考点08 余弦定理（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点08 余弦定理 考点一：余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 考点二：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；（注：下个章节） （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：已知两边与一角解三角形 【例1】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【例2】的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 【变式1-1】在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 【变式1-2】设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 【变式1-3】在中，角所对的边分别为，若，求. 【答案】 【详解】在中，，则， 则，解得， 由余弦定理得， 所以. 直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 题型二：已知三边或三边关系解三角形 【例3】已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 【例4】在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理，得； 由，得. 所以，所以. 因为，所以. 故选：C. 【变式2-1】已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 【答案】/ 【详解】中，最大的边长为7， 边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为， 由余弦定理可得：， 又为三角形的内角，，， . 故答案为：. 【变式2-2】已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 【变式2-3】已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为为钝角，则最大， 则由题意得，解得. 故答案为： 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解. 题型三：判断三角形形状 【例5】在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 【例6】（多选）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 【变式3-1】已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 【变式3-2】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式3-3】在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， 可得， 即， 也即， 解得； （2）由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断. （2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. 题型四：余弦定理与平面图形的结合 【例7】在如图所示的平面四边形中，，则的值为 . 【答案】 【详解】由题设， 所以，则. 故答案为：1 【例8】在平面四边形中，.对角线与交于点，且. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由，得 所以，所以， 所以； （2）在中，，因为， 所以. 在中，， 所以，即. 【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，，，，，，则 ． 【答案】 【详解】连接，如下所示： 在△中，由余弦定理， 可得，故可得， 则，又，故； 又，又，故可得； 则 ， 在△中，由余弦定理可得 即，故. 故答案为：. 【变式4-2】如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由勾股定理得， ， ； （2）因为，所以， 在中，由余弦定理得： 【变式4-3】如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，. (1)若，求的值； (2)若，求BE的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）过B作于F. ∵，， ∴，在直角中，， ∴， ∴. （2）连接BD.在中，，，，由余弦定理，得 在中，，，由余弦定理，得. 在中，，，由余弦定理，得. ∵，得 ∴，得，（负值舍去）. ∴. 题型五：余弦定理的实际应用 【例9】在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图所示，设营地为点，小时后，队员甲所在地为点，队员乙所在地为点， 可得千米，千米，且， 由余弦定理得， 则千米. 故选：B. 【例10】葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 如图，连接，在中，，，， 由余弦定理，可得， 故． 故选：B. 【变式5-1】冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙），测得，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，在中，由得， 故选：D. 【变式5-2】《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ）    A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62 【答案】A 【详解】如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，    则， 因为， 则在中，， 所以. 故选：A. 【变式5-3】阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一，典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼主楼底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝52米，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，则阅江楼主楼的高度CD是 米． 【答案】52 【详解】设（米），则，在中，由余弦定理得 ， 即，解得． 故答案为：52 题型六：求边或角的最值范围 【例11】在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 【例12】已知在中，，，，的中点为，若长度为3的线段（点在点的左侧）在直线上滑动，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连则，故为平行四边形， 作点关于的对称点，则． 因为， 所以，则的最小值为． 故答案为：. 【变式6-1】在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理可知， 即，解得， 因为，所以， 又因为，所以，且，作于点E， 则． 故选：D． 【变式6-2】在中，角的对边分别为，的面积为S，已知，，则周长的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以，整理得：. 结合余弦定理，可得：. 又因为，, 所以，. 又因为， 所以由可得：. 由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立， 所以，解得：，当且仅当时等号成立. 所以周长为， 即周长的最大值为. 故答案为：. 【变式6-3】在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，故， 将其代入等式得，即， 整理得， 由，得，解得， 又，故． （2）由余弦定理代入可得，则， 由基本不等式，可得， 则，由可得，当且仅当时等号成立， 所以， 则周长的最大值为. 一、单选题 1．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【详解】由，，,可知， 由余弦定理，， 所以为钝角，则为钝角三角形. 故选：C 2．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 5．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 6．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：D 二、多选题 7．在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【详解】根据余弦定理可得， 即，，，， 解得或. 故选：AC. 8．在锐角中，角所对的边分别为为边的中点，且.若2，则的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，得， 因为是锐角三角形，所以，即 解得，又因为， 所以，即. 因为， 所以 ， 结合选项可知A，B在上述范围内. 故选：AB 三、填空题 9．在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒． 【答案】/ 【详解】如图    设在D处截住足球，时间设为秒，则，，则， 又，， 在中，利用余弦定理可知，， 则， 化简得，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 故答案为：. 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 11．勾股定理被称为几何学的基石，相传由商代的商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1所示）证明了商高定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将延长至）得到图2.在图2中，若，，两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为 .    【答案】1 【详解】如图3所示，连接，由条件可得，    在中，由余弦定理得： ， 所以， 所以， ， 可得， 则弦图中小正方形的边长为. 故答案为：1. 四、解答题 12．在中，，为的中点． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 所以， 即， 又，故； （2）设，由，可知， 又为的中点，所以， 在中，由余弦定理得，， 故的值为． 13．在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. （2）在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 14．如图，在中，，点M在边上，且，． (1)若，求的长； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）因为，，所以． 又，， 则， 所以． （2）在中，，则， 在中，，则． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 余弦定理 考点一：余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 考点二：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；（注：下个章节） （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：已知两边与一角解三角形 【例1】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【变式1-1】在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【变式1-2】设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为 . 【变式1-3】在中，角所对的边分别为，若，求. 直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 题型二：已知三边或三边关系解三角形 【例3】已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4】在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 【变式2-2】已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为 . 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解. 题型三：判断三角形形状 【例5】在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【例6】（多选）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-1】已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式3-2】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3-3】在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断. （2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. 题型四：余弦定理与平面图形的结合 【例7】在如图所示的平面四边形中，，则的值为 . 【例8】在平面四边形中，.对角线与交于点，且. (1)求的长； (2)求的长. 【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，，，，，，则 ． 【变式4-2】如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的长度. 【变式4-3】如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，. (1)若，求的值； (2)若，求BE的长. 题型五：余弦定理的实际应用 【例9】在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【例10】葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-1】冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙），测得，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ）    A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62 【变式5-3】阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一，典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼主楼底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝52米，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，则阅江楼主楼的高度CD是 米． 题型六：求边或角的最值范围 【例11】在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知在中，，，，的中点为，若长度为3的线段（点在点的左侧）在直线上滑动，则的最小值为 ． 【变式6-1】在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在中，角的对边分别为，的面积为S，已知，，则周长的最大值为 ． 【变式6-3】在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 一、单选题 1．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 2．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 8．在锐角中，角所对的边分别为为边的中点，且.若2，则的长度可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒． 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 . 11．勾股定理被称为几何学的基石，相传由商代的商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1所示）证明了商高定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将延长至）得到图2.在图2中，若，，两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为 .    四、解答题 12．在中，，为的中点． (1)求； (2)若，求的值． 13．在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 14．如图，在中，，点M在边上，且，． (1)若，求的长； (2)求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $