江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷三

2026高二数学期末复习卷三 一、单选题 1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设有一组圆：，下列命题正确的是（ ） A．这组圆的圆心始终在一条直线上 B．存在定直线与这组圆均相切 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆均不经过点 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，则 . 13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 四、解答题 15．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 16．已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 17．在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 18．如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上．    (1)若，求证：点是棱的中点； (2)若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值． 19．大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． (1)根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； (2)在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； (3)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026高二数学期末复习卷三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D B C ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据题意可得，，进而可求渐近线方程，注意焦点所在位置. 【详解】因为双曲线的虚轴长为，即， 由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 2．D 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 3．D 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间. 设该家庭三个孩子中有男孩为事件，该家庭三个小孩中有女孩为事件，则，， 所以. 故选：D. 4．B 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 5．C 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 6．D 【分析】根据给定条件，利用抛物线的光学性质求出两条光线第二次反射的反射点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过点的抛物线弦所在直线方程为， 由消去得， 设弦的两个端点坐标为， 则，当时，；当时，， 因此两条光线第二次反射的反射点的纵坐标分别为， 所以两次反射后，两条反射光线之间的宽度为. 故选：D 7．B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 8．C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已知条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种数． 【详解】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件， 用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色， 1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： ①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法； 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； 综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 故选：C． 9．ABD 【分析】求出圆心坐标判断A；求出圆心到直线判断B；将给定点代入圆的方程，确定方程解的情况判断CD. 【详解】对于A，圆的圆心为，始终在直线上，A正确； 对于B，直线，圆心到的距离，所有圆均与相切，B正确； 对于C，将代入圆的方程，得，其中， 方程有两解，因此经过点的圆有两个，C错误； 对于D，将代入圆的方程，得，其中，方程无解， 所以所有圆均不经过点，D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，建立空间直角坐标系并求出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B，C，D. 【详解】对于A，， 即，故A错误； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 对于B，，，设， 则点到直线的距离，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以， 即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据独立事件的概率、条件概率及最大值、最小值的概率计算方法，结合加法公式、乘法公式计算即可. 【详解】选项A：表示第一个数的最大值，即该数本身；表示第一个数的最小值，也即该数本身； 所以，，A正确； 选项B：表示输出的前3个数的最大值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：；所有数均的概率：. 所以，B正确； 选项C：表示输出的前3个数的最小值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：；所有数均的概率：. 所以，C错误； 选项D：记为事件，即前4个数最大值为6，为事件，前4个数最小值为3. 则. 表示前4个数最大值为6且最小值为3，即所有数均在3到6之间（含3和6）， 所以. 故，D正确. 故选：ABD. 12．49 【分析】令得，令得，从而求出答案. 【详解】中， 令得， 中， 令得，即， 解得. 故答案为：49 13． 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 14．/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 15．(1)，说明见解析， (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 16．(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，在中由余弦定理证明，再由勾股定理的逆定理证明，得到，然后由线面垂直的判定定理证明平面即可得； （2）分别求出平面与平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】（1） 取的中点，连接， 在中，由余弦定理可得，解得， 所以，即， 因为，所以，即， 平面， 平面，所以， 又菱形中，，为的中点， 且， 所以四边形为平行四边形，即， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 取的中点为，连接，作， 因为，所以为正三角形，由（1）可知， 所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 同理设平面的法向量为， 则， 取，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为 . 17．(1) (2)是，. 【分析】（1）利用距离公式化简即可得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：因为结合角平分线逆定理得到轴为的角平分线，所以，设直线方程为,,联立方程，利用韦达定理求解即可得到；法二：设直线方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，代入化简即可. 【详解】（1）因为动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数， 所以， 两边平方得到； 化简得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：设过点的直线方程为， 联立方程，整理得到， 设，则； 因为，所以； 又因为，所以； 由角平分线逆定理得到，轴为的角平分线， 所以，即， 化简得到，即； 将代入上式得； 化简得到 即 因为，所以. 即； 整理得到； 即，解得. 因此是定值4. 法二：因为， 所以，即，所以． 显然过点的动直线不与轴重合，故设直线方程为， 设， 联立，可得， ，即时， 由韦达定理得， 因为，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得， 即。 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，设，，根据垂直关系有求参数值，即可证； （2）根据已知及棱锥的体积求出的坐标，进而确定对应平面的法向量，应用向量法求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）由底面，底面，则， 又底面都是正方形，则，故两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，，， 因为，故，即， 因为点在棱上，所以，，， 所以，解得，即， 而的中点坐标为，所以点是棱的中点；    （2）设， 则， 即， 由题意，可得， 所以，则，， 设平面的法向量为，则， 令，得. 由平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．(1) (2)分布列见解析， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）分析份带菌粒子的粒数中值直径为II级的总份数，利用频率估计概率的思想可求结果； （2）先分析的可取值，然后根据概率的乘法公式计算出在不同取值下的概率，由此可得分布列并计算出数学期望； （3）先根据确定出的可取范围，然后再对进行取值并进行检验. 【详解】（1）A观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， C观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为II级的带菌粒子， 所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为II级的带菌粒子， 用频率估计概率可知， 在甲地空气中随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为II级的概率为； （2）A观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， 由题意可知，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； （3）可取，理由如下： C观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为III级有：，共份， 用频率估计概率可知， 在C观测点随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为III级的概率为， 因为， 要使得为中的最大值，则一定有， 所以，所以， 所以，化简可得，解得， 不妨取，此时， 所以，且， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 由上可知，，所以是最大值， 故满足条件. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高二数学期末复习卷三 一、单选题 1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设有一组圆：，下列命题正确的是（ ） A．这组圆的圆心始终在一条直线上 B．存在定直线与这组圆均相切 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆均不经过点 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，则 . 13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 四、解答题 15．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 16．已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 17．在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 18．如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上．    (1)若，求证：点是棱的中点； (2)若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值． 19．大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． (1)根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； (2)在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； (3)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $