2.5二次函数与一元二次方程课后培优提升训练 2025—2026学年北师大版九年级数学下册

2.5二次函数与一元二次方程课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册 一、选择题 1．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 2．已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 3．已知抛物线（a、b、c均为常数，且）的顶点坐标为，且抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5．已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的图像如图所示，若方程组至少有三个实数解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为 ． 10．已知二次函数（为常数，且）的图象与一次函数（，为常数，）的图像相交于点，则关于的方程的解为 ． 11．抛物线的顶点在直线上移动，且抛物线与轴交于，两点．若线段，则顶点的坐标为 ． 12．已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 14．已知二次函数． (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标． (2)若函数图象向上平移6个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． (3)在（1）的条件下，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上的一动点，求点P到直线的距离最大时，点P的坐标． 15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； (2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数； (3)若，当，时，总有，求a的取值范围． 16．已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)求的值； (2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围； (3)若直线与抛物线有且只有一个交点． ①求的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值． 17．已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，（），满足 ，求a的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8．C 二、填空题 9．5 10． 11．/ 12． 三、解答题 13．【解】（1）解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； （2）①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 14．【解】（1）解：∵， ∴二次函数解析为， ∴函数的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：二次函数图象向上平移6个单位后得， ∵恰好与x轴只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． （3）解：在（1）的条件下，令，则， 解得，， ∴，，则， 令，则， ∴，则， ∴， 如图，设，连接，，过点P作轴于点E，交于点F，作于点D，过点C作于点G， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴，则， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，点P到直线的距离最大，此时点P的坐标为， ∴点P到直线的距离最大时，点P的坐标为． 15．【解】（1）解：当，时， 对称轴为直线； （2）解： ， 当二次函数与x轴相交时，， 则 ∴当且，即时，，二次函数图象与x轴有1个交点； 当a、b不全为0时，，二次函数图象与x轴有2个交点． （3）解：∵， ∴， 对称轴为直线， ①当时，若点A、B都在对称轴右侧， ∵时，总有， ∴，解得，即； ②当时，若点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧， 则，解得，不合题意，舍去； ③当时，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 则，解得， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 16．【解】（1）解：将代入解析式，得， 解得． （2）解：由（1）可知，则解析式为， 把点代入解析式，得， 化简得， 二次函数的对称轴为直线， 当，函数开口向上，时，随的增大而减小； 当，函数开口向下，时，随的增大而减小． （3）解：①可知二次函数解析式为， 联立函数解析式，得 ， ∵， ∴， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， 解得或（不合题意，舍去）． ②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为， 当时，，， 则， ， 当时，n有最大值，最大值为． 17．【解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 18．【解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：当时，， 当时，， 根据对称性，和时，值相等， ∴当或时，为最大值，当时，为最小值， ∵当时，该函数的最小值为，最大值为， ∴如图所示，可得， ； （3）解：该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，（），对称轴为直线， ， ， ， ， 时，， 如图所示，时，， 即， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $