2025-2026学年北师大版八年级数学下册 阅读理解 专题复习及解析

2026年北师大版八下数学《阅读理解》专题复习 第一类型：乘法公式 1. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成， ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式： 2. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 3. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长． 4. 数形结合思想是根据数与形之间对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式． （1）探究一： 将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________． （2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________； （3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________． （5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值． （6）类比以上探究，尝试因式分解：= ． 第二类型：图形旋转 5. 综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和△ADE都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 6. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，△ABC中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 7. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值及此时旋转角的度数． 8. 阅读情境： 在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题． 如图1，，其中，，此时，点C与点E重合， 操作探究1 （1）小凡将图1中的两个全等的和△ADE的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ． 操作探究2 （2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F． 如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当 °时，．（直接回答即可） ②时，直接写出线段的长为 ； 操作探究3 （3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由； ②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ． 9. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°． （1）操作发现：如图2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是　 　； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是　 　； （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想； （3）拓展探究 如图4，若BC＝3，AC＝2，当△DEC绕点C旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 10. 提出问题： 如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接．当，，，△ABC的面积是______． 11. 在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知△ABC是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边△ADE，将△ADE绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若△ABC和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将△ADE绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 12. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 13. 提出问题：在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，F，且，连接EF，探究：线段之间的数量关系．并说明理由． （1）特殊情景：如图（1）若，探究；线段之间的数量关系．我们发现，如下图，将绕点A顺时针旋转，得到， （请完成以下填空） ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵ ∴_____+____，即， ∴， ∵， ∴___________（）， ∴． 又∵， ∴； （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况：“”，如图（2），线段之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请你写出结论并说明理由；若不成立，请你写出成立时的取值范围． （3）解决问题：如图（3），在△ABC中，，点D，E均在边BC上，且，若，计算的长度． 14. 已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E． （1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由． （2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数． （3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长． 第三类型：轴对称或折叠 15. 知识再现： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则． 从运动角度看： 如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则． 初步探究： （1）如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是______ ； 猜想验证： （2）如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的大小有什么关系？请写出你的结论并证明； 拓展应用： （3）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在函数的图象上，点在轴上，连接，，若，请直接写出点的坐标． 16. 如图①，在正方形中，，点分别在上． （1）如图②，平移，使点与重合，若，求证：； （2）如图③，将正方形沿翻折，使点落在上的点处，若，则 ． 第四类型：坐标系中的阅读理解题 17. 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即． （1）如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________； （2）如图2，若，点（其中）满足，求的值； （3）若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）． 2026年北师大版八下数学《阅读理解》专题复习 第一类型：乘法公式 1. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成， ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】解：（1）； （2）①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 2. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 【答案】（1）16 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将16化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式； 故答案为：16 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ∵是非负数， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∴的最小值为3． 3. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 多项式的最小值是； 【小问3详解】 解：， 即， ， ， ，，， ∴△ABC的周长为． 4. 数形结合思想是根据数与形之间对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式． （1）探究一： 将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________． （2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________； （3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________． （5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值． （6）类比以上探究，尝试因式分解：= ． 【答案】（1） （2） （3）， （4） （5）252 （6） 【解析】 【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （3）根据长方体的体积公式即可得； （4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得； （6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 可得一个多项式的分解因式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，得到的几何体的体积为， 故答案：． 【小问3详解】 解：， 长方体②的体积为， ， 长方体③的体积为， 故答案为：，． 【小问4详解】 解：由（2）和（3）得：， 则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为， 故答案为：． 【小问5详解】 解：， ， ． 【小问6详解】 解：由（4）可知，， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． 第二类型：图形旋转 5. 综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和△ADE都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 【答案】（1）；理由见详解 （2），理由见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）证明 即可； （2）过C作，证明，则，，由已知得，，由勾股定理得，进而得到． （3）由直角三角形的性质可分别求得、，进而求得，由即可求得结果： （4）设，则由（1）可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，，则，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，再由即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过C作， 则， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． （3）∵，，， ∴， 由勾股定理得， 由勾股定理得， 由（2）知， ∵， ∴， 即， 故答案为：． （4）设，则， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 6. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，△ABC中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将△AOB绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； 【小问3详解】 解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 7. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值及此时旋转角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）旋转角，△BCD的面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用“”证得即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：根据题意：，，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； 【小问3详解】 解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， 当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图： ，，，于， ，， ，， 的面积的最大值为：， 旋转角． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8. 阅读情境： 在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题． 如图1，，其中，，此时，点C与点E重合， 操作探究1 （1）小凡将图1中的两个全等的和△ADE的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ． 操作探究2 （2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F． 如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当 °时，．（直接回答即可） ②时，直接写出线段的长为 ； 操作探究3 （3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由； ②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据证明即可解决问题； （2）①根据平行线的判定定理即可解决问题； ②作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）①连接，证明等边三角形，利用勾股定理求出即可解决问题； ②如图5中，连接，交于点．首先证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题． 【详解】（1）解：， 如图2中， ，，， ， ； （2）①解：∵， ， 当时，． 故答案为：； ②解：如图3中，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）①解：如图4中，连接． ，， 是等边三角形， ，， ， ； ②解：如图5中，连接，交于点． ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ，， 垂直平分线段， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°． （1）操作发现：如图2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是　 　； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，S1与S2的数量关系是　 　； （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想； （3）拓展探究 如图4，若BC＝3，AC＝2，当△DEC绕点C旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）成立，证明详见解析；（3）存在，最大值为12． 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答； ②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （3）由四边形ABDE的面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，则△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大，即可求解． 【详解】（1）①DE∥AC， 理由如下： ∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC＝CD， ∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， 又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC＝AB， ∴BD＝AD＝AC， 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1＝S2； 故答案为：DE∥AC；S1＝S2； （2）如图3，作点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE于N， ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD， ∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN和△DCM中， , ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1＝S2． （3）∵四边形ABDE面积＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC， ∴△BDC的面积最大时，四边形ABDE的面积最大， ∴当CD⊥BC时，△BDC的面积最大值为×2×3＝3， ∴四边形ABDE的面积最大值＝2××2×3+2×3＝6+6＝12． 【点睛】此题是全等三角形与旋转的综合题，考查三角形全等的判定及性质定理，旋转的性质，等底等高三角形面积的相等关系，等边三角形的判定及性质，四边形最大面积的求法. 10. 提出问题： 如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边△ABC内部的一点，连接．当，，，△ABC的面积是______． 【答案】探究（一）：，理由见解析；探究（二）是直角三角形，理由见解析；解决问题： 【解析】 【分析】探究（一）：利用即可证明； 探究（二）：由全等三角形的性质得到，由旋转的性质证明是等边三角形，得到，再根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，同理求得是等边三角形，是直角三角形，求得，作交的延长线于点，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的边△ABC长，据此即可求解． 【详解】解：探究（一）：，理由如下： 由旋转的性质知，， ∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 探究（二）：∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，连接、． 同理，是等边三角形，是直角三角形，且， ∴， 作交的延长线于点，则， ∴，， ∴， ∴， 作于点， 则，， ∴△ABC的面积 ． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形性质和勾股定理和勾股定理的逆定理． 11. 在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知△ABC是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边△ADE，将△ADE绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若△ABC和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将△ADE绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）等边；（3）是等腰直角三角形，证明见解析； 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，运用平移性质得，则，则代入，化简得出，即可作答． （2）与（1）同理得，再证明，，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （3）与（2）同理证明，得，，故，因为△ABC为等腰直角三角形，，所以，即可作答． 【详解】解：（1）， 理由和△ABC为等边三角形, ， ， 平移， ， ， ， ， ； （2）是等边三角形，过程如下： 和△ABC为等边三角形, ，， ， 平移， ，， ，， ， ， ； ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）是等腰直角三角形，理由： 由（2）知， 平移， ， 又， ， ∵，，， ∴； ，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形． 12. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据等边对等角得到，再由，即可证明结论； （2）作于N，交的延长线于M．证明，得到，再证明，得到，据此可得结论； （3）如图3，作于N，交的延长线于M．先利用勾股定理得到，，则，接着证明，得到，在中， ，则． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 13. 提出问题：在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，F，且，连接EF，探究：线段之间的数量关系．并说明理由． （1）特殊情景：如图（1）若，探究；线段之间的数量关系．我们发现，如下图，将绕点A顺时针旋转，得到， （请完成以下填空） ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵ ∴_____+____，即， ∴， ∵， ∴___________（）， ∴． 又∵， ∴； （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况：“”，如图（2），线段之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请你写出结论并说明理由；若不成立，请你写出成立时的取值范围． （3）解决问题：如图（3），在△ABC中，，点D，E均在边BC上，且，若，计算的长度． 【答案】（1），,, （2）成立，，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，可得，再证得，最后根据线段的和差和等量代换即可解答； (2)如图：将绕点A顺时针旋转得到，即知可得证 ，最后根据线段的和差和等量代换即可解答； (3)将绕点A逆时针旋转，得到连接，据此知，由知 ，即，从而得，再证明可得，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解： ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵ ∴+，即， ∴， ∵， ∴（）， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，,,． 【小问2详解】 解：成立，，理由如下： 由，则 如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴.点C，D，H在同一直线上， ∵. ，， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查旋转变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E． （1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由． （2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数． （3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长． 【答案】（1）BC⊥EQ．理由见解析；（2）∠QEP＝60°；（3）BQ＝3﹣3． 【解析】 【分析】（1）先判断出△CQB≌△CPA，即可得出∠CAP＝∠CBQ＝90°； （2）如图2，根据等边三角形的性质和旋转的性质可得△ACP≌△BCQ（SAS），进而可得∠APC＝∠Q，然后根据三角形内角和定理可得∠QEP＝∠PCQ＝60°； （3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，由∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，可得出AH、CH，于是可求出PH的长，即可得出结论. 【详解】（1）结论：BC⊥EQ． 理由：如图1，QE与CP的交点记为M， ∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，， ∴ 即， 则△CQB和△CPA中， ∴△CQB≌△CPA（SAS）， ∴∠CBQ＝∠CAP， ∵∠CAP＝90°， ∴∠CBQ＝90°， ∴CB⊥EQ． （2）∠QEP＝60°． 理由如下：如图2， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ， ∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°， ∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ， 即∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴∠APC＝∠Q， 设BQ与CP相交于O， ∵∠BOP＝∠COQ， ∴∠QEP＝∠PCQ＝60°． （3）作CH⊥AD于H，如图3， 同（2）的方法一样可证明△ACP≌△BCQ， ∴AP＝BQ， ∵∠DAC＝120°，∠ACP＝15°， ∴∠APC＝45°， ∴∠HAC＝60°， ∴AH＝=3，， 在Rt△PHC中，PH＝CH＝3， ∴PA＝PH﹣AH＝3﹣3， ∴BQ＝3﹣3． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的计算，判断出△ACP≌△BCQ是解题的关键. 第三类型：轴对称或折叠 15. 知识再现： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则． 从运动角度看： 如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则． 初步探究： （1）如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是______ ； 猜想验证： （2）如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的大小有什么关系？请写出你的结论并证明； 拓展应用： （3）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在函数的图象上，点在轴上，连接，，若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）相等； （2），证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用证明≌，即可得到与数量关系； （2）过点分别作于，于，分两种情况讨论：①当时；②当时，分别证明和，即可得到与的大小关系； （3）设，根据坐标的距离公式，求出和的长，再根据，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：射线是的平分线， ， 和中， ， ， ， 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点分别作于，于， 是的平分线， ，， ①当时， 在和中， ， ； ②当时， 同理可证， ， ， ， 综上可知，与的大小关系为：相等或互补； 【小问3详解】 解：设， ，， ，， ， ， 解得：或， 的坐标为或． 【点睛】本题考查了角平分线性质及应用，全等三角形的判定与性质，坐标的距离公式，解一元二次方程，解题关键是掌握全等三角形判定定理和性质定理． 16. 如图①，在正方形中，，点分别在上． （1）如图②，平移，使点与重合，若，求证：； （2）如图③，将正方形沿翻折，使点落在上的点处，若，则 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，由此即可求证； （2）根据折叠的性质，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 根据折叠可知，，设，则，且， ∴在中，，即， 解得，， 如图所示，连接，过点作于点，设点的对称点为， ∴四边形，是矩形， ∴，，， 设，则，，， ∴在中，，即， 在中，，即， ∴，解得，， ∴， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的综合，掌握折叠的性质，勾股定理解直角三角形的知识是解题的关键． 第四类型：坐标系中的阅读理解题 17. 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即． （1）如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________； （2）如图2，若，点（其中）满足，求的值； （3）若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）． 【答案】（1）2；2；4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得，即可得到； （2）过点C作轴于点M，过点C作于点N，得到，，△COM是等腰直角三角形，由得到，由勾股定理得到，则，可得到，解方程即可得到a的值； （3）过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，证得，即可得到，由勾股定理得到，则，同理可得，则,得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在的平分线上， ∴， ， 故答案是：2；2；4． 【小问2详解】 解：过点C作轴于点M，过点C作于点N， ∵点（其中）， ∴，，△COM是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，添加合适的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $