】二次根式的除法 25．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 26．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】解：=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 【题型十一】分母有理化 28．的倒数是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【答案】C 【知识点】分母有理化 【分析】根据倒数的定义和二次根式分母有理化的计算法则列式计算． 【详解】解：+1的倒数是﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查倒数的定义、分母有理化，熟练掌握分母有理数的求解步骤是解答的关键． 29．分母有理化： ； 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）我们将，称为一对“对偶式”． 因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化的值为______； (2)计算：． 【答案】(1) (2)1 【知识点】分母有理化 【分析】（1）根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案； （2）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解： =2-， 故答案为：2-； （2）解： =1． 【点睛】本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． 【题型十二】二次根式的乘除混合运算 31．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 【答案】12 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 33．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【题型十三】复合二次根式的化简 34．化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 35．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 36．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】复合二次根式的化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 【题型十四】同类二次根式 37．（22-23八年级下·浙江·单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解． 【详解】∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念． 38．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 【题型十五】二次根式的加减运算 39．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减法． 利用二次根式的加减法则进行判断即可． 【详解】解：2与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； 与不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意； 故选：B． 40．（22-23八年级下·浙江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】直接根据二次根式的减法法则计算即可． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则． 41．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式的混合运算 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可； 掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型十六】二次根式的混合运算 42．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算． 根据二次根式运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不能合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：C． 43．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于 ． 【答案】45 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先把原式化简，得，，再次化简得，，由正整数，得，，再按题意计算即可． 【详解】解： ∵的值大于，小于， ∴，， ∴，， ∴, , ∴，， ∴，， ∴，， ∵正整数， ∴，， ∴， ∴正整数n最大为574，正整数最小为529， ∴正整数n的最大值与最小值的差等于， 故答案为：45． 44．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法即可； （2）先把分子和分母约分，再进行分母有理化即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型十七】已知字母的值，化简求值 45．当时，代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】利用完全平方公式配方，再代入计算即可解答． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 46．若，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把二次根式化成最简二次根式．把，的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， ． 【题型十八】已知条件式，化简求值 48．当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 49．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 50．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知．求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】把已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【题型十九】比较二次根式的大小 51．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的乘法 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 52．（23-24八年级下·浙江宁波）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 53．（23-24八年级下·浙江金华·月考）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 【题型二十】二次根式的应用 54．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，则阴影部分的面积（    ）    A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为； 故选D． 55．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    【答案】 / 【知识点】二次根式的应用 【分析】依据正方形的面积公式可求及，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和． 【详解】解：由正方形的面积边长边长， ∴面积为5的正方形的边长为，面积为2的正方形的边长为， ∴，， ∴两个长方形的面积的和为： ． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 56．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次根式 章节（9知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的概念 1.二次根式：像(a≥0）这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。 （1）二次根式的定义是“形式定义”，即二次根式必须含有二次根号“  ”。 （2）中的a可以是数，也可以是含字母的代数式， 既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果。 2.二次根式具有双重非负性 ①二次根式是一个非负数，即；②被开方数 是一个非负数，即 。 【知识点02】二次根式有意义的条件 条件 字母表示 𝑎 有意义 被开方数𝑎 为非负数。 𝑎有意义⇔𝑎≥0 。 【知识点03】二次根式的性质： 性质 文字语言 应用 (𝑎)2=𝑎  （𝑎≥0 ） 一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身。 （1） 正用,如(2)2=2 ； （2）逆用,如5=(5)2 。 对于 ,无论是正用，还是逆用，都要注意前提条件:。如只有当 时，才成立 性质 文字语言 应用 一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 化简形如 的式子时，先写成|𝑎|，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如。 可以是任意实数，但计算结果不一定是 辨析：,<>的不同点和相同点#5.1 (𝑎≥0)  不同点 表示的意义 表示一个非负数的算术平方根的平方。 表示一个任意实数平方的算术平方根。 𝑎 的取值范围 非负数。 全体实数。 运算顺序 先开方，后平方。 先平方，后开方。 运算结果 ()²=𝑎(𝑎≥0) 。 相同点 (𝑎≥0)与 的结果都是非负数，且当𝑎≥0时，()²==𝑎 。 【知识点04】二次根式的积和商的性质 文字语言 符号语言 二次根式的积的性质 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。 （𝑎≥0，𝑏≥0 ）。 勿忘前提条件 二次根式的商的性质 一个非负数除以一个正数，商的算术平方根等于算术平方根的商。 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式的概念：在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方。 。 化去根号内的分母。 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分数。 或 化去根号内的分母。 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数。 或 。 被开方数是多项式的要先进行因式分解。 = =。 【知识点06】二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏≥0  ）。此法则成立的前提条件 文字语言 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如(𝑎≥0,𝑏≥0,𝑐≥0)  。 (2)乘法交换律、结合律、乘法公式在二次根式的乘法中仍然适用。类比单项式乘以单项式，可得(𝑏≥0,𝑑≥0) 。 2.二次根式的除法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏>0）。注意此处 的取值范围与乘法法则中 的取值范围不同 文字语言 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 拓展 二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况， 如(𝑎≥0,𝑏>0,𝑐>0) 。 【知识点07】二次根式的加减运算 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并。也叫同类二次根式 2.同类二次根式的合并方法： 只把系数相加减，根指数和被开方数不变。如。根号外面的因数或因式 注意：当二次根式的系数是假分数时，不要写成带分数。 3.二次根式的加减运算： 二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中含有相同被开方数的二次根式的项进行合并。（在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用） 4.二次根式加减运算的步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式。 = （2）找：找出被开方数相同的二次根式。 = （3）合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。 =（2-3）。 【知识点08】二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序：与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。 2.二次根式的混合运算依据：实数的运算律、整式的乘法公式和运算法则在二次根式的运算中仍然适用。 3.二次根式混合运算的结果：二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） 。#5.5 【知识点09】二次根式的应用 1.二次根式的应用常表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 2.坡比：如图,坡面的铅垂高度 和水平距离的比叫作坡面的坡比,记作,即 （坡比通常写成 的形式）。 【题型一】二次根式的识别 1．下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2022八年级·浙江·专题练习）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 4．是一个正整数，则的最小正整数是 ． 5．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【题型三】二次根式有意义的条件 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是 8．（2023八年级下·浙江·专题练习）求使下列各式有意义的字母的取值范围： (1) (2) (3) (4)． 【题型四】求二次根式的值 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 10．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 11．当时，求二次根式的值． 【题型五】利用二次根式的性质化简 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简的值为 ． 14．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【题型六】最简二次根式的判断 15．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·月考）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 【题型七】化为最简二次根式 18．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 19．化简： (1)； (2)． 【题型八】已知最简二次根式求参数 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【题型九】二次根式的乘法 22．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列计算结果不正确的是（  ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： ． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十】二次根式的除法 25．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 26．计算： ． 27．计算： (1) (2) 【题型十一】分母有理化 28．的倒数是（　　） A． B． C．﹣1 D． 29．分母有理化： ； 30．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）我们将，称为一对“对偶式”． 因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化的值为______； (2)计算：． 【题型十二】二次根式的乘除混合运算 31．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 33．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十三】复合二次根式的化简 34．化简的结果为 ． 35．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 36．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【题型十四】同类二次根式 37．（22-23八年级下·浙江·单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 38．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【题型十五】二次根式的加减运算 39．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 40．（22-23八年级下·浙江·期末）计算： ． 41．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2)． 【题型十六】二次根式的混合运算 42．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于 ． 44．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 【题型十七】已知字母的值，化简求值 45．当时，代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 46．若，则 ． 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 【题型十八】已知条件式，化简求值 48．当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 49．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ． 50．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知．求代数式的值． 【题型十九】比较二次根式的大小 51．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级下·浙江宁波）比较大小： （1） 8； （2） ． 53．（23-24八年级下·浙江金华·月考）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【题型二十】二次根式的应用 54．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，则阴影部分的面积（    ）    A．6 B．3 C． D． 55．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    56．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 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