精品解析：山东临沂市罗庄区2025-2026学年上学期期末素养水平调研九年级数学试题(A)

2025～2026学年上学期期末素养水平调研试题（A卷） 九年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作． 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且 ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”，是解题的关键． 3. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到正切值，解题的关键在于熟练掌握正切值的概念.根据正切值的概念即对边与直角边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示的是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：A. 4. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 5. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握内心的定义是解题的关键．连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点是的内心， ． 故选：D． 6. 若一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，不是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用列举法求概率，先列出所有可能的三位数，再根据平稳数的定义找出非平稳数的个数，最后计算概率． 【详解】解：∵用1，2，3组成无重复数字的三位数，总共有6种：123，132，213，231，312，321． 其中平稳数为123和321，共2个． ∴非平稳数有4个． ∴非平稳数的概率为． 故选B． 7. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 8. 如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（ ） A. (2，-2) B. (，) C. (，) D. (，) 【答案】D 【解析】 【分析】过点D向x轴作垂线，垂足为E，根据等边三角形的性质以及直线平行的性质证明△EOD是等腰直角三角形，再根据等边三角形的边长以及D点在第四象限即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D向x轴作垂线，垂足为E， ∵△OAB是等边三角形，旋转角是105°， ∴∠AOB=∠B=∠COD =60°，∠AOC=105°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=105°-60°=45°， 又∵AB∥x轴， ∴∠BOE=∠B=60°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠COE=∠BOE-∠BOC=60°-45°=15°， ∴∠EOD=∠DOC-∠COE=60°-15°=45°， ∴△EOD是等腰直角三角形， ∴ ∵OD=OA=2， ∴（勾股定理）， ∴ ∵D点在第四象限， ∴D点的坐标为：(，) 故选D； 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、等边三角形的性质、直线平行的性质，得到△EOD是等腰直角三角形是解题的关键． 9. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系．根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ， ， ， 当，时，直线经过第一、二、三象限， 当，时，直线经过第二、三、四象限， 综上，直线一定经过二、三象限． 故选：B． 10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，四边形与为正方形，，，连接，．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，掌握“弦图”的特点是解题的关键．过点作交延长线于点，由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是个全等的直角三角形，可得，，由正方形的性质可知，在中，根据勾股定理可求得的长，证明，可求得的长，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是个全等的直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据当时当时两种情况求解. 【详解】解：对于方程 ， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时， 判别式． 由于方程有实数根， 因此， 即， 解得且． 综上：. 故答案为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 13. 某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，，分别与弧所在圆相切于点A，B，若该圆半径是3，，则主视图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键．根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可． 【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图， ∵，分别与所在圆相切于点A，B． ∴， ∵， ∴，， ∴优弧对应的圆心角为，， ∵该圆半径是， ∴， ∴主视图的面积为 ， 故答案为：． 14. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 15. 对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，先计算 时的函数值，再根据反比例函数 时，在每个象限内随增大而减小的性质，结合的取值范围确定的取值范围. 【详解】解：当时，， 由于反比例函数中， 因此在每个象限内，随增大而减小, 当 且时， 分两种情况讨论： ① 当时，; ②当时，， 的取值范围为或, 故答案为：或. 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的函数值，负整数指数幂，解一元二次方程等知识． （1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的函数值，然后计算乘法，最后再计算加减法． （2）利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∴，． 17. 如图，在2×4的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．在下图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形； 【答案】如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了格点作图：作等腰三角形及作中心对称图形，勾股定理等知识；按要求正确画图即可． 【详解】解：画的等腰三角形如下，其中底边，点E在上，点F在上，且；三角形绕矩形的中心旋转后的图形为； 18. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变的长度，使得支架绕点A旋转，从而改变的形状，以此调节篮板的高度，但调整过程中四边形始终是平行四边形）．已知，测得时，点C离地面的高度为，调节伸缩臂，将由调节为，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（结果保留根号） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，由四边形是平行四边形，可得，当时，则，当时，则，解两次，求出比较即可． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而， ∴点C离地面的高度升高了， ∴升高的高度为：， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 19. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 【答案】（1）点的坐标为；点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握一次函数、反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点为，令，求出对于的值，即可得点的坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，即可得点的坐标； （2）先求出点的坐标，然后根据平行于轴的点的坐标特征表示出，的坐标，进而得出和的长，再列式，最后约分即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， 令，则 解得． 点的坐标为； 联立， 得， 解得或（舍去）， 经检验是此方程的解， ， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点为线段的中点，，， ，． 点的坐标为； 轴，轴， ，． ，， ，， ， 点在上， ，解得， 点的坐标为． ， ． 20. 如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）延长交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据正切的定义即可得． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，连接，    由圆周角定理得：， 弦的长为，且， ， 解得， ， 即的半径为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，     ，， ， ， ， ， ， ，， ， 即的正切值为． 21. 已知二次函数． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为， ①则b的值是______，点B的坐标是______； ②当时，借助图象直接写出自变量x的取值范围； ③当时，，借助图象直接写出m的取值范围； （2）当时，函数y的值总大于等于7，求b的取值范围． 【答案】（1）①，；②或；③； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和的性质． （1）①将代入求出，得到，求出时x的值，即可求出点B的坐标； ②画出函数图象，求出进而结合函数图象判断即可； ③根据函数图象判断即可； （2）求出二次函数开口向下，对称轴为直线，进而分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①将代入得， 即， 解得：， 即， 当时， 解得：， 即点B的坐标是， 故答案为：，； ②， 即抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 画出函数图象如下： 由函数图象可知，当时，或； ③由函数图象可知，当时，，且当时，， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴函数开口向下，对称轴为直线， 当时， ∵函数y的值总大于等于7， ∴， 解得， ∵， ∴； 当时， ∵函数y的值总大于等于7， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，． 22. 如图和图，平面上，四边形中，，，，，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接． （1）若点在上，求证：； （2）如图，连接． 求的度数； 当时，求的值； 当点在上时，点到的距离为，求的值． 【答案】（1） 证明：将线段绕点顺时针旋转到， ， 的平分线所在直线交折线于点， ， 又， ， ； （2）；；的值为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的定义得到，，然后证明出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先在中由勾股定理求得，然后在中根据三边长利用勾股定理逆定理解答即可；则，设交于点，先证明求得、的长，由线段差可得的长；再证明求得的长，最后根据求解即可；过点作于点，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ，， ，， ， ； 如图所示，当时，则，设交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， 当由增加到时，点由点运动到点， ； 如图所示，过点作于点，则，， 在中，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，旋转的性质，角平分线的性质等知识，根据题意画出相应图形，并结合相似三角形的性质求线段长是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期末素养水平调研试题（A卷） 九年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作． 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 1 3. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 函数的大致图像是( ) A. B. C. D. 5. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，不是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 8. 如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（ ） A. (2，-2) B. (，) C. (，) D. (，) 9. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，四边形与为正方形，，，连接，．则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 13. 某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，，分别与弧所在圆相切于点A，B，若该圆半径是3，，则主视图的面积为______． 14. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 15. 对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在2×4的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．在下图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形； 18. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变的长度，使得支架绕点A旋转，从而改变的形状，以此调节篮板的高度，但调整过程中四边形始终是平行四边形）．已知，测得时，点C离地面的高度为，调节伸缩臂，将由调节为，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（结果保留根号） 19. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 20. 如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 21. 已知二次函数． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为， ①则b的值是______，点B的坐标是______； ②当时，借助图象直接写出自变量x的取值范围； ③当时，，借助图象直接写出m的取值范围； （2）当时，函数y的值总大于等于7，求b的取值范围． 22. 如图和图，平面上，四边形中，，，，，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接． （1）若点在上，求证：； （2）如图，连接． 求的度数； 当时，求的值； 当点在上时，点到的距离为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $